2005年北京市高考数学试卷(理科)
ID:44758 2021-10-19 1 6.00元 9页 157.33 KB
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2005年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分))1.设全集耀,集合ሼሼȁ,ሼሼȁ,则下列关系中正确的是()A.B.C.D.2.“”是“直线ሼሻݔሼ线直与͵ݔሻ͵相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若,,,且,则向量与的夹角为A.ሻ͵B.͵C.͵D.͵4.从原点向圆ሼݔݔ͵作两条切线,则该圆夹在两条切线问的劣弧长为()A.B.C.D.5.对任意的锐角,,下列不等关系中正确的是()A.sinsinsinB.sincoscosC.cossinsinD.coscoscos6.在正四面体ܣ中,,,分别是ܣ,ܣ,的中点,下面四个结论中不成立的是()A.ܣ平面B.平面C.平面平面ܣD.平面平面ܣ7.北京《财富》全球论坛期间,某高校有名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为()A.B.ሻC.ሻD.ሻሻcosሼ8.函数ሼcosሼሻሻA.在͵㔷㔷㔷上递增,在㔷㔷㔷上递减ሻሻB.在͵㔷,㔷上递增㔷在㔷,㔷上递减试卷第1页,总9页,ሻሻC.在㔷,㔷上递增,在͵㔷,㔷上递减ሻሻD.在㔷㔷㔷上递增,在͵㔷㔷㔷上递减二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分))9.若,ሻ,且为纯虚数,则实数的值为________.10.已知tan,则tan的值为________,tan的值为________.͵11.ሼሻ展开式中的常数项是________.ሼ12.过原点作曲线ݔሼ的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________.13.设函数ሼሼ,对于任意的ሼ,ሼሼሼ,有下列命题ሼሼ①ሼሼሼሼ;②ሼሼሼሼ;③͵;ሼሼሼሼሼሼ④.其中正确的命题序号是________.14.已知次多项式ሼሼሼǤǤǤሼ.͵如果在一种算法中,计算ሼ㔷ሻ㔷,…,的值需要次乘法,计算ሼ的值͵ሻ͵共需要次运算(次乘法,ሻ次加法),那么计算ሼ͵的值共需要________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:͵ሼ͵͵.ሼሼሼ͵㔷ȁ㔷,…,.利用该算法,计算ሻሼ͵的值共需要次运算,计算ሼ͵的值共需要________次运算.三、解答题(共6小题,15、17题每题13分,16、18、20题每题14分,19题12分,满分80分))15.已知函数ሼሼሻሻሼሼ.求ሼ的单调递减区间;若ሼ在区间㔷上的最大值为͵,求它在该区间上的最小值.16.如图,在直四棱柱ܣܣ中,ܣ,ሻ,ሻ,,ܣ垂足为.(1)求证ܣ;(2)求二面角ܣ的大小;(3)求异面直线与ܣ所成角的大小.试卷第2页,总9页,17.甲、乙俩人各进行ሻ次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.ሻ(1)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;(2)求乙至多击中目标次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标次的概率.18.如图,直线ȁݔȁ线直与͵ሼݔሼ之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为.(1)分别用不等式组表示和.(2)若区域中的动点ሼ㔷ݔ到ȁ,ȁ的距离之积等于,求点的轨迹的方程;(3)设不过原点的直线ȁ与(2)中的曲线相交于,两点,且与ȁ,ȁ分别交于ሻ,两点.求证的重心与ሻ的重心重合.是偶19.设数列的首项,且,记,,,是奇ሻ…(1)求,ሻ;(2)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;lim(3)求ǤǤǤ20.设ሼ是定义在͵㔷上的函数,若存在ሼ͵㔷,使得ሼ在͵㔷ሼ上单调递增,在ሼ㔷单调递减,则称ሼ为͵㔷上的单峰函数,ሼ为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的͵㔷上的单峰函数ሼ,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(1)证明:对任意的ሼ,ሼ͵㔷,ሼሼ,若ሼሼ,则͵㔷ሼ为含峰区间;若ሼሼ,则ሼ㔷为含峰区间;(2)对给定的͵͵Ǥ,证明:存在ሼ,ሼ͵㔷,满足ሼሼ,使得由(1)确定的含峰区间的长度不大于͵Ǥ;(3)选取ሼ,ሼ͵㔷,ሼሼ由(1)可确定含峰区间为͵㔷ሼ或ሼ㔷,在所得的含峰区间内选取ሼሻ,由ሼሻ与ሼ或ሼሻ与ሼ类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为͵㔷ሼ的情况下,试确定ሼ,ሼ,ሼሻ的值,满足两两之差的绝对值不小于͵Ǥ͵且使得新的含峰区间的长度缩短到͵Ǥሻ.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).试卷第3页,总9页,参考答案与试题解析2005年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.C2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.A二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.ሻ10.,ሻ11.͵12.㔷,13.①③④14.ሻ,三、解答题(共6小题,15、17题每题13分,16、18、20题每题14分,19题12分,满分80分)15.解:ሼሻሼሼ.令ሼ͵,解得ሼ或ሼሻ,所以函数ሼ的单调递减区间为㔷,ሻ㔷.因为,,所以.因为在㔷ሻ上ሼ͵,所以ሼ在㔷上单调递增,又由于ሼ在㔷上单调递减,因此和分别是ሼ在区间㔷上的最大值和最小值,于是有͵,解得.故ሼሼሻሻሼሼ,因此ሻ,即函数ሼ在区间㔷上的最小值为.试卷第4页,总9页,16.解:法一:(1)在直四棱柱ܣܣ中,∵底面ܣ.∴是在平面ܣ上的射影.∵ܣ.∴ܣ;(2)连接,,.与(1)同理可证ܣ,ܣ,∴为二面角ܣ的平面角.∵,∴͵,又,ሻ,ሻ且ܣ,∴,,ሻ,∴,ሻ,在中,,∴͵,即二面角ܣ的大小为͵.(3)过ܣ作ܣ交于,连接,则ܣ就是与ܣ所成的角.∵ܣ,ܣ,,∴ܣ,,,ܣ,∴,ܣ,在ܣ中,cosܣ,∴ܣarccos即异面直线与ܣ所成角的大小为arccos.法二:(1)同解法一(2)如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为ሼ轴,ݔ轴,轴,建立空间直角坐标系.连接,,.与①同理可证,ܣ,ܣ,∴为二面角的平面角.ሻሻ由㔷͵㔷ሻ͵㔷ሻ㔷ሻ㔷㔷͵试卷第5页,总9页,ሻሻሻሻ得㔷㔷ሻ,㔷㔷ሻሻ∴ሻ͵,∴,即.∴二面角的大小为͵(3)如图,由͵㔷͵㔷͵,㔷͵㔷͵,͵㔷ሻ㔷ሻ,ܣሻ㔷ሻ㔷͵,得㔷͵㔷͵,ܣሻ㔷ሻ㔷ሻ,∴ܣ,ܣ,,ܣ,ܣ∴cos㔷ܣ,ܣ∵异面直线与ܣ所成角的大小为arccos.法三:(1)同解法一.(2)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为.连接,,.与(1)同理可证ܣ,ܣ,∴为二面角ܣ的平面角.由͵㔷͵㔷͵͵㔷㔷ሻ,͵㔷ሻ㔷ሻ.得͵㔷㔷ሻ,͵㔷ሻ㔷ሻ.∵ሻሻ͵,∴即,∴二面角ܣ的大小为͵.17.解:(1)由题意得甲击中目标的次数为͵、、、ሻ,根据独立重复试验公式得到变量对应的概率,当变量为͵时表示没有击中目标,当变量为时表示击中目标次,当变量为时表示击中目标次,当变量为ሻ时表示击中目标ሻ次,͵ሻ∴͵,ሻ试卷第6页,总9页,ሻሻ,ሻሻሻ,ሻሻሻሻ,ሻ∴的概率分布如下表:͵ሻሻሻሻሻሻǤ,(或ሻǤ);(2)乙至多击中目标次的对立事件是乙能击中ሻ次,有对立事件的概率公式得到ሻሻ概率为;ሻሻ(3)设甲恰比乙多击中目标次为事件,甲恰击中目标次且乙恰击中目标͵次为事件ܣ,甲恰击中目标ሻ次且乙恰击中目标次为事件ܣ,则ܣܣ,ሻܣ,ܣ为互斥事件ܣܣ∴甲恰好比乙多击中目标次的概率为.18.解:(1)根据图象可知阴影区域左半部分,在ݔ在,方下的ሼݔሼ的上边,故ݔሼ知可围范的ݔሼ,且ሼ͵,阴影区域右半部分,在ݔ,边下的ሼݔሼ的上方,ሼ͵∴ሼ㔷ݔሼݔ㔷ሼ,͵ሼ㔷ሼݔሼݔሼ㔷ሼ͵,ሼݔሼݔሼݔ(2)直线ȁሼݔሼȁ线直,͵ݔ͵,由题意得,即,由ሼ㔷ݔሼ知,ݔ͵,ሼݔ所以,即ሼݔ͵,所以动点的轨迹的方程为ሼݔ͵;(3)当直线ȁ与ሼ轴垂直时,可设直线ȁ的方程为ሼ͵.由于直线ȁ,曲线关于ሼ轴对称,且ȁ与ȁ关于ሼ轴对称,于是,ሻ的中点坐标都为㔷͵,所以,ሻ的重心坐标都为㔷͵,即它们的重心重合,ሻ当直线ȁ与ሼ轴不垂直时,设直线ȁ的方程为ݔሼ͵.ሼݔ͵由,得ሼሼ͵ݔሼ由直线ȁ与曲线有两个不同交点,可知͵且͵试卷第7页,总9页,设,的坐标分别为ሼ㔷ݔ㔷ሼ,ݔ,则ሼሼ,ݔݔሼሼ,设ሻ,的坐标分别为ሼሻ㔷ݔ㔷ሼ,ሻݔ,ݔሼ由得ሼሻ,ሼݔሼ从而ሼሻሼሼሼ,所以ݔݔሼሼሼሻሼݔሻݔ,于是的重心与ሻ的重心也重合.19.解:(1),ሻ;ሻሻ(2)∵ሻ,所以,所以,ሻ,ሻ,猜想:是公比为的等比数列•证明如下:因为,所以是首项为,公比为的等比数列.limlimlim(3)ǤǤǤ.20.证明:(1)设ሼ为ሼ的峰点,则由单峰函数定义可知,ሼ在͵㔷ሼ上单调递增,在ሼ㔷上单调递减.当ሼሼ时,假设ሼ͵㔷ሼ,则ሼሼሼ,从而ሼሼሼ,这与ሼሼ矛盾,所以ሼ͵㔷ሼ,即͵㔷ሼ是含峰区间.当ሼሼ时,假设ሼሼ㔷,则ሼሼሼ,从而ሼሼሼ,这与ሼሼ矛盾,所以ሼሼ㔷,即ሼ㔷是含峰区间.(2)由(1)的结论可知:当ሼሼ时,含峰区间的长度为ȁሼ;当ሼሼ时,含峰区间的长度为ȁሼ;ሼ͵Ǥ对于上述两种情况,由题意得①ሼ͵Ǥ由①得ሼሼ,即ሼሼ又因为ሼሼ,所以ሼሼ,②将②代入①得ሼ͵Ǥ,ሼ͵Ǥ,③由①和③解得ሼ͵Ǥ,ሼ͵Ǥ.所以这时含峰区间的长度ȁȁ͵Ǥ,即存在ሼ,ሼ使得所确定的含峰区间的长度不大于͵Ǥ.(3)解:对先选择的ሼ;ሼ,ሼሼ,由(2)可知ሼሼȁ,④在第一次确定的含峰区间为͵㔷ሼ的情况下,ሼሻ的取值应满足ሼሻሼሼ,⑤试卷第8页,总9页,ሼሼ由④与⑤可得,ሼሻሼ当ሼሼሻ时,含峰区间的长度为ሼ.由条件ሼሼሻ͵Ǥ͵,得ሼሼ͵Ǥ͵,从而ሼ͵Ǥሻ.因此,为了将含峰区间的长度缩短到͵Ǥሻ,只要取ሼ͵Ǥሻ,ሼ͵Ǥ,ሼሻ͵Ǥሻ.试卷第9页,总9页
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