2013年北京市高考数学试卷(文科)
ID:44775 2021-10-19 1 6.00元 7页 108.83 KB
已阅读7 页,剩余0页需下载查看
下载需要6.00元
免费下载这份资料?立即下载
2013年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合A={-1, 0, 1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()A.{0}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{-1, 0, 1}2.设a,b,c∈R,且a>b,则(    )A.ac>bcB.1a<1bC.a2>b2D.a3>b33.下列函数中,既是偶函数又在区间(0, +∞)上是单调递减的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|4.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,则sinB=()A.15B.59C.53D.16.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    )A.1B.23C.1321D.6109877.双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是()A.m>12B.m≥1C.m>1D.m>2试卷第7页,总7页, 8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.)9.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1, 0),则p=________;准线方程为________.10.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为________.11.若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________.12.设D为不等式组x≥02x-y≤0x+y-3≤0表示的平面区域,区域D上的点与点(1, 0)之间的距离的最小值为________.13.函数f(x)=log12x,x≥12x,x<1 的值域为________.14.已知点A(1, -1),B(3, 0),C(2, 1).若平面区域D由所有满足AP→=λAB→+μAC→(1≤λ≤2, 0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为________.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)15.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若α∈π2,π,且f(α)=22,求α的值.16.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日试卷第7页,总7页, 中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB // CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE // 平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.18.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.19.直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0, 1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.20.给定数列a1,a2,…,an.对i=1,2,…,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.(1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;(2)设a1,a2,…,an-1(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…,dn-1是等比数列;(3)设d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0.证明:a1,a2,…,an-1是等差数列.试卷第7页,总7页, 参考答案与试题解析2013年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.C8.B二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.2,x=-110.311.2,2n+1-212.25513.(-∞, 2)14.3三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.解:(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2,函数的最大值为:22.(2)∵f(x)=22sin(4x+π4),f(α)=22,∴sin(4α+π4)=1,∴4α+π4=π2+2kπ,k∈Z,∴α=π16+kπ2,又∵α∈π2,π,∴α=916π.16.解:(1)由图看出,1日至13日13天的时间内,空气重度污染的是5日、8日共2天.由古典概型概率计算公式得,此人到达当日空气质量重度污染的概率P=213.试卷第7页,总7页, (2)此人在该市停留期间两天的空气质量指数为(86, 25),(25, 57),(57, 143),(143, 220),(220, 160),(160, 40),(40, 217),(217, 160),(160, 121),(121, 158),(158, 86),(86, 79),(79, 37)共13种情况,其中只有1天空气重度污染的是(143, 220),(220, 160),(40, 217),(217, 160)共4种情况,所以,此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=413.(3)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图看出从5日开始连续5,6,7三天的空气质量指数方差最大.17.证明:(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴由平面和平面垂直的性质定理可得,PA⊥平面ABCD.(2)∵AB // CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,∴AB=//12CD=DE,∴四边形ABED为平行四边形,故有BE // AD.又AD⊂平面PAD,BE不在平面PAD内,故有BE // 平面PAD.(3)平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD①.由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF // PD,∴CD⊥EF②.而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.由于CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.18.解:(1)f'(x)=2x+xcosx=x(2+cosx),∵曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,∴f'(a)=a(2+cosa)=0,f(a)=b,联立2a+acosa=0,a2+asina+cosa=b, 解得a=0,b=1, 故a=0,b=1.(2)∵f'(x)=x(2+cosx).令f'(x)=0,得x=0,x,f(x),f'(x)的变化情况如表:试卷第7页,总7页, x(-∞, 0)0(0, +∞)f'(x)-0+f(x)1∴函数f(x)在区间(-∞, 0)上单调递减,在区间(0, +∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值.故当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点.19.解:(1)∵点B的坐标为(0, 1),当四边形OABC为菱形时,AC⊥OB,而B(0, 1),O(0, 0),∴线段OB的垂直平分线为y=12,将y=12代入椭圆方程得x=±3,因此A、C的坐标为(±3, 12),如图,于是AC=23.(2)欲证明四边形OABC不可能为菱形,利用反证法,假设四边形OABC为菱形,则有OA=OC,设OA=OC=r,则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆W:x24+y2=1的交点,故3x24=r2-1,x2=43(r2-1),则A、C两点的横坐标相等或互为相反数.从而得到点B是W的顶点.这与题设矛盾.于是结论得证.20.(1)解:当i=1时,A1=3,B1=1,故d1=A1-B1=2,同理可求d2=3,d3=6.(2)证明:因为 a1>0,公比q>1,所以数列a1,a2,a3,…,ann≥4是递增数列.因此,对i=1,2,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1,所以di=Ai-Bi=ai-ai+1.所以di≠0,且di+1di=qi=1,2…,n-2).所以数列d1,d2,…,dn-1是等比数列.(3)证明:设d为d1,d2,…,dn-1的公差,对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d>0,所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai,又因为Ai+1=max{Ai, ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai.从而a1,a2,…,an-1为递增数列.因为Ai=ai(i=1, 2,…n-1),又因为B1=A1-d1=a1-d1
同类资料
更多
2013年北京市高考数学试卷(文科)