2016年四川省成都市青羊区某校外地招生数学试卷一、选择题（请将答案填涂在答题卡上，本大题共10个小题，每题5分，共50分）)1.在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）A. ， ， B. 、 、 C. 香䁛、 䁛h、 t D. 쳌h，䁛쳌h，h쳌h2.下列各数中，适合方程 ＝ 的一个近似值（精确到 쳌 ）是（）A. 쳌hB. 쳌䁜C. 쳌䁛D. 쳌香3.在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川 香 香 香，川 ，川 等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以t为字母“ ”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A.h 个B. 个C. 个D.h 个4.下列式子：①sin䁜 sinht ②sin t cos t ＝ ② cos cos ④tan 䁛쳌h tan䁛 其中正确的个数有（）A.䁛B. C. D. 5.如图，点 为 䁡角平分线上的一点． 、 䁡 䁡，分别在线段 、 䁡上取点 、 ，连接 、 使得 ＝ ，若 䁡＝䁜 ， ＝䁜、 ＝ ，则点 到直线 的距离为（） h A.B.C.D.h 䁛 t6.如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（）试卷第1页，总21页
A.䁜圈B.h圈C.䁛쳌h圈D.䁛圈7.若“！”是一种数学运算符号，并且 ！ ， ！ ， ！ 䁜， h䁜䁛！ 䁛 ，…且公式 ，则 ()A. hB. 䁜C. D. 䁛 8.如图，以 的边 为直径作半圆 䁡 ，交 于䁡，交 于 ，过点 作 h 于点 ，若 ＝香， ＝ ， ，则 䁡的长为（） A. B.C.D. 9.如图，点 是函数 的图象上的点，点 ， 的坐标分别为 ， ．试利用性质：“函数 的图象上任意一点 都满足 ＝ ”求 解下面问题：作 的内角平分线 ，过 作 的垂线交 于 ，已知当点 在函数 的图象上运动时，点 总在一条曲线上运动，则这条曲线为（） A.直线B.抛物线C.圆D.反比例函数的曲线10.如图，长方体 䁡 䁡 中， ＝ ， 䁡 䁛，则 的取值范围为（）试卷第2页，总21页
A. 䁛 hB. 䁛 C. hD. 䁛 䁛 二、填空题（请将答案写在答题卡上，本大题共8个小题，每小题6分，共48分）) 11.已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是________． 12.将抛物线 抛 ＝ 䁛 沿直线 ＝ 翻折得到抛物线 ，则抛物线 的解析式为________． 13.化简 h 的值为________．䁛14.如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 香 为等边三角形， 是 轴上的一个动点，以线段 为一边，在其右侧作等边三角形 三，连接香三，当香三 时，点 的坐标为________．15.已知 䁡 ， 䁡，点 ，点 分别在射线 䁡，射线 上，若点 与点 关于 对称，点 点 关于 䁡对称， 与 䁡相交于点 ，则cos ＝________．16.已知：对于满足 䁛的实数 ，不等式 䁛 恒成立，则 的取值范围为________．17.若二次函数 ＝ ܾ 的图象顶点和它与 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么这个图象就称为：“何谐图象”，如图，一组二次函数图象的顶试卷第3页，总21页
点 ， ， … （ 为正整数）依次在直线 抛 上， 䁛且与 轴正半轴的交点依次是： ， ， …， ，（ 为正整数），随 取不同的值，这一系列图象形状也在不断的变化，当 在 h的范围变化时，能使这组图象中的一条为“何谐图象”的 的值为________． 三、解答题：（本大题共8小题，计102分，请在答题卡上写出必要的推算或演算步骤）)18.（1）试说明 不是有理数，18.（2）请叙述并设法证明勾股定理．19.（1）我校北湖校区多功能厅能容纳 余人，是成都市教育局举办全市校长培训专家讲堂的首选场所，截至目前，已经在此举办了“文翁大讲堂”䁛 场，多功能厅已经成为了成都市教育的一张有代表性的名片场地，为了更好的为广大师生提供聚会和文艺活动表演环境，学校于 䁜年䁛月启动了多功能厅多媒体提升改造工程，改造后的视听及音响效果达到专业级一流水平，在改造过程中，涉及到为超大 䁡屏安装钢架结构，如图①所示，其底面是边长为 的正八边形，上面是边长为 的正方形，侧面有四个正方形及四个正三角形，从此钢架上方俯视，可得如图②所示的图形，求此钢架的高度．（2）已知 ， ， 为在 之间（不等于 ， ）的任意三个实数，试证明： ．20.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 平方米的三级污水处理池（平面图如图 䁡所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过 䁜米．如果池的外围墙建造单价为每米䁛 元，中间两条隔墙建造单价为每米 元，池底建造单价为每平方米香 元．（池墙的厚度忽略不计）试卷第4页，总21页
（1）当三级污水处理池的总造价为䁛䁛 元时，求池长 ；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以䁛䁛 元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．21.已知：在 中， ＝t ，点 是线段 上一点，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ， 于点 ， 三 于点三， 三＝ ．（1）如图 ，求证： ＝ ；（2）如图 ，点 是 上一点，连接 并延长交 于点 ，点䁡是 上一点，连接䁡 ， 䁡 ＝ ， 于点 ，交 延长线于点 ，若 ＝ ， ＝ ， 抛 ＝ 抛 ，求䁡三的长．22.如图，在锐角三角形 中， 上的高 䁡与 上的高 相交于点 ，以䁡 为直径的圆分别交 ， 于 、 两点， 与 相交于点 ，已知 ＝ h， 䁡＝ ， ＝䁛．（1）求证： ＝ ； （2）求的值． 23.已知，如图， 䁡为 斜边 上的高，点 为䁡 延长线上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 ， 䁡于 ， 两点，线段 与 的长度刚好是关于 的一元二次方程h 䁜 h＝ 的两个实数根．试卷第5页，总21页
（1）若 ＝ ，求证： ＝ ；（2）若 ＝ 䁛 ，䁡 ＝t ，求䁡 的长；（3）在（1）的条件下，若 抛 ＝t抛䁜䁛，求 的长．24.如图，以边长为䁜的等边 䁡的边 所在直线为 轴，点 为原点建立直角坐标系 香 ，将 䁡沿 䁡翻折得到 䁡，动点 以 单位/秒的速度，从顶点䁡出发沿 䁡 边经点 到达终点 ，同时动点三从点 出发沿 轴负半轴以 单位/秒的速度运动，当点 到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为 ，直线 三与 䁡的边 䁡交于点 ．（1）求图象经过点 、䁡、 的二次函数解析式；（2）是否存在时刻 使得 三 䁡 ，若存在请求出 值，若不存在，请说明理由；（3）设 长于 试求 与 之间的函数关系式；（4）若点 、 为䁡 边上到点䁡的距离分别 各单位和 个单位的两点，试在边䁡 上找一点 ，在䁡 垂直平分线上找一点 ，使得四边形 周长最小并求出周长最小值．25.如图，在锐角 的两边上分别取点 和点 ，连接 ， 的中垂线䁡 与 平分线交于点 ，与线段 交于点 ．（1）如图 ，当 抛 ＝ 抛 时，试求 与 的数量关系，并说明你的理由；试卷第6页，总21页
（2）如图 ，过点䁡作射线䁡 于 ，交射线 于点 ，过点过点 作射线 于 ，䁡 与点䁡关于直线 对称，当 ， 抛 ＝ 抛 时，求证： ＝ 䁡 ．试卷第7页，总21页
参考答案与试题解析2016年四川省成都市青羊区某校外地招生数学试卷一、选择题（请将答案填涂在答题卡上，本大题共10个小题，每题5分，共50分）1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.B8.B9.C10.C二、填空题（请将答案写在答题卡上，本大题共8个小题，每小题6分，共48分）11. 12. ＝ 13.h 䁛14. 15. 16. 或 h17. 三、解答题：（本大题共8小题，计102分，请在答题卡上写出必要的推算或演算步骤）18.证明：假设 是一个有理数，则 可以表示成一个分数， 不妨设 ，其中 ， 都是正整数，且 与 互质，将式两边分别平方，得 ，即 ＝ ． 这说明 是 的倍数，因而 是 的倍数．设 ＝ ，为正整数，代入上式得 ＝䁛 ，即 ＝ ．因而 也是 的倍数，这和 与 互质矛盾，所以 不是有理数．勾股定理为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，证法很多，言之有理即可，下面列举一种证法，其他证法参照给分，法一：构造如图直角梯形：试卷第8页，总21页
梯形的面积等于三个三角形面积之和： 即 ܾ ܾ， 整理得 ܾ ＝ ．法二：如图，作䁛个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别是 ，ܾ，斜边长为 ，再做一个边长分别为 的正方形，把它们像下图那样拼成正方形．从图上可以看到，这个大正方形的边长是 ܾ，即 ܾ 䁛 ܾ， 整理得 ܾ ＝ ．19.从俯视图可知， 与在它下面的投影香重合，如图，连接 香，香 ，则 香是直角三角形，从俯视图可知， 是等腰直角三角形， ∴俯视图中 h ，即立体图中香 h ， 又∵ ＝ ＝ ， ∴ 香 中， 香＝ h ， ∴此钢架的高度为h ；证明：原式左右作差可得： ＝ ，令 ＝ ，其中 ，∵当 ＝ 时 ＝ ；当 ＝ 时 ＝ ＝ ，而 为一次函数，∴ 在 内恒为负，即： ． 20.矩形 䁡的边 ＝ 䁡 ， 试卷第9页，总21页
由题意得䁛 香 ＝䁛䁛 䁛 䁛 即香 香 ＝䁛䁛 化简得 t h ＝ 解得 ＝ 䁛， ＝ h经检验都是原方程的解，但 ＝ h 䁜（不合题意舍去）因此当三级污水处理池的总造价为䁛䁛 元时，池长 䁛米．当以䁛䁛 为总造价来修建三级污水处理池时，不是最合算；当池长为 䁜米时，池宽为 쳌h米 䁜米，故池长为 䁜米符合题意，这时总造价为䁛 䁛 香 䁜 香 ＝䁛䁜 䁛䁛 䁜因此当以䁛䁛 为总造价来修污水处理池时，不是最合算．21.证明：证法一：如图①，∵ ， ，∴ ＝ ＝t ，∴ 三 ＝ ＝t ，∴ 三＝ ，∵ 三 ，∴ 三 ＝ ＝t ，∵ 三＝ ，∴ 三 ∵ ＝ 三 ＝ ，∴ ＝ ∵ ＝ ， ＝t ， ＝t ∴ ＝ ∵ 三 ， ∴ 三＝ （角平分线的性质），∴ ＝ ；证法二：如图①，∵ ， ，∴ ＝ ＝t ∴ 三 ＝ ＝t ∴ 三＝ ∵ 三 ，∴ 三 ＝t ＝ ∵ 三＝ ，∴ 三 ∴ ＝ ， 三＝ ，∴ ＝ ∵ 三 ＝ 香 ，∴ 三 ∴ 三 ＝ ∵ ＝ ，∴ 三 ＝ ∵ 三 ＝ ＝t ， ＝ ∴ 三 试卷第10页，总21页
∴ 三＝ ，∴ ＝ ．解法一：如图②，∵ ＝ ＝ ，∴由（1）知 ＝ ＝ ∴ ＝ ＝h ＝香，∴ ＝ ＝h∴ 三＝ 䁛∵ 三＝ ， ＝ ＝t ∴ ＝ 䁛∴tan ＝tan ∵tan ， ∴ ＝䁜∵ ，∴ ＝ ，又∵ ＝ ∴ ， ∴ ， ∵ 抛 ＝ 抛 ，设 ＝ ，则 ＝ 䁛∴ ， ． 过 作 交 于 ，则四边形 是平行四边形䁛∴ ＝ ， 䁛h∴ ＝ ＝ ∵ ，∴ ＝t ＝ ，∴ ＝ ∵ ，∴ ＝ ＝ tan ＝tan ， ∴tan ， hh∴ ， ∴ ， ∴ ＝ ， ＝ ＝ ∵ 䁡 ＝ 䁡 ， 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ＝ ，试卷第11页，总21页
tan ， ∴tan 䁡 ＝ ．过 作 䁡于 䁛∵tan 䁡 ＝ ，tan ， ∴设 ＝䁛 ，则 ＝ ， 䁡＝䁛 ∴ ＝h ＝ ， ∴ ，h ∴ 䁡＝䁛 ＝䁛 h∵ ， 三＝䁛，∴ 三＝ 三＝䁜 t∴䁡三＝ 三 䁡＝䁜 ．hh解法二：如图③，∵ ＝ ， ＝ ，∴由（1）知 ＝ ＝ ∴ ＝ ＝h， ＝香，∴ ＝ ＝h∴ 三＝ 䁛∵ ，∴ ＝ 又∵ ＝ ，∴ ∴ ， 䁛 ∴ ＝䁜作 于 ，则四边形 是矩形∴ ＝ ＝h， ＝ ∵ ＝ ＝t ∴ ＝t ＝t ∴ ＝ ，∴tan ＝tan ， h䁜∴ ，即 h∴ ， ∵ ，∴ ＝ 又∵ ＝ ，∴ ， ∴ 试卷第12页，总21页
∵ 抛 ＝ 抛 ，设 ＝ ， ＝ 䁛h∴ ＝ ， ＝ ＝ ， h䁛∴ ∴ ， ∴ ＝ ＝ ∴ ＝ 在 的延长线上取点 ，使 ＝ ，∴tan ＝tan 䁛∴ ， h h h∴ ， ， ＝ ，䁛䁛䁛䁛∵ 䁡 ＝ 䁡 ， ＝ 䁡 ，∴ 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ， 䁡 ∴ ∴ 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ， ∴ 䁡 h∵ ， 三＝䁛，∴ 三＝ 三＝䁜 t∴䁡三＝ 三 䁡＝䁜 hh解法三：如图④，∵ ＝ ， ＝ ，∴由（1）知 ＝ ＝ ∴ ＝ ＝h， ＝香，∴ ＝ ＝h∴ 三＝ 䁛∵ ，∴ ＝ ＝ 又∵ ＝ ，∴ ， ∴ ， ， ∵ 抛 ＝ 抛 ，设 ＝ ， ＝ 䁛 ∴ ， ， 䁛∴ ， ＝䁜 试卷第13页，总21页
䁛∴ ＝䁜 ， ＝ ＝䁛 䁛 tan ， h h∴sin ＝sin h∵ ，h∴ ＝ sin 䁜 hh䁛 ＝ sin 䁛 h ∴tan ＝tan ， ∵tan h∴ hh∴ ， ∵ ＝ h䁛hhh∴ 䁛 䁜 ，h h ∴ ∴ ＝ ， ＝ ＝ ∵ 䁡 ＝ 䁡 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ＝ ∵tan ＝ ，∴tan 䁡 ＝ ，过 作 䁡于 䁛∵tan 䁡 ＝ ，tan ∴设 ＝䁛 ，则 ＝ ， 䁡＝䁛 ∴ ＝h ＝ ， ∴ ，h ∴ 䁡＝䁛 ＝䁛 h∵ ， 三＝䁛，∴ 三＝ 三＝䁜， t∴䁡三＝ 三 䁡＝䁜 ．hh试卷第14页，总21页
22.证明：∵ 䁡 ＝ ＝t ，∴䁡、 、 、 四点共圆，∴ 䁡 ＝ ．∵ 、 、 、䁡四点共圆，∴ ＝ 䁡 ，∴ ＝ ，∴ ． ∴ ， 即 ＝ ；延长 交 于 ，连接䁡 ，如图．试卷第15页，总21页
由题意知 䁡 ＝ 䁡 ＝ ＝ ＝t ，∵ ＝ h， 䁡＝ ， ＝䁛，∴ 䁡＝ h， ＝ 䁛．又∵ 䁡 ＝ ， 䁡 ＝ ，∴ 䁡 ， 䁡 䁡 ∴ ， 䁡h 䁜由①得： ， 䁛h 䁡 h䁜 䁡 h解得 ， 香∴ ＝ ＝ 香 䁛＝ h，∵ 上的高 䁡与 上的高 相交于点 ，∴ ， ∴ ， ∵ ＝ ＝ h，∴ ＝ ＝ 䁛，由（1）可知 ，∴ ， ∴ ， 䁛∴ ． h23.证明：∵ 䁡 ，∴ 䁡 ＝ 䁡 ＝t ，∴ 䁡 ＝t ， ＝ ，∴ 䁡 ＝t ，∵ ，∴ ＝t ，∴ 䁡 䁡 ＝t ，∴ ＝ 䁡 ，∵ 䁡 ＝ ＝t ，∴ 䁡 䁡＝t ， 䁡＝t ，∴ 䁡＝ ，∵ ＝ 䁡＝ 䁡 ＝ ，∴ ＝ ；∵ 䁡 ，∴ 䁡 ＝ 䁡 ＝t ，试卷第16页，总21页
∴ 䁡 䁡＝t ，∵ ＝t ，∴ 䁡 䁡＝t ，∴ 䁡 ＝ 䁡 ，∴ 䁡 䁡 ， 䁡䁡 ∴ ， 䁡 䁡∴ 䁡 ＝ 䁡 䁡 ，∵ ，∴ 䁡＝t ，∵ 䁡 ＝t ，∴ ＝ ，∴ 䁡 䁡， 䁡 䁡∴ ， 䁡䁡 ∴ 䁡 䁡 ＝ 䁡 䁡 ，∴ 䁡 ＝ 䁡 䁡 ，∵ ＝ 䁛 ，䁡 ＝t ，∴ 䁡＝䁡 ＝ ，∴ ＝t 䁡 ，h t∴䁡 ；t如图，∵ ＝t ，∴ ＝t ，∵ ＝ ，∴ ＝t ，∵ ＝t ，∴ ＝t ， ＝ ，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ 过点 作 于点 ，∵ 䁡 䁡，∴ 䁡，∴ 䁡， ∴ ， 䁡 t∴ ， 䁡 䁡 䁜䁛 ∴ ， 香 ∴ ， ， 香 h ∴ ， h过点 作 于点 ，试卷第17页，总21页
∵ ，∴ ， 香∴ ， 设 ＝香 ，则 ＝ ，∵ ＝ ， ，∴ ＝ ＝香 ，∴ ＝ ＝h ， ＝ ＝ ，∵线段 与 的长度刚好是关于 的一元二次方程h 䁜 h＝ 的两个实数根． 䁜 䁜 由根与系数关系得h ， hh h解得： ＝ ，hh∵ ， ，h∴ h，由（1）知， ＝ ， 䁡 ＝ 䁡 ，∴ ， ∴ ， h设 ＝ ܾ，则 ＝hܾ，在 中，根据勾股定理得， ＝䁛ܾ， ∴ ＝ ܾ，香 h在 中，根据勾股定理得， ܾ， ∵ ＝ ， ＝ ＝t ，∴ ， ∴ ， h ܾ ∴ ，hܾ ∴ ＝h．24.在 䁡 中， 䁡 ＝䁜 ， 䁡＝ ＝䁜，试卷第18页，总21页
则点䁡到 轴的距离 ＝ ， 故点䁡 ；䁡 ＝ ＝䁜，则点 t ；如图 ，连接 知 䁡 ，则 三 ，那么 在 上时不存在符合要求的 值；当 在䁡 上时，由于 三，且 三 ，所以四边形 三是平行四边形，则 ＝ 三，由䁜 ＝ ，得 ＝ ；①如图 ，当点 在䁡 上时， ， 三 则 䁡 三， ，䁡 䁡 则 䁡＝ ， ＝ ； ②如图 ，当点 在 上时，即 䁜， 三 则 三 三 ，则 ，即 ， 三 䁜 䁜 ；䁜 综上， 䁜 ； 䁜 䁜 如图 ，作点 关于直线 䁡的对称点 ，由菱形的对称性知点 在 䁡上，䁡 ＝䁡 ＝ ；过点 作 䁡 于点 ，在 䁡中， 䁡 ＝ 香 䁡 ＝䁜 ， 䁡 ＝ ，则 ＝ 䁡cos䁜 ， t ＝ 䁡 䁡 ； 作点 关于抛物线 䁡 对称轴的对称点 ，则䁡 ＝䁛，试卷第19页，总21页
连接 交 䁡于点 ，交对称轴于点 ，点 、 为所求点，用勾股定理得： ，故四边形 周长最小值为 ．25.结论： ＝ ．理由：连接 ，如图 ．设 ＝ ，则 ＝ ，∵ 䁡垂直平分 ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， ＝䁛 ．∵ 平分 ，∴ ＝ ．∵ ＝ 䁡 ＝t ，∴ ＝ 香 ＝ 香 t ＝t ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ．证明：作 于 ，取 中点香，连接 䁡 、 、 、 香、 香、 、 ，如图 ．∵ 平分 ， ， ，∴ ＝ ， ＝ ＝t ．∵ ＝t ，∴ ＝ ＝ ＝t ，∴四边形 是矩形．∵ ＝ ，∴矩形 是正方形，∴ ＝ ， ＝䁛h ， ＝t ．∵ 䁡垂直平分 ，∴ ＝ ．在 和 中， ， ∴ ，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ＝t ∵ ＝ ，∴ ＝ ＝䁛h ．∵ ＝t ， ＝ ，∴ ＝䁜 ， ＝ ，∴ ＝ ＝ h ．试卷第20页，总21页
∵ ＝t ，点䁡为 中点，∴ 䁡＝ 䁡，∴ 䁡 ＝ 䁡 ＝ ．∵点䁡与点䁡 关于 对称，∴ 䁡 ＝ 䁡 ＝ ， ∴ 䁡＝䁛h ＝ h ． ∵䁡 ＝䁡 ，䁡 ，∴䁡 垂直平分 ，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝t 䁛h ＝䁛h ，∴ ＝t ，∴ ＝ ＝t ．∵点香为 中点， ∴香 ＝香 ＝香 ＝香 ， ∴ 、 、 、 四点共圆，∴ ＝ ＝ h ，∴ 䁡＝ ＝ h ， 在 和 䁡 中， 䁡 ， 䁡 䁛h∴ 䁡 ，∴ ＝ 䁡 ，∴ ＝ 䁡 ．试卷第21页，总21页
