2015年北京市高考数学试卷(文科)
ID:44779 2021-10-19 1 6.00元 8页 82.77 KB
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2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分))1.若集合噰ܟɵۨ灰灰ۺ벀,噰ܟɵ灰灰벀,则噰䁧A.ܟɵ灰灰ۨ灰灰ۺɵܟ.B벀ۨ벀C.ܟɵ灰灰벀D.ܟɵۺ灰灰벀2.圆心为䁧心为心且过原点的圆的方程是()A.䁧心ۨ心䁧ۨ心䁧.B心噰ۨ心䁧ۨ噰心C.䁧心ۨ噰ۨ心䁧ۨ心䁧.Dۨ噰ۨ心䁧ۨ3.下列函数中为偶函数的是䁧A.噰ۨ噰.Dɵnlɵ噰.Csocۨ噰.Bnisۨ4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有ۨ年人,则该样本的老年教师人数为()类人别数老年年年教师中心′年年年教师青心′年年年教师合年年计A.年B.心年年C.心′年D.年年试卷第1页,总8页,5.执行如图所示的程序框图,输出的值为䁧A.B.C.ۺD.′6.设,是非零向量,“噰ɵɵɵɵ”是“”的䁧A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为䁧A.心B.ۨ.D.Cۨ8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况:加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)ۺۨ心日心月ۺ年ۺ心年ۨ年年年ۺ′ۺ心月ۺ年ۺ心年ۨ′年年日注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每心年年千米平均耗油量为䁧A.′升B.′升C.心年升D.心ۨ升试卷第2页,总8页,二、填空题)9.复数䁧心的实部为________.心10.ۺۨgol,ۨ,ۨ三个数中最大的数是________.ۨ11.在䁨中,噰,噰′,噰,则噰________.ۨ12.已知䁧ۨ线曲双是年为ۨ噰心䁧年的一个焦点,则噰________.ۨ13.如图,䁨及其内部的点组成的集合记为,䁧为为中任意一点,则噰ۨ的最大值为________.14.高三年级ۨ′年位学生参加期末考试,某班年位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是________.三、解答题(共80分))15.已知函数䁧噰sinۨnisۨ.ۨ䁧心求䁧的最小正周期;ۨ䁧ۨ求䁧在区间年为上的最小值.16.已知等差数列ܟ벀满足心ۨ噰,年心噰ۨ.䁧心求ܟ벀的通项公式;䁧ۨ足满벀ܟ列数比等设ۨ噰,噰年,问:′与数列ܟ벀的第几项相等?试卷第3页,总8页,17.某超市随机选取心年年年位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“”表示未购买.甲乙丙丁心年年√√√ۨ心年√√ۨ年年√√√年年√√′ۺ√′√䁧心估计顾客同时购买乙和丙的概率;䁧ۨ估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率;䁧如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.如图,在三棱锥䁨中,平面平面䁨,为等边三角形,䁨䁨且䁨噰䁨噰ۨ,,分别为,的中点.䁧心求证:平面䁨;䁧ۨ求证:平面䁨平面;䁧求三棱锥䁨的体积.ۨ19.设函数䁧噰ln,年.ۨ䁧心求䁧的单调区间和极值;䁧ۨ证明:若䁧存在零点,则䁧在区间䁧心为上仅有一个零点.20.已知椭圆䁨ۨ䁧点过不且年为心䁧点过,噰ۨۨ为心的直线与椭圆䁨交于,两点,直线与直线噰交于点.䁧心求椭圆䁨的离心率;䁧ۨ若垂直于轴,求直线的斜率;䁧试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.试卷第4页,总8页,参考答案与试题解析2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.C8.B二、填空题9.心10.logۨۺ11.12.13.年14.乙,数学三、解答题(共80分)15.解:䁧心∵䁧噰sinۨnisۨۨ心cos噰sinۨۨ噰sincos噰ۨsin䁧,ۨ∴䁧的最小正周期噰噰ۨ;心ۨ䁧ۨ∵年为,∴为,∴sin䁧年为心,即䁧噰ۨ为䁧nisۨ,ۨ解得䁧在区间年为上的最小值为.16.解:䁧心设等差数列ܟ벀的公差为,∵噰ۨ噰以所,ۨ,∵心ۨ以所,年心噰ۨ心噰心年,∴心噰,∴噰ۨۨ噰心䁧ۨ;试卷第5页,总8页,䁧ۨ设等比数列ܟ벀的公比为,∵ۨ噰噰′,噰年噰心′,心噰′为∴心ۨ噰心′为∴噰ۨ,心噰,∴噰ۨۨ噰′ۨ心而,′ۨ心噰心′ۨ,′∴噰′,∴′与数列ܟ벀中的第′项相等.17.解:䁧心从统计表可得,在这心年年年名顾客中,同时购买乙和丙的有ۨ年年人,ۨ年年故顾客同时购买乙和丙的概率为噰年洠ۨ;心年年年䁧ۨ在这心年年年名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的有心年年ۨ年年噰年年(人),年年故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率为噰年洠;心年年年ۨ年年䁧在这心年年年名顾客中,同时购买甲和乙的概率为噰年洠ۨ,心年年年心年年ۨ年年年年同时购买甲和丙的概率为噰年洠′,心年年年心年年同时购买甲和丁的概率为噰年洠心,心年年年故同时购买甲和丙的概率最大.18.䁧心证明:∵,分别为,的中点,∴,∵平面䁨,平面䁨,∴平面䁨;䁧ۨ证明:∵䁨噰䁨,为的中点,∴䁨,∵平面平面䁨,䁨平面䁨,∴䁨平面,∵䁨平面䁨,∴平面䁨平面;䁧解:在等腰直角三角形䁨中,䁨噰䁨噰ۨ,∴噰ۨ,䁨噰心,∴噰,∵䁨平面,心∴䁨噰䁨噰,∴䁨噰䁨噰.ۨۨ19.䁧心解:由䁧噰ln䁧年,䁧噰噰.ۨ由䁧噰年解得噰.䁧与䁧在区间䁧年为上的情况如下:试卷第6页,总8页,䁧年为䁧为䁧年䁧䁧心lnۨ所以,䁧的单调递增区间为䁧为,单调递减区间为䁧年为;䁧心ln䁧在噰处的极小值为䁧噰,无极大值.ۨ䁧心ln䁧ۨ证明:由䁧心知,䁧在区间䁧年为上的最小值为䁧噰.ۨ䁧心ln因为䁧存在零点,所以年,从而.ۨ当噰时,䁧在区间䁧心为上单调递减,且䁧噰年,所以噰是䁧在区间䁧心为上唯一的零点.心当时,䁧在区间䁧年为上单调递减,且䁧心噰年,䁧噰灰年,ۨۨ所以䁧在区间䁧心为上仅有一个零点.综上所述,若䁧存在零点,则䁧在区间䁧心为上仅有一个零点.20.解:䁧心∵椭圆䁨ۨۨ噰,ۨ∴椭圆䁨的标准方程为:ۨ噰心,∴噰,噰心,噰ۨ,′∴椭圆䁨的离心率噰噰;䁧ۨ∵过点䁧心为年且垂直于轴,∴可设䁧心为心,䁧心为心.∵䁧ۨ为心,∴直线的方程为:心噰䁧心心䁧ۨ.令噰,得䁧为ۨ心,ۨ心心∴直线的斜率噰噰心;心䁧结论:直线与直线平行.证明如下:当直线的斜率不存在时,由䁧ۨ知噰心.心年∵直线的斜率噰噰心,∴;ۨ心当直线的斜率存在时,设其方程为噰䁧心䁧心.设䁧心为心,䁧ۨ为ۨ,心心则直线的方程为心噰䁧ۨ.心ۨ心心令噰,则点䁧为,心ۨ心心ۨ心ۨ∴直线的斜率噰.ۨۨۨ噰,联立得䁧心ۨۨ′ۨۨ噰年,噰䁧心,试卷第7页,总8页,′ۨۨ由韦达定理,得心ۨ心噰ۨ心,ۨ心噰ۨ,䁧心心心䁧ۨ心䁧ۨ䁧ۨ心䁧心ۨ∵心噰䁧ۨ心䁧ۨ䁧心心ۨ心䁧ۨۨ噰䁧ۨ心䁧ۨۨۨ心ۨ䁧心䁧心ۨ心ۨ噰䁧ۨ心䁧ۨ噰年,∴噰心噰,即;综上所述,直线与直线平行.试卷第8页,总8页
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