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难。全国初中数学竞赛是全国性的比赛有难度，全国初中数学竞赛是挑选出少数优秀的人才设立的比赛，它有很大的难度。
初中生有含金量的比赛如下：
中国数学奥林匹克(CMO)、全国中学生物理竞赛决赛(CPHO)、中国化学奥林匹克(决赛)(CCHO)、全国中学生生物学竞赛(CBO)、全国青少年信息学奥林匹克(NOI)。
中国数学奥林匹克简介：
中国数学奥林匹克（CMO），即全国中学生数学冬令营。选拔全国成绩最好60名选手组成当年IMO的中国国家集训队。本赛事由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响的数学竞赛。承办单位须具有国内高水平教学条件以及相关学科竞赛突出成绩的直辖市、省辖市直属高校或重点中学。
比赛形式：
冬令营邀请各省、自治区、直辖市全国高中数学联赛中的优胜者，以及香港、澳门、俄罗斯、新加坡等代表队参加，人数200人左右(现扩大为300人左右)，分配原则是每省市区至少三人，然后设立分数线择优选取。
原式=3/（1*2*3）+5/（2*3*4）+7/（3*4*5）+。。+21/（10*11*12）=
其每一项为：A(n)=(2n+1)/【n(n+1)(n+2)】,
其中：n=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；
把通项分解:
A(n)=(2n+1)/【n(n+1)(n+2)】=2/【(n+1)(n+2)】+1/【n(n+1)(n+2)】,
==>2/【(n+1)(n+2)】=2[1/(n+1)-1/(n+2)];
所以：
2[1/(1+1)-1/(1+2)]
+2[1/(2+1)-1/(2+2)];
。。。。。。。。
+2[1/(10+1)-1/(10+2)];
-----------------------------
=2[1/(1+1)=1/(10+2)]=2（1-1/12）=11/6; (1);
==>1/【n(n+1)(n+2)】=[1/n-2/(n+1)+1/(n+2)]/2,
所以：
[1/1-2/(1+1)+1/(1+2)]/2
+ [1/2-2/(2+1)+1/(2+2)]/2
+ [1/3-2/(3+1)+1/(3+2)]/2
............................
+ [1/8-2/(8+1)+1/(8+2)]/2
+ [1/9-2/(9+1)+1/(9+2)]/2
+ [1/10-2/(10+1)+1/(10+2)]/2
------------------------------------
= [1/1-2/(1+1)+1/(9+2)-2/(10+1)+1/(10+2)]/2
=(-/11+1/12)/2 ---(2)
原式=（1）+（2）
=11/6+(-/11+1/12)/2
=1/12*（11-1/22）
=（121-1）/22 * 1/12
=120/22*1/12=5/11;
####
1/【n(n+1)(n+2)】=[1/n-2/(n+1)+1/(n+2)]/2,
怎么化？
这是求得（略，让你自己思考吧！） 原式=
1．若a，b均为正整数，m=ab(a+6)，则( )
(A)m一定是奇数． (B)m一定是偶数．
(C)只有当a，b均为偶数时，m是偶数．
(D)只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数．
2．设b (A) (B)一 ． (c)一3． (D)3． 3．Given a，b，C are positive integers，and a，b are prime numbers ，then the value of a+b+C is( ) (A)14． (B)13． (C)12． (D)11． (英汉词典positive integer：正整数．prime number：质数．) 七年级数学竞赛试题 一． 选择题（每小题4分，共32分） 1．x是任意有理数，则2|x|+x 的值( ). A．大于零 B． 不大于零 C．小于零 D．不小于零 2．在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ） A．1 B．4 C．2 D．8 3．如图，在数轴上1， 的对应点A、B， A是线段BC的中点，则点C所表示的数是( ) A． B． C． D． 4.桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K。两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜。则赢的机会大的一方是（ ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 5．如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影部分），那么图②，图③，图④中的阴影部分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到．要得到图②，图③，图④中的阴影部分，依次进行的变换不可行的是（ ） A．平移、对称、旋转 B．平移、旋转、对称 C．平移、旋转、旋转 D．旋转、对称、旋转 6．计算： 等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等。图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ） A. 3个球 B. 4个球 C. 5个球 D. 6个球 8．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ） A．15 B．16 C．18 D．19 二． 填空题（每题4分，共28分） 9．定义a*b=ab+a+b,若3*x=31，则x的值是_____。 10．当x=-7时，代数式 的值为7，其中a、b、c为常数，当x=7时，这个代数式的值是 。 11．若A、B、C、D、E五名运动员进行乒乓球单循环赛（即每两人赛一场），比赛进行一段时间后，进行过的场次数与队员的对照统计表如下： 选手 A B C D E 已赛过的场次数 4 3 2 1 2 那么与E进行过比赛的运动员是 。 12．如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3 的值为 。 13. 已知 S＝12－22＋32－42＋……＋20052－20062＋20072，则S除以2005的余数是_____________． 14．长度相等而粗细不同的两支蜡烛，其中一支可燃3小时，另一支可燃4小时。将这两支蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一支是另一支的3倍时，蜡烛点燃了___________小时. 15．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第449次“F运算”的结果是_____________． 三． 解答题（共60分,要求写出解题的主要步骤） 16.（本题满分10分） 某夏令营共8名营员，其中3人来自甲校，3人来自乙校，2人来自丙校．在一项游乐活动中，他们分乘4辆2座位的游乐车．为加强校际间交流，要求同一学校的营员必须分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校．问这能够做到吗？若能，请设计一个乘车方案；若不能，请说明理由． 17．（本题满分10分） 如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？ 18．（本题满分12分） 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称 这个正整数为“神秘数”．如： 4=22-02， 12=42-22， 20=62-42， 因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1) 28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？ (2) 设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 19．（本题满分14分） 将正整数按右表所示的规律排列，并把排在左起第m列，上起第n行的数记为以amn， (1)试用m表示am1，用n表示a1n。 (2)当m=10，n=12时，求amn的值。 20．（本题满分14分） 三位男子A、B、C带着他们的妻子 、 、 到超市购物，至于谁是谁的妻子就不知道了，只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位丈夫都比自己的妻子多花48元钱，又知A比 多买9件商品，B比 多买7件商品。试问：究竟谁是谁的妻子？ 七年级数学竞赛参考答案 一、选择题（每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A C D 二、填空题（每小题4分，共28分） 9.7 10.-13 11.A和B 12.14 13.3 14. 15.98 三、解答题： 16.（本题满分10分） 解：能．乘车方案如下： 17．（本题满分10分） 解：略 18．（本题满分12分） 解：(1) 找规律： 4=4×1=22-02， 12=4×3=42-22， 20=4×5=62-42， 28=4×7=82-62， …… 2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数． 6分 (第(1)问评分注：只要写出28=82-62(或2 012=5042-5022)就可得3分；确定28和2 012是神秘数但没有理由，各得1分) (2) (2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)， 因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数． 8分 (3) 由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数， 因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数． 9分 另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n， 10分 即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数． 12分 (第(3)问评分注：通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数，可以得2分；只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分) 19．（本题满分14分） 解：观察表中正整数的排列规律，可知： (1)当m为奇数时，am1=m2； 2分 当m为偶数时，am1=（m-1）2+1； 4分 当n为偶数时，a1n=n2； 6分 当n为奇数时，a1n=(n-1)2+1． 8分 (2)当m=1O，n=12时，amn是左起第10列的上起第12行所以的数， 10分 由(1)及表中正整数的排列规律可知，上起第12行的第1个数为122=144． 12分 第12行中，自左往右从第1个数至第12个数依次递减1，所以所求的amn为135． 14分 20．（本题满分14分） 解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品． 于是有x2-y2=48，即(x十y)(x-y)=48． 4分 因x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性， 又x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6， ∴ 或 或 ． 7分 可得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1． 9分 符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件． 同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件． 所以C买了7件，c买了11件． 12分 由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a． 14分
难。全国初中数学竞赛是全国性的比赛有难度，全国初中数学竞赛是挑选出少数优秀的人才设立的比赛，它有很大的难度。
初中生有含金量的比赛如下：
中国数学奥林匹克(CMO)、全国中学生物理竞赛决赛(CPHO)、中国化学奥林匹克(决赛)(CCHO)、全国中学生生物学竞赛(CBO)、全国青少年信息学奥林匹克(NOI)。
中国数学奥林匹克简介：
中国数学奥林匹克（CMO），即全国中学生数学冬令营。选拔全国成绩最好60名选手组成当年IMO的中国国家集训队。本赛事由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响的数学竞赛。承办单位须具有国内高水平教学条件以及相关学科竞赛突出成绩的直辖市、省辖市直属高校或重点中学。
比赛形式：
冬令营邀请各省、自治区、直辖市全国高中数学联赛中的优胜者，以及香港、澳门、俄罗斯、新加坡等代表队参加，人数200人左右(现扩大为300人左右)，分配原则是每省市区至少三人，然后设立分数线择优选取。
原式=3/（1*2*3）+5/（2*3*4）+7/（3*4*5）+。。+21/（10*11*12）=
其每一项为：A(n)=(2n+1)/【n(n+1)(n+2)】,
其中：n=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；
把通项分解:
A(n)=(2n+1)/【n(n+1)(n+2)】=2/【(n+1)(n+2)】+1/【n(n+1)(n+2)】,
==>2/【(n+1)(n+2)】=2[1/(n+1)-1/(n+2)];
所以：
2[1/(1+1)-1/(1+2)]
+2[1/(2+1)-1/(2+2)];
。。。。。。。。
+2[1/(10+1)-1/(10+2)];
-----------------------------
=2[1/(1+1)=1/(10+2)]=2（1-1/12）=11/6; (1);
==>1/【n(n+1)(n+2)】=[1/n-2/(n+1)+1/(n+2)]/2,
所以：
[1/1-2/(1+1)+1/(1+2)]/2
+ [1/2-2/(2+1)+1/(2+2)]/2
+ [1/3-2/(3+1)+1/(3+2)]/2
............................
+ [1/8-2/(8+1)+1/(8+2)]/2
+ [1/9-2/(9+1)+1/(9+2)]/2
+ [1/10-2/(10+1)+1/(10+2)]/2
------------------------------------
= [1/1-2/(1+1)+1/(9+2)-2/(10+1)+1/(10+2)]/2
=(-/11+1/12)/2 ---(2)
原式=（1）+（2）
=11/6+(-/11+1/12)/2
=1/12*（11-1/22）
=（121-1）/22 * 1/12
=120/22*1/12=5/11;
####
1/【n(n+1)(n+2)】=[1/n-2/(n+1)+1/(n+2)]/2,
怎么化？
这是求得（略，让你自己思考吧！） 原式=
1．若a，b均为正整数，m=ab(a+6)，则( )
(A)m一定是奇数． (B)m一定是偶数．
(C)只有当a，b均为偶数时，m是偶数．
(D)只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数．
2．设b (A) (B)一 ． (c)一3． (D)3． 3．Given a，b，C are positive integers，and a，b are prime numbers ，then the value of a+b+C is( ) (A)14． (B)13． (C)12． (D)11． (英汉词典positive integer：正整数．prime number：质数．) 七年级数学竞赛试题 一． 选择题（每小题4分，共32分） 1．x是任意有理数，则2|x|+x 的值( ). A．大于零 B． 不大于零 C．小于零 D．不小于零 2．在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ） A．1 B．4 C．2 D．8 3．如图，在数轴上1， 的对应点A、B， A是线段BC的中点，则点C所表示的数是( ) A． B． C． D． 4.桌上放着4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K。两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜。则赢的机会大的一方是（ ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 5．如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图①中的阴影部分），那么图②，图③，图④中的阴影部分，均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到．要得到图②，图③，图④中的阴影部分，依次进行的变换不可行的是（ ） A．平移、对称、旋转 B．平移、旋转、对称 C．平移、旋转、旋转 D．旋转、对称、旋转 6．计算： 等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等。图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ） A. 3个球 B. 4个球 C. 5个球 D. 6个球 8．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（ ） A．15 B．16 C．18 D．19 二． 填空题（每题4分，共28分） 9．定义a*b=ab+a+b,若3*x=31，则x的值是_____。 10．当x=-7时，代数式 的值为7，其中a、b、c为常数，当x=7时，这个代数式的值是 。 11．若A、B、C、D、E五名运动员进行乒乓球单循环赛（即每两人赛一场），比赛进行一段时间后，进行过的场次数与队员的对照统计表如下： 选手 A B C D E 已赛过的场次数 4 3 2 1 2 那么与E进行过比赛的运动员是 。 12．如果实数a、b、c满足a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则代数值a+b2+c3 的值为 。 13. 已知 S＝12－22＋32－42＋……＋20052－20062＋20072，则S除以2005的余数是_____________． 14．长度相等而粗细不同的两支蜡烛，其中一支可燃3小时，另一支可燃4小时。将这两支蜡烛同时点燃，当余下的长度中，一支是另一支的3倍时，蜡烛点燃了___________小时. 15．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第449次“F运算”的结果是_____________． 三． 解答题（共60分,要求写出解题的主要步骤） 16.（本题满分10分） 某夏令营共8名营员，其中3人来自甲校，3人来自乙校，2人来自丙校．在一项游乐活动中，他们分乘4辆2座位的游乐车．为加强校际间交流，要求同一学校的营员必须分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校．问这能够做到吗？若能，请设计一个乘车方案；若不能，请说明理由． 17．（本题满分10分） 如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？ 18．（本题满分12分） 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称 这个正整数为“神秘数”．如： 4=22-02， 12=42-22， 20=62-42， 因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1) 28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？ (2) 设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3) 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 19．（本题满分14分） 将正整数按右表所示的规律排列，并把排在左起第m列，上起第n行的数记为以amn， (1)试用m表示am1，用n表示a1n。 (2)当m=10，n=12时，求amn的值。 20．（本题满分14分） 三位男子A、B、C带着他们的妻子 、 、 到超市购物，至于谁是谁的妻子就不知道了，只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位丈夫都比自己的妻子多花48元钱，又知A比 多买9件商品，B比 多买7件商品。试问：究竟谁是谁的妻子？ 七年级数学竞赛参考答案 一、选择题（每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A C D 二、填空题（每小题4分，共28分） 9.7 10.-13 11.A和B 12.14 13.3 14. 15.98 三、解答题： 16.（本题满分10分） 解：能．乘车方案如下： 17．（本题满分10分） 解：略 18．（本题满分12分） 解：(1) 找规律： 4=4×1=22-02， 12=4×3=42-22， 20=4×5=62-42， 28=4×7=82-62， …… 2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数． 6分 (第(1)问评分注：只要写出28=82-62(或2 012=5042-5022)就可得3分；确定28和2 012是神秘数但没有理由，各得1分) (2) (2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)， 因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数． 8分 (3) 由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数， 因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数． 9分 另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n， 10分 即两个连续奇数的平方差是8的倍数． 因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数． 12分 (第(3)问评分注：通过几个特例来说明两个连续奇数的平方差不是神秘数，可以得2分；只有猜想“两个连续奇数的平方差不是神秘数”也得1分) 19．（本题满分14分） 解：观察表中正整数的排列规律，可知： (1)当m为奇数时，am1=m2； 2分 当m为偶数时，am1=（m-1）2+1； 4分 当n为偶数时，a1n=n2； 6分 当n为奇数时，a1n=(n-1)2+1． 8分 (2)当m=1O，n=12时，amn是左起第10列的上起第12行所以的数， 10分 由(1)及表中正整数的排列规律可知，上起第12行的第1个数为122=144． 12分 第12行中，自左往右从第1个数至第12个数依次递减1，所以所求的amn为135． 14分 20．（本题满分14分） 解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品． 于是有x2-y2=48，即(x十y)(x-y)=48． 4分 因x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性， 又x+y>x-y，48=24×2=12×4=8×6， ∴ 或 或 ． 7分 可得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1． 9分 符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件． 同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件． 所以C买了7件，c买了11件． 12分 由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a． 14分
