2011年上海市春季高考数学试卷
ID:45331 2021-10-23 1 6.00元 6页 46.29 KB
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2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.)1.函数f(x)=lg(x-2)的定义域是________.2.若集合A={x|x≥1},B={x|x2≤4},则A∩B=________.3.在△ABC中,tanA=23,则sinA=________.4.若行列式2x412=0,则x=________.5.若sinx=13,x∈[-π2,π2],则x=________(结果用反三角函数表示)6.(x+1x)6的二项展开式的常数项为________.7.两条直线l1:x-3y+2=0与l2:x-y+2=0的夹角的大小是________.8.若Sn为等比数列{an}的前n项的和,8a2+a5=0,则S6S3=________.9.若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线x25-y24=1的顶点和焦点,则椭圆C的方程是________.10.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为________.11.根据如图所示的程序框图,输出结果i=________.12.2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么录取方法的种数为________.13.有一种多面体的饰品,其表面右6个正方形和8个正三角形组成(如图),则AB与CD所成的角的大小是________.试卷第5页,总6页 14.为求方程x5-1=0的虚根,可以把原方程变形为(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一个虚根为________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.)15.若向量a→=(2,0),b→=(1,1),则下列结论正确的是()A.a→⋅b→=1B.|a|=|b→|C.(a→-b→)⊥b→D.a→∥b→16.f(x)=4x-12x的图象关于()A.原点对称B.直线y=x对称C.直线y=-x对称D.y轴对称17.直线l:y=k(x+12)与圆C:x2+y2=1的位置关系是()A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交18.若a1→,a2→,a3→均为单位向量,则a1→=(33, 63)是a1→+a2→+a3→=(3, 6)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.)19.已知向量a→=(sin2x-1, cosx),b→=(1, 2cosx),设函数f(x)=a→⋅b→,求函数f(x)的最小正周期及x∈[0, π2]时的最大值.20.某甜品店制作蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形,下半部分呈圆锥形(如图).现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形,用一个扇形蛋皮围成锥形侧面(蛋皮厚度忽略不计),求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01).21.已知抛物线F:y2=4x(1)△ABC的三个顶点在抛物线F上,记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB,kBC,kCA,若A的坐标在原点,求kAB-kBC+kCA的值;试卷第5页,总6页 (2)请你给出一个以P(2, 1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形,写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式,并说明理由.22.定义域为R,且对任意实数x1,x2都满足不等式f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2的所有函数f(x)组成的集合记为M,例如,函数f(x)=kx+b∈M.(1)已知函数f(x)=x,x≥012x,x<0,证明:f(x)∈M;(2)写出一个函数f(x),使得f(x0)∉M,并说明理由;(3)写出一个函数f(x)∈M,使得数列极限limn→∞f(n)n2=1,limn→∞f(-n)-n=1.23.对于给定首项x0>3a(a>0),由递推公式xn+1=12(xn+axn)(n∈N)得到数列{xn},对于任意的n∈N,都有xn>3a,用数列{xn}可以计算3a的近似值.(1)取x0=5,a=100,计算x1,x2,x3的值(精确到0.01);归纳出xn,xn+1,的大小关系;(2)当n≥1时,证明:xn-xn+1<12(xn-1-xn);(3)当x0∈[5, 10]时,用数列{xn}计算3100的近似值,要求|xn-xn+1|<10-4,请你估计n,并说明理由.试卷第5页,总6页 参考答案与试题解析2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.1.(2, +∞)2.{x|1≤x≤2}3.22114.15.arcsin136.207.π128.-79.x29+y24=110.211.812.16813.π314.-1-5+10-25i4二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.C16.A17.D18.B三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.19.解:∵向量a→=(sin2x-1, cosx),b→=(1, 2cosx),函数f(x)=a→⋅b→=(sin2x-1)+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4),故函数的周期为2π2=π.∵x∈[0, π2],∴π4≤2x+π4≤5π4,故当2x+π4=π2时,函数取得最大值为 2.试卷第5页,总6页 20.解:设圆锥的底面半径为r,高为h.因为2πr=25π⋅10,所以r=2.则h=102-22=46.则圆锥的表面积S=π⋅1025+2π⋅22=28π≈87.96(cm2).体积V=13π⋅22×46+23π⋅23=163(6+1)π≈57.80(cm2).故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2,体积约为57.80cm3.21.解:(1)设B(x1, y1),C(x2, y2),∵x12=4y1,x22=4y2,∴kAB-kBC+kCA=y1x1-y2-y1x2-x1+y2x2=14x1-14(x1+x2)+14x2=0;(2)①研究△PBC,kPB-kBC+kCP=yB-yPxB-xP-yC-yBxC-xB+yP-yCxP-xC=xP+xB4-xB+xC4+xC+xP4=xP2=1;②研究四边形PBCD,kPB-kBC+kCD-kDP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xP4=0;③研究五边形PBCDE,kPB-kBC+kCD-kDE+kEP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xE4+xE+xP4=xP2=1;④研究n=2k边形P1P2...P2k(k∈N, k≥2),其中P1=P,有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-1kP2kP1=0,证明:左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-114(xP2k+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1]=1+(-1)2k-12=0=右边;⑤研究n=2k-1边形P1P2...P2k-1(k∈N, k≥2),其中P1=P,有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-2kP2k-1P1=1,证明:左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-114(xP2k-1+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1-1]=1+(-1)2k-1-12=1=右边;⑥研究n边形P1P2...Pn(k∈N, k≥3),其中P1=P,有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)n-1kPnP1=1+(-1)n-12,证明:左边=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)n-114(xPn+xP1)=xP14[1+(-1)n-1]=1+(-1)n-12=右边.22.解:(1)证明:由题意,当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时,f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立设x1≤0≤x2,且x1+x22<0,∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12⋅x1+x22=x24≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立试卷第5页,总6页 设x1≤0≤x2,且x1+x22≥0,∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12⋅x1+x22=-x14≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立∴综上所述,f(x)∈M;(2)如函数f(x)=-x2,f(x)∉M取x1=-1,x2=1,则f(x1)+f(x2)2=-1,f(x1+x22)=0此时f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2不成立;(3)f(x)=x2,x≥1x,x<1满足f(x)∈M,且limn→∞f(n)n2=limn→∞n2n2=1,limn→∞f(-n)-n=limn→∞-n-n=1.23.(1)解:∵x0=5,a=100,xn+1=12(xn+axn)∴x1=12(5+1005)≈4.74同理可得x2≈4.67,x3≈4.65猜想xn>xn+1;(2)证明:xn-xn+1-12(xn-1-xn)=xn-12axn-12xn-1=a2⋅xn-xn-1xn-1xn∵xn>3a;∴xn-xn+1=12(xn-axn)=12⋅xn3-axn>0∴xn>xn+1∴xn-xn+1<12(xn-1-xn);(3)解:由(2)知0104(x0-x1)∵x0-x1=12(x0-10x0)∴n>log2(104⋅10-102)=15.1∴n=16.试卷第5页,总6页
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