2014年上海市高考数学试卷(理科)
ID:45340 2021-10-23 1 6.00元 7页 46.99 KB
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2014年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共14题,满分56分))1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是________.2.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+1z)⋅z=________.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.4.设f(x)=x,x∈(-∞,a)x2,x∈[a,+∞) ,若f(2)=4,则a的取值范围为________.5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为________(结果用反三角函数值表示).7.已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是________.8.设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=limn→∞(a3+a4+...an),则q=________.9.若f(x)=x23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是________.10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是________(结果用最简分数表示).11.已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a, b}={a2, b2},则a+b=________.12.设常数a使方程sinx+3cosx=a在闭区间[0, 2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________7π3.13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为________.14.已知曲线C:x=-4-y2,直线l:x=6,若对于点A(m, 0),存在C上的点P和l上的Q使得AP→+AQ→=0→,则m的取值范围为________.二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分)15.设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(    )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件试卷第7页,总7页 16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1, 2,…8)是上底面上其余的八个点,则AB→⋅APi→(i=1, 2,…,8)的不同值的个数为()A.1B.2C.3D.417.已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是(    )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解18.设f(x)=(x-a)2,x≤0x+1x+a,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为()A.[-1, 2]B.[-1, 0]C.[1, 2]D.[0, 2]三、解答题(共5题,满分72分))19.底面边长为2的正三棱锥P-ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.设常数a≥0,函数f(x)=2x+a2x-a.(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x);(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.21.如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12∘,β=18.45∘,求CD的长(结果精确到0.01米).试卷第7页,总7页 22.在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1, y1),P2(x2, y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1, 2),B(-1, 0)被直线x+y-1=0分隔;(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;(3)动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.23.已知数列{an}满足13an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+...an,若13Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+...ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.试卷第7页,总7页 参考答案与试题解析2014年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(共14题,满分56分)1.π22.63.x=-24.(-∞, 2]5.226.arccos137.138.5-129.(0, 1)10.11511.-112.7π313.0.214.[2, 3]二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.B16.A17.B18.D三、解答题(共5题,满分72分)19.解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60∘,∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60∘,∴试卷第7页,总7页 ∠P1=60∘,同理∠P2=∠P3=60∘,∴△P1P2P3是等边三角形,P-ABC是正四面体,∴△P1P2P3的边长为4,VP-ABC=212×AB3=223.20.解:(1)∵a=4,∴f(x)=2x+42x-4=y,∴2x=4y+4y-1,∴x=log24y+4y-1,∴调换x,y的位置可得y=f-1(x)=log24x+4x-1,x∈(-∞, -1)∪(1, +∞).(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)对任意x均成立,∴2x+a2x-a=2-x+a2-x-a,整理可得a(2x-2-x)=0.∵2x-2-x不恒为0,∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x均成立,∴2x+a2x-a=-2-x+a2-x-a,整理可得a2-1=0,∴a=±1,∵a≥0,∴a=1,此时f(x)=2x+12x-1,x≠0,满足条件;当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数,综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数.21.解:(1)设CD的长为x米,则tanα=x35,tanβ=x80,∵0<2β≤α<π2,∴tanα≥tan2β>0,∴tanα≥2tanβ1-tan2β,即x35≥2⋅x801-x26400=160x6400-x2,解得01,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2qn-2>0对于不等式qn+1-3qn+2≤0,令n=1,得q2-3q+2≤0,解得1≤q≤2,又当1≤q≤2,q-3<0,∴qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立,∴10,q-3<0,3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2<2qn-2<0,qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)>0∴试卷第7页,总7页 13≤q<1时,不等式恒成立,上,q的取值范围为:13≤q≤2.设a1,a2,…ak的公差为d.由13an≤an+1≤3an,且a1=1,得13[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d],n=1,2,⋯,k-1即(2n+1)d≥-2(2n-3)d≥-2 n=1,2,⋯,k-1当n=1时,-23≤d≤2;当n=2,3,…,k-1时,由-22n+1>-22n-3,得d≥-22n+1,所以d≥-22k-1≥-23,所以1000=ka1+k(k-1)2d≥k+k(k-1)2⋅-22k-1,即k2-2000k+1000≤0,得k≤1999所以k的最大值为1999,k=1999时,a1,a2,…ak的公差为-11999.试卷第7页,总7页
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