2015年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）)1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）搈A.萀ڜ앐ɷ搈B.萀䁜앐ܾ앐C.萀ɷ搈D.萀앐앐2.由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是A.左视图与俯视图相同B.左视图与主视图相同C.主视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.在下列二次函数中，其图象对称轴为앐萀ɷ的是A.萀앐B.萀앐ɷC.萀ɷ앐ɷD.萀앐ɷ4.如图，䳌䁨中，䳌＝，䳌䁨＝䳌，则cos＝（）搈A.B.C.D.5.如图，线段䁨两个端点的坐标分别为䁨搈，，以原点为位似中心，将线段䁨放大得到线段䳌，若点䳌坐标为，则点的坐标为()A.B.C.ڜ.Dڜ6.一元二次方程앐ɷͺ앐ɷ搈萀配方后可化为（）A.앐萀搈䁕B.앐萀搈C.앐ɷ萀搈䁕D.앐ɷ萀搈7.下列命题错误的是（）A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形B.平行四边形的对角线互相平分试卷第1页，总11页 C.矩形的对角线相等D.对角线相等的四边形是矩形8.在同一直角坐标系中，一次函数萀앐ɷ与反比例函数萀的图象大致앐是A.B.C.D.9.如图，已知经过原点的与앐，轴分别交于，䳌两点，点䁨是劣弧䳌上一点，则䁨䳌萀()A.ͺB.C.搈D.无法确定10.如图，菱形䳌䁨中，䳌＝，䳌＝，䳌䁨，䁨，垂足分别为，，连接，则的面积是（）A.ڜ.Dڜ.Cڜڜ.Bڜ11.股票每天的涨、跌幅均不能超过搈能，即当涨了原价的搈能后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的搈能后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为앐，则앐满足的方程是（）搈搈搈搈搈搈A.搈앐萀B.搈앐萀C.搈앐萀D.搈앐萀搈搈12.若点搈앐搈搈，앐在反比例函数萀的图象上，且앐搈萀ɷ앐，则앐（）A.搈B.搈萀C.搈D.搈萀ɷ13.二次函数萀䁜앐ܾ앐的图象如图，点䁨在轴的正半轴上，且萀䁨，则（）试卷第2页，总11页 A.䁜搈萀ܾB.䁜ܾ搈萀C.ܾ搈萀䁜D.以上都不是14.二次函数萀앐앐的图象与앐轴有两个交点앐，䳌앐，且앐앐，搈搈点㤱是图像上一点，则下列判断正确的是()A.当时，㤱B.当时，㤱앐C.当时，앐搈㤱앐D.当时，㤱앐搈15.如图，的半径为，䳌、䁨是互相垂直的两条直径，点是上任意一点（与、䳌、䁨、不重合），经过作䳌于点，䁨于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为（）A.B.C.D.ڜ二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）)16.若一元二次方程䁜앐ɷܾ앐ɷ搈萀有一根为앐萀ɷ搈，则䁜ܾ萀________．䁜17.如果萀萀萀ܾ，且䁜萀ڜܾ，那么ܾ萀________．18.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中有个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数搈搈搈搈摸出黑球次数ͺ䁕ͺ䁕根据列表，可以估计出的值是________．19.如图，点、是反比例函数萀图象上的两点，轴于点，앐轴앐于点，作앐轴于点，䳌轴于点䳌，连接䳌、，䳌的面积记为搈，的面积记为，则搈＝．（填“”或“”或“＝”）试卷第3页，总11页 20.已知䳌䁨的边䳌䁨＝㤱，是其外接圆，且半径也为㤱，则的度数是________．三、解答题（共8小题，满分70分）)ɷ搈搈21.（1）计算：ɷڜtanɷ搈香ɷ香；21.（2）解方程：앐ɷ搈萀앐搈．22.如图，在图中求作，使满足以线段为弦且圆心到䳌两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）23.为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？24.如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高搈米的旗杆䳌和一根高度未知的电线杆䁨，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子的长度为米，落在地面上的影子䳌的长为搈米，而电线杆落在围墙上的影子的长度为ڜ米，落在地面上的影子的长为米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是________投影的有关知识进行计算的；试卷第4页，总11页 （2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．25.如图，四边形䳌䁨中，䳌䁨，䳌䁨，䳌＝䁨．（1）求证：＝䳌䁨；（2）若、、、分别是䳌、䁨、䁨、䳌的中点，求证：线段与线段互相垂直平分．搈㤱26.如图，ɷ，䳌ɷ搈是一次函数搈＝䁜앐ܾ与反比例函数萀图象的两앐个交点，䁨앐轴于点䁨，䳌轴于点．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当앐取何值时，搈ɷ？（2）求一次函数解析式及㤱的值；（3）是线段䳌上一点，连接䁨，，若䁨和䳌面积相等，求点的坐标．27.如图，在䳌䁨中，䁨＝，䳌䁨的角平分线交䳌䁨边于．以䳌上某一点为圆心作，使经过点和点．搈判断直线䳌䁨与的位置关系，并说明理由；若䁨＝ڜ＝䳌，ڜ．①求的半径；②设与䳌边的另一个交点为，求线段䳌、䳌与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和）28.已知二次函数＝䁜앐的图象经过点搈．试卷第5页，总11页 （1）求二次函数＝䁜앐的解析式；（2）一次函数＝㤱앐的图象与二次函数＝䁜앐的图象交于点앐、、䳌앐、搈搈两点．ڜ①当㤱萀时（图①），求证：䳌为直角三角形；ڜ②试判断当㤱时（图②），䳌的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）试卷第6页，总11页 参考答案与试题解析2015年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.C2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.A9.B10.B11.B12.D13.A14.C15.A二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16.搈17.ڜ18.萀搈19.解；设䁜ܾ，㤱，搈搈搈搈则䳌萀䳌萀䁜ܾɷ萀䁜ܾɷ䁜，搈搈搈搈萀萀㤱ɷ䁜萀㤱ɷ䁜，∵点，在反比例函数的图象上，∴䁜ܾ＝㤱＝，∴搈＝．20.ڜ或搈三、解答题（共8小题，满分70分）搈搈21.解：（1）原式萀ɷڜڜ搈萀ɷ搈；（2）方程整理得：앐ɷ앐ɷڜ萀，即앐ɷڜ앐搈萀，解得：앐搈萀ɷ搈，앐萀ڜ．22.如图所示．试卷第7页，总11页 圆即为所作的圆．23.根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有ͺ种等可能结果；搈由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率萀萀；ͺ搈ڜ由（1）可知球回到甲脚下的概率萀，传到乙脚下的概率萀，ͺ所以球回到乙脚下的概率大．24.平行；（2）过点作䳌于，过点作䁨于．则䳌萀萀，萀萀ڜ，萀䳌萀搈，萀萀．所以萀搈ɷ萀ͺ，䁨ͺ䁨ɷڜ由平行投影可知，萀，即萀，搈解得䁨萀䁕，即电线杆的高度为䁕米．25.过点䳌作䳌䁨交䁨的延长线于点，如图搈，∵䳌䁨∴四边形䳌䁨为平行四边形，∴䁨＝䳌＝䳌，䳌䁨＝＝䁨，在䁨和䳌䁨中，䁨萀䳌䁨萀䳌䁨，䁨萀䁨∴䁨䳌䁨，∴＝䳌䁨；连接，，，，如图，∵，，，分别是䳌，䁨，䁨，䳌的中点，搈搈∴，且萀，，且萀，∴四边形为平行四边形，由（1）知，＝䳌䁨，试卷第8页，总11页 ∴＝，∴为菱形，∴与互相垂直平分．26.当搈ɷ，即：搈，㤱∴一次函数搈＝䁜앐ܾ的图象在反比例函数萀图象的上面，앐搈∵ɷ，䳌ɷ搈∴当ɷ앐ɷ搈时，搈ɷ；㤱∵萀图象过䳌ɷ搈，앐∴㤱＝ɷ搈＝ɷ，搈∵搈＝䁜앐ܾ过ɷ，䳌ɷ搈，搈搈䁜萀ɷ䁜ܾ萀∴，解得，ɷ䁜ܾ萀ܾ萀搈∴一次函数解析式为；萀앐，搈设㤱㤱，过作앐轴于，轴于，搈∴萀㤱，＝ɷ㤱，∵䁨和䳌面积相等，搈搈∴䁨䁨萀䳌，搈搈搈搈即；㤱萀搈ɷ㤱ɷ，解得㤱萀ɷ，∴ɷ．试卷第9页，总11页 27.解：搈直线䳌䁨与相切；连结，∵＝，∴＝，∵䳌䁨的角平分线交䳌䁨边于，∴䁨＝，∴䁨＝，∴䁨，∴䳌＝䁨＝，即䳌䁨．又∵直线䳌䁨过半径的外端，∴直线䳌䁨与相切．①设＝＝，在䳌中，䳌＝ڜ，∴䳌＝，在䁨䳌中，䳌＝ڜ，∴䳌＝䁨＝，∴ڜ＝，解得＝．②在䁨䳌中，䳌＝ڜ，∴䳌＝．∴萀萀．扇形ڜڜ∵＝，∴䳌＝ڜ，搈∴䳌萀䳌＝ڜ，∴所求图形面积为䳌ɷ扇形萀ڜɷڜ．28.∵＝䁜앐过点搈，搈∴搈＝䁜，解得䁜萀，搈∴抛物线解析式为萀앐；①证明：ڜڜ萀앐앐萀ɷ앐萀ͺ当㤱萀时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，搈萀搈萀搈萀앐∴ɷ搈，䳌ͺ搈，分别过、䳌作䁨앐轴，䳌앐轴，垂足分别为䁨、，如图搈，试卷第10页，总11页 ∴䁨＝搈，䁨＝，＝ͺ，䳌＝搈，䁨搈∴萀萀，且䁨＝䳌，䁨䳌∴䁨䳌，∴䁨＝䳌，又∵䳌䳌＝，∴䁨䳌＝，即䳌＝，∴䳌为直角三角形；②䳌为直角三角形．证明如下：ڜ萀㤱앐앐萀㤱ɷ㤱当㤱时，联立直线和抛物线解析式可得萀搈앐，解得萀㤱ɷ㤱앐萀㤱㤱或，萀㤱㤱∴㤱ɷ㤱,㤱ɷ㤱，䳌㤱㤱,㤱㤱，分别过、䳌作䁨앐轴，䳌앐轴，如图，∴䁨＝㤱ɷ㤱，䁨＝ɷ㤱ɷ㤱，䳌＝㤱㤱，＝㤱㤱，䁨㤱ɷ㤱∴萀萀，且䁨＝䳌，䁨䳌∴䁨䳌，∴䁨＝䳌，又∵䳌䳌＝，∴䁨䳌＝，即䳌＝，∴䳌为直角三角形；由（2）可知，一次函数＝㤱앐的图象与二次函数＝䁜앐的交点为、䳌，则䳌恒为直角三角形．（答案不唯一）．试卷第11页，总11页