2021年甘肃省中考数学真题解析版
ID:41212 2021-10-12 1 3.00元 29页 869.00 KB
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷甘肃省定西市中考数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项。1.3的倒数是(  )A.﹣3B.3C.﹣D.2.2021年是农历辛丑牛年,习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神,某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,下面的剪纸作品是轴对称图形的是(  )A.B.C.D.3.下列运算正确的是(  )A.+=3B.4﹣=4C.×=D.÷=44.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示,截止2021年3月底,我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂,约占全球产能的一半,必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为(  )A.5×108B.5×109C.5×1010D.50×1085.将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为(  )A.y=5x﹣2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x﹣2)6.如图,直线DE∥BF,Rt△ABC的顶点B在BF上,若∠CBF=20°,则∠ADE=(  ) A.70°B.60°C.75°D.80°7.如图,点A,B,C,D,E在⊙O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED=(  )A.48°B.24°C.22°D.21°8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有x人,y辆车,则可列方程组为(  )A.B.C.D.9.对于任意的有理数a,b,如果满足+=,那么我们称这一对数a,b为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n﹣1)]=(  )A.﹣2B.﹣1C.2D.310.如图1,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发,沿折线AB→BC方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMD的面积为y,y与x的函数图象如图2,则AC的长为(  )A.3B.6C.8D.9二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分。11.因式分解:4m﹣2m2=  .12.关于x的不等式x﹣1>的解集是  . 13.关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是  。14.开学前,根据学校防疫要求,小芸同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:体温(℃)36.336.436.536.636.736.8天数(天)233411这14天中,小芸体温的众数是  ℃。15.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点,EF=4cm,则BE=  cm.16.若点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)在反比例函数y=的图象上,则y1  y2.(填“>”或“<”或“=”)17.如图,从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为  dm2.18.一组按规律排列的代数式:a+2b,a2﹣2b3,a3+2b5,a4﹣2b7,…,则第n个式子是  .三、解答题:本大题共5小题,共26分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19.(4分)计算:(2021﹣π)0+()﹣1﹣2cos45°.20.(4分)先化简,再求值:(2﹣)÷,其中x=4.21.(6分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,C是弦AB 上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);①作线段AC的垂直平分线DE,分别交于点D,AC于点E,连接AD,CD;②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.22.(6分)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”,始建于明嘉靖十四年(1535年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与崆峒山的凌空塔遥相呼应,被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:方案设计:如图2,宝塔CD垂直于地面,在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A,D,B在同一条直线上).数据收集:通过实地测量:地面上A,B两点的距离为58m,∠CAD=42°,∠CBD=58°.问题解决:求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60.根据上述方案及数据,请你完成求解过程. 23.(6分)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他完全相同,每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大量重复实验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.(1)请你估计箱子里白色小球的个数;(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).四、解答题:本大题共5小题,共40分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24.(7分)为庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了以“学习百年党史,汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分成A,B,C,D,E五个等级,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:等级成绩xA50≤x<60B60≤x<70C70≤x<80D80≤x<90E90≤x≤100(1)本次调查一共随机抽取了  名学生的成绩,频数分布直方图中m=  ;(2)补全学生成绩频数分布直方图;(3)所抽取学生成绩的中位数落在  等级; (4)若成绩在80分及以上为优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀的学生有多少人?25.(7分)如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示.(1)小刚家与学校的距离为  m,小刚骑自行车的速度为  m/min;(2)求小刚从图书馆返回家的过程中,y与x的函数表达式;(3)小刚出发35分钟时,他离家有多远?26.(8分)如图,△ABC内接于⊙O,D是⊙O的直径AB的延长线上一点,∠DCB=∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=4,CE=6,求⊙O的半径及tan∠OCB的值.27.(8分)问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.(1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.28.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值. 2021年甘肃省定西市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项。1.3的倒数是(  )A.﹣3B.3C.﹣D.【分析】根据倒数的定义进行答题.【解答】解:设3的倒数是a,则3a=1,解得,a=.故选:D.2.2021年是农历辛丑牛年,习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神,某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,下面的剪纸作品是轴对称图形的是(  )A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形的概念判断求解.【解答】解:A.不是轴对称图形,故此选项不合题意;B.是轴对称图形,故此选项符合题意;C.不是轴对称图形,故此选项不合题意;D.不是轴对称图形,故此选项不合题意;故选:B.3.下列运算正确的是(  )A.+=3B.4﹣=4C.×=D.÷=4【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断. 【解答】解:A、原式=2,所以A选项的计算错误;B、原式=3,所以B选项的计算错误;C、原式==,所以C选项的计算正确;D、原式===2,所以D选项的计算错误.故选:C.4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示,截止2021年3月底,我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂,约占全球产能的一半,必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为(  )A.5×108B.5×109C.5×1010D.50×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将50亿用科学记数法表示为5×109.故选:B.5.将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为(  )A.y=5x﹣2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x﹣2)【分析】根据“上加下减”的原则求解即可.【解答】解:将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得的函数解析式为y=5x﹣2.故选:A.6.如图,直线DE∥BF,Rt△ABC的顶点B在BF上,若∠CBF=20°,则∠ADE=(  )A.70°B.60°C.75°D.80°【分析】根据角的和差得到∠ABF=70°,再根据两直线平行,同位角相等即可得解.【解答】解:∵∠ABC=90°,∠CBF=20°, ∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=70°,∵DE∥BF,∴∠ADE=∠ABF=70°,故选:A.7.如图,点A,B,C,D,E在⊙O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED=(  )A.48°B.24°C.22°D.21°【分析】连接OC、OD,可得∠AOB=∠COD=42°,由圆周角定理即可得∠CED=∠COD=21°.【解答】解:连接OC、OD,∵AB=CD,∠AOB=42°,∴∠AOB=∠COD=42°,∴∠CED=∠COD=21°.故选:D.8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有x人,y辆车,则可列方程组为(  )A.B. C.D.【分析】设共有x人,y辆车,根据“如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【解答】解:设共有x人,y辆车,依题意得:.故选:C.9.对于任意的有理数a,b,如果满足+=,那么我们称这一对数a,b为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n﹣1)]=(  )A.﹣2B.﹣1C.2D.3【分析】根据(m,n)是“相随数对”得出9m+4n=0,再将原式化成9m+4n﹣2,最后整体代入求值即可.【解答】解:∵(m,n)是“相随数对”,∴+=,∴=,即9m+4n=0,∴3m+2[3m+(2n﹣1)]=3m+2[3m+2n﹣1]=3m+6m+4n﹣2=9m+4n﹣2=0﹣2=﹣2,故选:A.10.如图1,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发,沿折线AB→BC方向运动,运动到点C停止.设点M的运动路程为x,△AMD的面积为y,y与x的函数图象如图2,则AC的长为(  ) A.3B.6C.8D.9【分析】先根据AB=BC结合图2得出AB=,进而利用勾股定理得,AD²+BD²=13,再由运动结合△ADM的面积的变化,得出点M和点B重合时,△ADM的面积最大,其值为3,即AD•BD=3,进而建立二元二次方程组求解,即可得出结论.【解答】解:由图2知,AB+BC=2,∵AB=BC,∴AB=,∵AB=BC,BD⊥BC,∴AC=2AD,∠ADB=90°,在Rt△ABD中,AD²+BD²=AB²=13①,设点M到AC的距离为h,∴S△ADM=AD•h,∵动点M从A点出发,沿折线AB→BC方向运动,∴当点M运动到点B时,△ADM的面积最大,即h=BD,由图2知,△ADM的面积最大为3,∴AD•BC=3,∴AD•BD=6②,①+2×②得,AD²+BD²+2AD•BD=13+2×6=25,∴(AD+BD)²=25,∴AD+BD=5(负值舍去),∴BD=5﹣AD③,将③代入②得,AD(5﹣AD)=6,∴AD=3或AD=2,∵AD>BD,∴AD=3, ∴AC=2AD=6,故选:B.二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分。11.因式分解:4m﹣2m2= 2m(2﹣m) .【分析】提取公因式进行因式分解.【解答】解:4m﹣2m2=2m(2﹣m),故答案为:2m(2﹣m).12.关于x的不等式x﹣1>的解集是 x> .【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解:移项,得:x>1+,合并同类项,得:x>,系数化为1,得:x>,故答案为:x>.13.关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是 1 。【分析】根据根的判别式△=0,即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出k值.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×k=0,解得:k=1.故答案为:1.14.开学前,根据学校防疫要求,小芸同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:体温(℃)36.336.436.536.636.736.8天数(天)233411这14天中,小芸体温的众数是 36.6 ℃。【分析】根据众数的定义就可解决问题.【解答】解:36.6出现的次数最多有4次,所以众数是36.6.故答案为:36.6.15.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD 边的中点,EF=4cm,则BE= 6 cm.【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出AD长,再根据矩形的性质得出AD∥BC,∠B=90°,然后解直角三角形ABE即可.【解答】解:∵∠AED=90°F是AD边的中点,EF=4,∴AD=2EF=8,∵∠EAD=30°,∴AE=AD•cos∠30°=8×=4,又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠BEA=∠AED=30°,在Rt△ABE中,BE=AE•cos∠BEA=4×cos30°=4×=6(cm),故答案为:6.16.若点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)在反比例函数y=的图象上,则y1 < y2.(填“>”或“<”或“=”)【分析】反比例函数y=的图象在一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,判断出y的值的大小关系.【解答】解:∵k=a2+1>0,∴反比例函数y=的图象在一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小,∵点A(﹣3,y1),B(﹣4,y2)同在第三象限,且﹣3>﹣4,∴y1<y2,故答案为<.17.如图,从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为 2π dm2. 【分析】连接AC,根据圆周角定理得出AC为圆的直径,解直角三角形求出AB,根据扇形面积公式求出即可.【解答】解:连接AC,∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=4dm,AB=BC(扇形的半径相等),∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2dm,∴阴影部分的面积是=2π(dm2).故答案为:2π.18.一组按规律排列的代数式:a+2b,a2﹣2b3,a3+2b5,a4﹣2b7,…,则第n个式子是 an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1 .【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号;第二项的符号:第奇数项是正号,第偶数项是负号;第二项中b的次数是序号的2倍减1,据此即可写出.【解答】解:观察代数式,得到第n个式子是:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1.故答案为:an+(﹣1)n+1•2b2n﹣1.三、解答题:本大题共5小题,共26分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19.(4分)计算:(2021﹣π)0+()﹣1﹣2cos45°.【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可. 【解答】解:原式=1+2﹣2×=3﹣.20.(4分)先化简,再求值:(2﹣)÷,其中x=4.【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简,再将x的值代入求出答案.【解答】解:原式=(﹣)•=•=﹣,当x=4时,原式=﹣=﹣.21.(6分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,C是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);①作线段AC的垂直平分线DE,分别交于点D,AC于点E,连接AD,CD;②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.【分析】(1)①根据要求作出图形即可.②根据要求作出图形即可.(2)证明△DFB≌△DCB可得结论.【解答】解:(1)①如图,直线DE,线段AD,线段CD即为所求.②如图,点F,线段CD,BD,BF即为所求作. (2)结论:BF=BC.理由:∵DE垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵AD=DF,∴DF=DC,=,∴∠DBC=∠DBF,∵∠DFB+∠DAC=180°.∠DCB+∠DCA=180°,∴∠DFB=∠DCB,在△DFB和△DCB中,,∴△DFB≌△DCB(AAS),∴BF=BC.22.(6分)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”,始建于明嘉靖十四年(1535年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与崆峒山的凌空塔遥相呼应,被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:方案设计:如图2,宝塔CD垂直于地面,在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A,D,B在同一条直线上).数据收集:通过实地测量:地面上A,B两点的距离为58m,∠CAD=42°,∠CBD=58°.问题解决:求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60.根据上述方案及数据,请你完成求解过程. 【分析】设设CD=xcm,在Rt△ACD中,可得出AD=,在Rt△ACD中,BD=,再由AD+BD=AB,列式计算即可得出答案.【解答】解:设CD=xcm,在Rt△ACD中,AD=,在Rt△ACD中,BD=,∵AD+BD=AB,∴,解得,x≈33.4.答:宝塔的高度约为33.4m.23.(6分)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他完全相同,每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大量重复实验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.(1)请你估计箱子里白色小球的个数;(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).【分析】(1)设白球有x个,根据多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75,据此利用概率公式列出关于x的方程,解之即可;(2)画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.【解答】解:(1)∵通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右,∴估计摸到红球的概率为0.75, 设白球有x个,根据题意,得:=0.75,解得x=1,经检验x=1是分式方程的解,∴估计箱子里白色小球的个数为1;(2)画树状图为:共有16种等可能的结果数,其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6,∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为=.四、解答题:本大题共5小题,共40分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24.(7分)为庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了以“学习百年党史,汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分成A,B,C,D,E五个等级,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:等级成绩xA50≤x<60 B60≤x<70C70≤x<80D80≤x<90E90≤x≤100(1)本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩,频数分布直方图中m= 16 ;(2)补全学生成绩频数分布直方图;(3)所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级;(4)若成绩在80分及以上为优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀的学生有多少人?【分析】(1)由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数,总人数乘以A等级对应百分比可得m的值;(2)总人数乘以C等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形;(3)根据中位数的定义求解即可;(4)总人数乘以样本中D、E等级人数和所占比例即可.【解答】解:(1)一共调查学生人数为40÷20%=200,A等级人数m=200×8%=16,故答案为:200,16;(2)∵C等级人数为200×25%=50,补全频数分布直方图如下:(3)由于一共有200个数据,其中位数是第100、101个数据的平均数,而第100、101个数据都落在C等级,所以所抽取学生成绩的中位数落在C等级; 故答案为:C.(4)估计成绩优秀的学生有2000×=940(人).25.(7分)如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离y(m)与他所用的时间x(min)的函数关系如图2所示.(1)小刚家与学校的距离为 3000 m,小刚骑自行车的速度为 200 m/min;(2)求小刚从图书馆返回家的过程中,y与x的函数表达式;(3)小刚出发35分钟时,他离家有多远?【分析】(1)根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为3000m,小刚骑自行车的速度为200m/min;(2)先求出小刚从图书馆返回家的时间,进而得出总时间,再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式;(3)把x=35代入(2)的结论解答即可.【解答】解:(1)由题意得,小刚家与学校的距离为3000m,小刚骑自行车的速度为:(5000﹣3000)÷10=200(m/min),故答案为:3000;200;(2)小刚从图书馆返回家的时间:5000÷200=25(min),总时间:25+20=45(min),设小刚从图书馆返回家的过程中,y与x的函数表达式为y=kx+b,把(20,5000),(45,0)代入得:,解得,∴y=﹣200x+9000(20≤x≤45);(3)小刚出发35分钟时,即当x=35时,y=﹣200×35+9000=2000. 答:此时他离家2000m.26.(8分)如图,△ABC内接于⊙O,D是⊙O的直径AB的延长线上一点,∠DCB=∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CD=4,CE=6,求⊙O的半径及tan∠OCB的值.【分析】(1)由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA=∠DCB,由圆周角定理可得∠ACB=90°,进而得到∠OCD=90°,即可得出结论;(2)根据平行线分线段成比例定理得到==,设BD=2x,则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,在Rt△OCD中,根据勾股定理求出x=1,即⊙O的半径为3,由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC,在Rt△OCE中,可求得tan∠EOC=2,即tan∠OCB=2.【解答】(1)证明:∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠DCB=∠OAC,∴∠OCA=∠DCB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠OCA+∠OCB=90°,∴∠DCB+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;(2)解:∵OE∥AC, ∴=,∵CD=4,CE=6,∴==,设BD=2x,则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,∵OC⊥DC,∴△OCD是直角三角形,在Rt△OCD中,OC2+CD2=OD2,∴(3x)2+42=(5x)2,解得,x=1,∴OC=3x=3,即⊙O的半径为3,∵BC∥OE,∴∠OCB=∠EOC,在Rt△OCE中,tan∠EOC===2,∴tan∠OCB=tan∠EOC=2.27.(8分)问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.【分析】(1)根据矩形的性质得∠DAB=∠B=90°,由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF,利用AAS可得△ADE≌△BAF(AAS),由全等三角形的性质得AD=AB,即可得四边形ABCD是正方形; (2)根据矩形的性质得∠DAB=∠ABH=90°,AB=DA,利用SAS可得△DAB≌△ABH(SAS),由全等三角形的性质得AH=DE,由已知DE=AF可得AH=AF,即可得△AHF是等腰三角形;(3)延长CB到点H,使BH=AE=6,连接AH,利用SAS可得△DAE≌△ABH(SAS),由全等三角形的性质得AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°,由已知DE=AF可得AH=AF,可得△AHF是等边三角形,则AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,等量代换可得DE=AH=8.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠B=90°,∵DE⊥AF,∴∠DAB=∠AGD=90°,∴∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF=90°,∴∠ADE=∠BAF,∵DE=AF,∴△ADE≌△BAF(AAS),∴AD=AB,∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形;(2)解:△AHF是等腰三角形,理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠ABH=90°,AB=DA,∵BH=AE,∴△DAB≌△ABH(SAS),∴AH=DE, ∵DE=AF,∴AH=AF,∴△AHF是等腰三角形;(3)解:延长CB到点H,使BH=AE=6,连接AH,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠BAD,∵BH=AE,∴△DAE≌△ABH(SAS),∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°,∵DE=AF,∴AH=AF,∴△AHF是等边三角形,∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,∴DE=AH=8.28.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)求出点D的坐标,可得结论.(3)①过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH=GB,EM=FG,由HM=OG,可得OG=GB=OB=2,由题意直线AB的解析式为y=x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH=BG,构建方程求解,可得结论.②因为△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,因为PC+PB≥BC,所以当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小.【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过A(0,﹣2),B(4,0)两点,∴,解得,∴y=x2﹣x﹣2.(2)∵B(4,0),A(0,﹣2),∴OB=4,OA=2,∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO==,即=, ∴GB=1,∴OG=OB﹣GB=4﹣1=3,当x=3时,yD=×9﹣×3﹣2=﹣2,∴D(3,﹣2),即GD=2,∴FD=GD﹣GF=2﹣=,∴S△BDF=•DF•BG=××1=.(3)①如图1中,过点H作HM⊥EF于M,∵四边形BEHF是矩形,∴EH∥BF,EH=BF,∴∠HEF=∠BFE,∵∠EMH=∠FGB=90°,∴△EMH≌△FGB(AAS),∴MH=GB,EM=FG,∵HM=OG,∴OG=GB=OB=2,∵A(0,﹣2),B(4,0),∴直线AB的解析式为y=x﹣2, 设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),由MH=BG得到,a﹣0=4﹣a,∴a=2,∴E(2,4),F(2,﹣1),∴FG=1,∵EM=FG,∴4﹣yH=1,∴yH=1,∴H(0,3).②如图2中,BH===5,∵PH=PC+2,∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,∵PC+PB≥BC,∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,∵BC===4,∴△PHB的周长的最小值为4+7.
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