2013年上海市春季高考数学试卷
ID:45336 2021-10-23 1 6.00元 8页 61.09 KB
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2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.)1.函数=logݔ的定义域是________.2.方程ݔ=的解是________.3.抛物线=ݔ的准线方程是________.4.函数=sinݔ的最小正周期是________.5.已知向量䁖,ǡ.若,则实数=________.6.函数=sinݔncosݔ的最大值是________.7.复数n(是虚数单位)的模是________.8.在䳌䁨中,角,䳌,䁨所对边长分别为,,,若=,=,䳌=,则=________.9.正方体䳌䁨ܥǡ䁖䳌䁖䁨䁖ܥ䁖中,异面直线䁖䳌与䳌䁖䁨所成角的大小为________.10.从名男同学和名女同学中随机选取n人参加某社团活动,选出的n人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).11.若等差数列的前项和为n,前项和为,则数列的前项和=________.12.n的所有正约数之和可按如下方法得到:因为nn,所以n的所有正约数之和为䁖nnnnnn䁖䁖nn䁖,参照上述方法,可求得的所有正约数之和为________.二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.)13.展开式为݀ǡ的行列式是()݀A.B.C.D.݀݀݀14.设ǡ䁖ݔݔ数函为ݔ的反函数,下列结论正确的是()A.ǡ䁖=B.ǡ䁖=C.ǡ䁖=D.ǡ䁖=15.直线ݔǡn䁖=的一个方向向量是()A.ǡnB.nC.ǡnD.n䁖ǡ16.函数ݔݔ的大致图象是()试卷第1页,总8页 A.B.C.D.17.如果൏൏,那么下列不等式成立的是()䁖䁖䁖䁖A.൏B.൏C.ǡ൏ǡD.ǡ൏ǡ18.若复数䁖,满足䁖,则䁖,在复数平面上对应的点䁖,()A.关于ݔ轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线ݔ对称19.䁖ݔ䁖的二项展开式中的一项是()A.ݔ.Dnݔ䁖.Cݔ.Bݔ20.既是偶函数又在区间上单调递减的函数是()A.=sinݔcos=.Dݔsin=.Cݔcos=.Bݔ21.若两个球的表面积之比为䁖为,则这两个球的体积之比为A.䁖为B.䁖为C.䁖为D.䁖为䁖22.设全集,下列集合运算结果为的是()A.B.C.D.䁙23.已知,,,“ǡ൏”是“函数ݔ在恒象图的ݔݔ=ݔ轴上方”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.已知,䳌为平面内两定点,过该平面内动点作直线䳌的垂线,垂足为.若䳌,其中为常数,则动点的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线试卷第2页,总8页 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.)25.如图,在正三棱柱䳌䁨ǡ䁖䳌䁖䁨䁖中,䁖,异面直线䳌䁨䁖与䁖所成角的大小为,求该三棱柱的体积.26.如图,某校有一块形如直角三角形䳌䁨的空地,其中䳌为直角,䳌长米,䳌䁨长米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且䳌为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.27.已知数列䁙的前项和为ǡ,数列䁙满足,求lim䁖.28.已知椭圆䁨的两个焦点分别为䁖ǡ䁖、䁖,短轴的两个端点分别为䳌䁖,䳌(1)若䁖䳌䁖䳌为等边三角形,求椭圆䁨的方程;(2)若椭圆䁨的短轴长为,过点的直线与椭圆䁨相交于,两点,且䁖䁖,求直线的方程.29.已知抛物线䁨为=ݔ的焦点为.(1)点,满足ǡ.当点在抛物线䁨上运动时,求动点的轨迹方程;(2)在ݔ=线直于关点得使,点在存否是上轴ݔ的对称点在抛物线䁨上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.30.在平面直角坐标系ݔ为标坐横其,上轴ݔ在点,上轴半正轴在点,中0ݔ,且ݔ䁙是首项为䁖、公比为的等比数列,记=,.䁖䁖(1)若narctan,求点的坐标;n(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.试卷第3页,总8页 31.已知真命题:“函数=ݔ的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数=ݔǡ是奇函数”.(1)将函数ݔnǡnݔ=ݔ的图象向左平移䁖个单位,再向上平移个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数ݔ图象对称中心的坐标;ݔ(2)求函数ݔ图象对称中心的坐标;ǡݔ(3)已知命题:“函数=ݔ的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和,使得函数=ݔǡ是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).试卷第4页,总8页 参考答案与试题解析2013年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,要求直接填写结果,每题填对得3分,否则一律得0分.1.ǡ2.n3.ݔ=ǡ4.n5.ǡ6.7.䁖n8.9.10.11.ǡ12.n二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内,选对得3分,否则一律得0分.13.B14.B15.D16.A17.D18.A19.C20.B21.C22.A23.D24.C试卷第5页,总8页 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有7题,解答下列各题必须写出必要的步骤.25.解:因为䁨䁨䁖䁖.所以䳌䁨䁖䁨为异面直线䳌䁨䁖与䁖所成的角,即䳌䁨䁖䁨.n在䳌䁨䁖䁨中,䳌䁨䁨䁨䁖tan䳌䁨䁖䁨n,nn从而䳌䁨䳌䁨nn,因此该三棱柱的体积为䳌䁨䁖nn䁖n.26.该健身房的最大占地面积为平方米.27.当时,ǡǡǡ䁖ǡǡ䁖ǡ,ǡ䁖且䁖=䁖=,所以=ǡǡ䁖ǡ䁖䁙是首项为䁖、公比为䁖因为,所以数列的无穷等比数列.䁖故lim䁖䁖.䁖ǡnݔ28.设椭圆䁨的方程为䁖.䁖根据题意知,解得,ǡ䁖nnnݔ故椭圆䁨的方程为n䁖.ݔ由=,得=䁖,所以==,得椭圆䁨的方程为䁖.当直线的斜率不存在时,其方程为ݔ=䁖,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为=ݔǡ䁖.ݔǡ䁖由,得䁖ݔǡݔǡ䁖=.ݔ䁖设ݔ,䁖䁖ݔ,则ǡ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔ䁖,䁖ݔ䁖䁖䁖䁖ݔ䁖因为䁖䁖,所以䁖䁖,即ݔ䁖ǡ䁖ݔ䁖ݔ䁖ݔݔ䁖ݔ䁖䁖ݔ䁖䁖ݔǡ䁖䁖ݔ䁖ݔ䁖ǡǡݔ䁖ݔ䁖ǡ䁖䁖ǡǡ䁖䁖䁖䁖试卷第6页,总8页 ǡ䁖䁖,解得,即.䁖故直线的方程为ݔ或䁖ǡݔǡǡ䁖.29.设动点的坐标为ݔǡݔ则,ݔ为标坐的点,ݔǡ,因为的坐标为䁖,所以ݔǡ䁖,由ǡ,得ݔǡ=ǡݔǡݔǡ䁖.ݔǡݔ䁖ǡݔǡݔǡݔ即,解得ǡǡǡ代入=ݔǡ=为程方迹轨的点动到得,ݔ.设点的坐标为.点关于直线=ݔ为点称对的ݔ,䁖nǡݔǡ则ݔǡ,解得.ݔ䁖若在䁨上,将的坐标代入=ݔ,得䁖=,即=或ǡ.䁖所以存在满足题意的点,其坐标为和ǡ.30.设,根据题意,ݔ=ǡ䁖.䁖䁖由narctan,知tann,nnݔݔnǡ而tann=tan0ǡ0nݔݔn,䁖n䁖所以,解得=或=.nn故点的坐标为或.ǡ䁖由题意,点的坐标为ǡ䁖,tan0.ǡ䁖ǡ䁖∴tan=tan0䁖ǡ0ǡ䁖䁖.䁖䁖䁖因为,所以tan,䁖当且仅当,即=时等号成立.∵൏൏,=tanݔ在上为增函数,∴当=时,最大,其最大值为arctan.31.平移后图象对应的函数解析式为=ݔ=得理整,䁖ݔnǡn䁖ݔnǡnݔ,由于函数=ݔ数函,知题命真设题由,数函奇是ݔnǡnݔ图象对称中心的坐标是䁖ǡ.试卷第7页,总8页 ݔ设ݔ的对称中心为,ǡݔ由题设知函数ݔǡ是奇函数.ݔ设ݔ则,ǡݔ=ݔǡ,ǡݔݔ即ݔǡ.ǡݔǡݔ由不等式的解集关于原点对称,则ǡǡ=,得=.ǡݔǡݔ此时ݔ,ǡݔǡ.ǡݔ任取ݔݔǡ由,ǡݔ=,得=䁖,ݔ所以函数ݔ图象对称中心的坐标是䁖.ǡݔ此命题是假命题.举反例说明:函数ݔǡ=线直于关象图的ݔ=ݔ成轴对称图象,但是对任意实数和,函数=ݔ=即,ǡݔǡ总不是偶函数.修改后的真命题:“函数=ݔ线直于关象图的ݔ=成轴对称图象”的充要条件是“函数=ݔ是偶函数”.试卷第8页,总8页
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