2012年上海市高考数学试卷(理科)
ID:45334 2021-10-23 1 6.00元 8页 63.31 KB
已阅读8 页,剩余0页需下载查看
下载需要6.00元
免费下载这份资料?立即下载
版权声明
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站微信客服:www61baobao
展开
2012年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(56分):)嘿1.计算:________(为虚数单位).挀2.若集合ሼݔݔ嘿ሼሼ,ݔʹ挀ሼݔ,则________.ݔcosሼ3.函数ሺሼݔ的值域是________.sinሼ嘿4.若ሺ嘿ݔݔ是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示).ݔ5.在ሺሼ嘿ݔ的二项展开式中,常数项等于________.ሼ6.有一列正方体,棱长组成以为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,ݔlimݔ挀ǤǤǤ挀ݔ挀ሺ则,…,,…,ݔ________.7.已知函数ሺሼݔ=ሼ嘿െ(െ为常数).若ሺሼݔ在区间挀ݔ上是增函数,则െ的取值范围是________.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为ݔ的半圆面,则该圆锥的体积为________.9.已知ሺሼݔ挀ݔሼሺݔሼሺ若,ݔሺ且,数函奇是ݔሼ挀ݔ,则ሺ嘿ݔ________.10.(ݔݔሺ点过,中系标坐极在,图如)海上·ݔݔ的直线与极轴的夹角,若将的极坐标方程写成ሺݔሺ则,式形的ݔ________.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).12.在平行四边形툃팃中,,边、팃的长分别为ݔ、,若、分别是툃边툃、툃팃上的点,且满足,则的取值范围是________.툃툃팃13.已知函数ሺሼݔሺ툃、ݔሺ、ݔሺ中其,툃段线折是象图的ݔ,函数ݔሼሺሼݔሺሼݔ的图象与ሼ轴围成的图形的面积为________.试卷第1页,总8页 14.如图,팃与툃是四面体툃팃中互相垂直的棱,툃ݔ팃若,ݔ,且挀팃툃挀툃팃ݔെ,其中െ、为常数,则四面体툃팃的体积的最大值是________.二、选择题(20分):)15.若挀ݔሼ程方数系实的ሼ于关是ݔ挀ܾሼ挀的一个复数根,则()A.ܾݔ嘿ܾ.B,ݔ,C.ܾ嘿ݔܾ.D嘿,ݔ,嘿16.在툃中,若sinݔ挀sinݔsinݔ툃,则툃的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定17.设ሼሼሼሼ,ሼ,随机变量取值ሼ,ሼ,ሼ,ሼ,ሼݔݔሼ挀ሼݔሼݔ挀ሼሼ挀ሼሼ挀ሼሼ挀ሼ的概率均为Ǥݔ,随机变量ݔ取值,,,,的概率也均为Ǥݔ,ݔݔݔݔݔ若记팃,팃ݔ分别为,ݔ的方差,则()A.팃ʹ팃ݔB.팃팃ݔC.팃팃ݔD.팃与팃ݔ的大小关系与ሼ,ሼݔ,ሼ,ሼ的取值有关18.设െsin,െ挀െݔ,在,െ挀ǤǤǤ挀ݔ,…中,正数的个数是ݔሺݔA.ݔB.C.D.三、解答题(共5小题,满分74分))19.如图,在四棱锥嘿툃팃中,底面툃팃是矩形,底面툃팃,是툃的中点,已知=ݔ=,ݔݔ=팃,ݔ,求:(1)三角形툃팃的面积;(2)异面直线툃与所成的角的大小.20.已知ሺሼݔ挀ሼሺglݔ.ሺݔ若ሺ嘿ݔሼݔ嘿ሺሼݔ,求ሼ的取值范围;试卷第2页,总8页 ሺݔሼሺݔሼሺ,时ሼ当且,数函偶的期周为ݔ以是ݔሼሺ若ݔݔ,求函数ሺሼݔ㌳ݔሼሺݔ的反函数.21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向ݔ海里处,如图,现假设:ݔݔ①失事船的移动路径可视为抛物线ሼ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为(1)当Ǥ时,写出失事船所在位置的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向.(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.在平面直角坐标系ሼ2中,已知双曲线툃ݔ嘿ݔሼݔ.(1)过툃的左顶点引툃的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及ሼ轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为的直线交툃于、两点,若与圆ሼݔ挀ݔ相切,求证:22;(3)设椭圆툃ሼݔ挀ݔ,若、分别是툃、툃上的动点,且22,求证:ݔݔ2到直线的距离是定值.23.对于数集=嘿ሼሼݔ,ሼǤǤǤݔሼሼ中其,ݔሼǤǤǤݔ,定义向量集=െെሺ䁞ݔെെ得使,ݔെ在存,െ意任对若,ݔ䁞ݔ,则称具有性质.例如嘿ݔݔ具有性质.(1)若ሼʹݔሼݔ嘿且,ݔ具有性质,求ሼ的值;(2)若具有性质,求证:,且当ሼʹ时,ሼ=;(3)若具有性质,且ሼ=、ሼݔ=(为常数),求有穷数列ሼ,ሼݔ,…,ሼ的通项公式.试卷第3页,总8页 参考答案与试题解析2012年上海市高考数学试卷(理科)一、填空题(56分):1.嘿ݔ2.ሺ嘿ݔݔ3.嘿,嘿㌳ݔݔ4.arctanݔ5.嘿6.7.ሺ嘿㌳8.9.嘿10.sin嘿ݔ11.12.ݔ㌳13.ݔ嘿ݔെݔ嘿14.二、选择题(20分):15.B16.C17.A18.D三、解答题(共5小题,满分74分)19.∵底面툃팃,툃팃底面툃팃,∴툃팃.∵矩形툃팃中,툃팃팃,而、팃是平面팃的交线.∴툃팃平面팃,∵팃平面팃,∴툃팃팃,三角形툃팃是以팃为直角顶点的直角三角形.∵팃中,팃=ݔ=,ݔݔ,∴팃ݔݔ팃挀ݔ.∴三角形툃팃的面积팃팃툃=ݔ.ݔ试卷第4页,总8页 [解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,可得ሺݔݔሺ,ݔݔݔݔሺ툃,ݔݔ.∴ሺݔݔݔሺ툃,ݔݔ,툃ݔ设与툃夹角为,则cos,툃ݔݔݔݔ∴,由此可得异面直线툃与所成的角的大小为.[解法二]取的中点,连接、、툃,∵툃中,、分别是툃、的中点,∴툃,或其补角就是异面直线툃与所成的角.∵툃中,툃ݔ툃挀ݔ.∴툃=ݔ,ݔ∵在中,툃ݔ,ݔݔݔ∴ݔ=ݔ挀ݔ,是以为直角顶点的等腰直角三角形,∴,可得异面直线툃与所成的角的大小为.20.解:ሺݔ挀ሼሺgl嘿ݔሼݔ嘿ݔሺglݔ挀ሼሺgl嘿ݔ挀ሼݔ嘿ሺglݔሼሺ嘿ݔሼݔ嘿ሺݔ,要使函数有意义,ݔ嘿ݔሼʹ则由ሼ挀ʹ解得:嘿ሼ.ݔ嘿ݔሼ由lgሺݔ挀ሼሺgl嘿ݔሼݔ嘿ݔlg,ሼ挀ݔ嘿ݔሼ得:,ሼ挀∵ሼ挀ʹ,∴ሼ挀ݔ嘿ݔሼሼ挀,ݔ∴嘿ሼ.试卷第5页,总8页 嘿ሼ,由ݔ,嘿ሼݔ得:嘿ሼ.ሺݔ,时㌳ݔሼ当ݔݔ嘿ሼ㌳,∴ሺሼݔሺሼ嘿ݔݔሺݔ嘿ሼݔሺݔ嘿ሼݔlgሺ嘿ሼݔ,由单调性可知lgݔ㌳,又∵ሼ嘿,∴所求反函数是嘿ሼ,ሼlgݔ㌳.ݔݔ21.解:(1)Ǥ时,的横坐标ሼ,代入抛物线方程ሼ中,得ݔ的纵坐标.…ݔ分由,得救援船速度的大小为海里/时.…分ݔ由tan2,得2arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.…分(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为ሺݔݔݔ.由ሺݔ挀ݔሺݔ得理整,ݔݔݔ挀ݔݔሺ挀ݔݔ挀.…分ݔݔݔݔ因为挀ݔ挀ݔ以所,立成号等时当仅且当,ݔ,即ݔݔ.因此,救援船的时速至少是ݔ海里才能追上失事船.…分ሼݔݔݔ22.解:(1)双曲线툃嘿左顶点ሺ嘿ݔ,ݔݔ渐近线方程为:ݔሼ.ݔ过与渐近线ݔ即,ݔ挀ሼሺݔ为程方线直的行平ሼݔሼ挀,ݔݔ嘿ݔሼሼ嘿所以,解得.ݔሼ挀ݔݔ所以所求三角形的面积为2.ݔ(2)设直线的方程为䁠ሼ挀ܾ,ܾ因直线与已知圆相切,故,ݔ䁠ሼ挀ܾ即ܾݔݔ,由,ݔ嘿ݔሼݔ得ሼݔ嘿ݔܾሼ嘿ܾݔ嘿,ሼ挀ሼݔݔܾ设ሺሼݔ则,ݔݔݔሼሺ,ݔ,ሼሼݔ嘿嘿ܾ又ݔܾ挀ݔሼሺݔܾ挀ሼሺݔ.所以22ሼሼݔܾ挀ݔݔሼ挀ሼሺܾ挀ݔሼሼݔݔ挀ݔݔሺ嘿嘿ܾݔݔ挀ݔܾݔ挀ܾݔ试卷第6页,总8页 ܾݔ嘿ݔ.故22.ݔ(3)当直线2垂直ሼ轴时,2,2,则2到直线的距离为.ݔݔ当直线2不垂直ሼ轴时,设直线2的方程为:䁠ሼ,(显然䁠ʹ),ݔ则直线2的方程为嘿ሼ,由䁠ݔሼ䁠ሼ挀䁠ݔሼݔ䁠得ݔ挀ݔ,ݔ挀䁠ݔݔ䁠挀ݔ所以2.挀䁠ݔݔ䁠挀ݔ同理2,ݔ䁠ݔ嘿设2到直线的距离为,因为ሺ2ݔ2ݔ2ݔݔݔ2挀ݔ,挀䁠ݔ所以挀,ݔ䁠ݔ2ݔ2ݔ挀即.综上,2到直线的距离是定值.23.选取െሺሼݔ=ሼ以所,ݔܾ嘿ሺ式形有必素元的直垂െ与中则,ݔݔܾ,又∵ሼʹݔ=ܾ有只∴,ݔ,从而ሼ=.取െሺሼሼݔ挀䁞ሺ得可,ݔെെ足满,ݔ䁞ሺݔെ设,ݔሼ=,䁞挀=,所以䁞、异号.因为嘿是数集中唯一的负数,所以䁞、中的负数必为嘿,另一个数是,所以,假设ሼ䁠=,其中䁠,则ሼሼ.再取െሺሼሼݔെെ足满,ݔ䁞ሺݔെ设,ݔ,可得䁞ሼ挀ሼ=,所以䁞、异号,其中一个为嘿①若䁞=嘿,则ሼ=ሼʹሼ,矛盾;②若=嘿,则ሼ=䁞ሼ䁞ሼ,矛盾;说明假设不成立,由此可得当ሼʹ时,ሼ=.[解法一]猜想:ሼ=嘿,=,ݔ,,…,记䁠嘿ሼሼݔ=䁠,ݔ䁠ሼǤǤǤݔ,,…,先证明若䁠挀具有性质,则䁠也具有性质.任取െሺ䁞ݔെെ足满ݔെ有然显,时嘿现出中、䁞当,䁠、䁞,ݔ当䁞、中都不是嘿时,满足䁞且.因为䁠挀具有性质,所以有െݔെെ得使,挀䁠、䁞,ݔ䁞ሺݔ,从而䁞、其中有一个为嘿不妨设䁞=嘿,试卷第7页,总8页 假设䁠挀,且䁠,则=ሼ䁠挀.由ሺ䁞ݔ挀䁠ሼ嘿ሺݔ=,得䁞=ሼ䁠挀ሼ䁠挀,与䁞䁠矛盾.所以䁠,从而䁠也具有性质.再用数学归纳法,证明ሼ=嘿,=,ݔ,,…,当=ݔ时,结论显然成立;假设当=䁠时,嘿ሼሼǤǤǤሼݔ,=,嘿=ሼ则,质性有具ݔ,…,䁠䁠ݔ䁠当=䁠挀时,若䁠挀嘿ሼሼݔǤǤǤሼ䁠挀ݔ具有性质,则䁠嘿ሼሼݔǤǤǤሼ䁠ݔ具有性质,所以嘿ݔሼ嘿䁠ǤǤǤݔ.䁠挀䁠挀取െሺሼ䁠挀ݔെെ足满,ݔ䁞ሺݔെ设并,ݔ,由此可得䁞=嘿或=嘿若=嘿,则ሼ䁠挀,不可能䁞所以䁞=嘿,ሼ==䁠且ሼʹ䁠嘿,因此ሼ=䁠䁠挀䁠挀䁠挀综上所述,ሼ=嘿,=,ݔ,,…,䁞ݔ[解法二]设െሺ䁞ݔെെ则,ݔݔݔ䁞ሺݔെ,ݔ等价于嘿䁞ݔ䁞记=䁞且䁞ʹݔ,则数集具有性质,当且仅当数集关于原点对称注意到嘿是集合中唯一的负数,ሺ嘿ݔሼ嘿ǤǤǤሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿=ݔ,共有嘿个数.所以ሺ挀ݔ也有嘿个数.ሼሼሼሼሼ由于,已经有嘿个数ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼݔሼሼሼሼሼሼ对以下三角形数阵:,ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼݔሼሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼ嘿ሼ…ሼݔሼሼሼ嘿ሼ嘿ݔሼݔሼሼ嘿ሼݔ注意到ʹʹʹʹ,所以ሼሼሼሼሼ嘿ሼ嘿ݔሼሺሼݔݔ䁠嘿䁠嘿从而数列的通项公式是ሼ䁠=ሼ=,䁠=,ݔ,,…,.ሼ试卷第8页,总8页
2012年上海市高考数学试卷(理科)