2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国甲卷)含解析
ID:4949 2021-08-25 1 3.00元 19页 1.71 MB
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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文1.设集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】,故,故选:B.2.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.,【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.3.已知,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得,根据复数除法运算法则,即可求解.【详解】,.故选:B.4.下列函数中是增函数的为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A,为上的减函数,不合题意,舍.对于B,为上的减函数,不合题意,舍.,对于C,在为减函数,不合题意,舍.对于D,为上的增函数,符合题意,故选:D.5.点到双曲线的一条渐近线的距离为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程,然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知,双曲线的渐近线方程为:,即,结合对称性,不妨考虑点到直线距离:.故选:A.6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系,当时,求出,再用指数表示,即可求解.【详解】由,当时,,则.故选:C.7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(),A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图,结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,所以其侧视图为故选:D8.在中,已知,,,则()A.1B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程,解方程即可求得边长.【详解】设,结合余弦定理:可得:,,即:,解得:(舍去),故.故选:D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型:(1)已知三角形的三条边求三个角;(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角;(3)已知三角形的两边与其中一边的对角,解三角形.9.记为等比数列的前n项和.若,,则()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得,,成等比数列,从而求出,进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和,∴,,成等比数列∴,∴,∴.故选:A.10.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解:将3个1和2个0随机排成一行,可以是:,共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为:,,共6种方法,故2个0不相邻的概率为,故选:C.11.若,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得,再结合已知可求得,利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】,,,,解得,,.故选:A.【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的化简问题,解题的关键是利用二倍角公式化简求出.12.设是定义域为R的奇函数,且.若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得:,,而,故.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若向量满足,则_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件,利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为:.14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为则该圆锥的侧面积为________.【答案】【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高,进一步求出母线长,最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为:.,15.已知函数的部分图像如图所示,则_______________.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式,然后求解的值即可.【详解】由题意可得:,当时,,令可得:,据此有:.故答案为:.,【点睛】已知f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.16.已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.【答案】【解析】【分析】根据已知可得,设,利用勾股定理结合,求出,四边形面积等于,即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形为矩形,设,则,所以,,即四边形面积等于.故答案为:.三、解答题:共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200,乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)75%;60%;(2)能.【解析】【分析】根据给出公式计算即可【详解】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为,乙机床生产的产品中的一级品的频率为.(2),故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.记为数列的前n项和,已知,且数列是等差数列,证明:是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据求出数列的公差,进一步写出的通项,从而求出的通项公式,最终得证.【详解】∵数列等差数列,设公差为,∴,∴,∴当时,当时,,满足,∴的通项公式为,∴∴是等差数列.19.已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,.(1)求三棱锥的体积;(2)已知D为棱上的点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得AC的长度,然后利用体积公式可得三棱锥的体积;(2)将所给的几何体进行补形,从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直,然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示,连结AF,,由题意可得:,由于AB⊥BB1,BC⊥AB,,故平面,而平面,故,从而有,从而,则,为等腰直角三角形,,.(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体,如图所示,取棱的中点,连结,正方形中,为中点,则,又,,故平面,而平面,从而.20.设函数,其中.(1)讨论的单调性;(2)若的图象与轴没有公共点,求a的取值范围.【答案】(1)的减区间为,增区间为;(2).【解析】【分析】(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据及(1)的单调性性可得,从而可求a的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为,又,因为,故,当时,;当时,;所以的减区间为,增区间为.(2)因为且的图与轴没有公共点,所以的图象在轴的上方,由(1)中函数的单调性可得,故即.21.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且与l相切.(1)求C,的方程;,(2)设是C上的三个点,直线,均与相切.判断直线与的位置关系,并说明理由.【答案】(1)抛物线,方程为;(2)相切,理由见解析【解析】【分析】(1)根据已知抛物线与相交,可得出抛物线开口向右,设出标准方程,再利用对称性设出坐标,由,即可求出;由圆与直线相切,求出半径,即可得出结论;(2)先考虑斜率不存在,根据对称性,即可得出结论;若斜率存在,由三点在抛物线上,将直线斜率分别用纵坐标表示,再由与圆相切,得出与的关系,最后求出点到直线的距离,即可得出结论.【详解】(1)依题意设抛物线,,所以抛物线的方程为,与相切,所以半径为,所以的方程为;(2)设若斜率不存在,则方程为或,若方程为,根据对称性不妨设,则过与圆相切的另一条直线方程为,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在,不合题意;若方程为,根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为,又,,,此时直线关于轴对称,所以直线与圆相切;若直线斜率均存在,则,所以直线方程为,整理得,同理直线的方程为,直线的方程为,与圆相切,整理得,与圆相切,同理所以为方程的两根,,到直线的距离为:,所以直线与圆相切;综上若直线与圆相切,则直线与圆相切,【点睛】关键点点睛:(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示,将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关;(2)要充分利用的对称性,抽象出与关系,把的关系转化为用表示.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.【答案】(1);(2)P的轨迹的参数方程为(为参数),C与没有公共点.【解析】【分析】(1)将曲线C的极坐标方程化为,将代入可得;(2)设,设,根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程,求出两圆圆心距,和半径之差比较可得.【详解】(1)由曲线C的极坐标方程可得,将代入可得,即,即曲线C的直角坐标方程为;(2)设,设,,则,即,故P的轨迹的参数方程为(为参数),曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,则圆心距为,,两圆内含,故曲线C与没有公共点.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数.(1)画出和的图像;(2)若,求a的取值范围.【答案】(1)图像见解析;(2)【解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像;(2)根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角,求得过时的值可求.【详解】(1)可得,画出图像如下:,,画出函数图像如下:(2),如图,同一个坐标系里画出图像,是平移了个单位得到,则要使,需将向左平移,即,当过时,,解得或(舍去),则数形结合可得需至少将向左平移个单位,.,
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