2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学天津卷含答案解析
ID:27840 2021-09-15 1 3.00元 24页 1.89 MB
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,则_____.【答案】【解析】【分析】根据集合交集即可计算.【详解】∵,∴故答案为:.【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型.2.已知是虚数单位,则复数的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值.【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为:3.【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.3.已知一组数据的平均数为4,则的值是_____.【答案】2【解析】【分析】 根据平均数的公式进行求解即可.【详解】∵数据的平均数为4∴,即.故答案为:2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可.【详解】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有,,,共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.如图是一个算法流程图,若输出的值为,则输入的值是_____.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质,判断出,由此求得的值. 【详解】由于,所以,解得.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值,考查指数函数的性质,属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率是____.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程求得,由此求得,进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线,故.由于双曲线的一条渐近线方程为,即,所以,所以双曲线的离心率为.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.7.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,,则f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求,再根据奇函数求【详解】,因为为奇函数,所以故答案为:【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题.8.已知=,则的值是____.【答案】 【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.【详解】故答案为:【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱体积,再求圆柱体积,相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为:【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积,考查基本分析求解能力,属基础题.10.将函数y=的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】【解析】【分析】先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果.【详解】当时故答案为:【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题.11.设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和,则d+q的值是_______.【答案】【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点,分别求得的公差和公比,由此求得.【详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意.等差数列的前项和公式为,等比数列的前项和公式为,依题意,即, 通过对比系数可知,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式,属于中档题.12.已知,则的最小值是_______.【答案】【解析】【分析】根据题设条件可得,可得,利用基本不等式即可求解.【详解】∵∴且∴,当且仅当,即时取等号.∴的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).13.在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________. 【答案】【解析】【分析】根据题设条件可设,结合与三点共线,可求得,再根据勾股定理求出,然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线,∴可设,∵,∴,即,若且,则三点共线,∴,即,∵,∴,∵,,,∴,设,,则,.∴根据余弦定理可得,,∵,∴,解得,∴的长度为. 当时,,重合,此时的长度为,当时,,重合,此时,不合题意,舍去.故答案为:0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出.14.在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:上的两个动点,满足,则△PAB面积的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积,最后利用导数求最大值.【详解】设圆心到直线距离为,则所以令(负值舍去)当时,;当时,,因此当时,取最大值,即取最大值为,故答案为:【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点. (1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.【解析】【分析】(1)通过证明,来证得平面.(2)通过证明平面,来证得平面平面.【详解】(1)由于分别是的中点,所以.由于平面,平面,所以平面.(2)由于平面,平面,所以.由于,所以平面,由于平面,所以平面平面.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,属于中档题. 16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用余弦定理求得,利用正弦定理求得.(2)根据的值,求得的值,由(1)求得的值,从而求得的值,进而求得的值.【详解】(1)由余弦定理得,所以.由正弦定理得.(2)由于,,所以.由于,所以,所以所以. 由于,所以.所以.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】(1)120米(2)米【解析】【分析】(1)根据A,B高度一致列方程求得结果;(2)根据题意列总造价的函数关系式,利用导数求最值,即得结果. 【详解】(1)由题意得米(2)设总造价为万元,,设,(0舍去)当时,;当时,,因此当时,取最小值,答:当米时,桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.(1)求△AF1F2的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.【答案】(1)6;(2)-4;(3)或.【解析】【分析】(1)根据椭圆定义可得,从而可求出的周长; (2)设,根据点在椭圆上,且在第一象限,,求出,根据准线方程得点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;(3)设出设,点到直线的距离为,由点到直线的距离与,可推出,根据点到直线的距离公式,以及满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标.【详解】(1)∵椭圆的方程为∴,由椭圆定义可得:.∴的周长为(2)设,根据题意可得.∵点在椭圆上,且在第一象限,∴∵准线方程为∴∴,当且仅当时取等号.∴的最小值为.(3)设,点到直线的距离为.∵,∴直线的方程为∵点到直线的距离为, ∴∴∴①∵②∴联立①②解得,.∴或.【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.19.已知关于x的函数与在区间D上恒有.(1)若,求h(x)的表达式;(2)若,求k的取值范围;(3)若求证:.【答案】(1);(2);(3)证明详见解析【解析】【分析】(1)求得与的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得的表达式. (2)先由,求得的一个取值范围,再由,求得的另一个取值范围,从而求得的取值范围.(3)先由,求得的取值范围,由方程的两个根,求得的表达式,利用导数证得不等式成立.【详解】(1)由题设有对任意的恒成立.令,则,所以.因此即对任意的恒成立,所以,因此.故.(2)令,.又.若,则在上递增,在上递减,则,即,不符合题意.当时,,符合题意.当时,在上递减,在上递增,则,即,符合题意.综上所述,.由当,即时,在为增函数,因为,故存在,使,不符合题意.当,即时,,符合题意.当,即时,则需,解得. 综上所述,的取值范围是.(3)因为对任意恒成立,对任意恒成立,等价于对任意恒成立.故对任意恒成立令,当,,此时,当,,但对任意的恒成立.等价于对任意的恒成立.的两根为,则,所以.令,则.构造函数,,所以时,,递减,.所以,即.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.20.已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ–k”数列. (1)若等差数列是“λ–1”数列,求λ的值;(2)若数列是“”数列,且an>0,求数列的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列,且an≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由,【答案】(1)1(2)(3)【解析】【分析】(1)根据定义得,再根据和项与通项关系化简得,最后根据数列不为零数列得结果;(2)根据定义得,根据平方差公式化简得,求得,即得;(3)根据定义得,利用立方差公式化简得两个方程,再根据方程解的个数确定参数满足的条件,解得结果【详解】(1)(2), (3)假设存在三个不同的数列为数列.或或∵对于给定的,存在三个不同的数列为数列,且或有两个不等的正根.可转化为,不妨设,则有两个不等正根,设.①当时,,即,此时,,满足题意.②当时,,即,此时,,此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.综上,【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步,考查综合分析求解能力,属难题. 数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换]21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.(1)求实数,的值;(2)求矩阵的逆矩阵.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据变换写出具体的矩阵关系式,然后进行矩阵的计算可得出实数的值;(2)设出逆矩阵,由定义得到方程,即可求解.【详解】(1)∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点∴∴,解得(2)设,则 ∴,解得∴【点睛】本题考查矩阵变换的应用,考查逆矩阵的求法,解题时要认真审题,属于基础题.B.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).(1)求,的值(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果;(2)联立直线与圆极坐标方程,解得结果.【详解】(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,,因为点为直线上,故其直角坐标方程为,又对应的圆的直角坐标方程为:,由解得或, 对应的点为,故对应的极径为或.(2),,当时;当时,舍;即所求交点坐标为当【点睛】本题考查极坐标方程及其交点,考查基本分析求解能力,属基础题.C.[选修4-5:不等式选讲]23.设,解不等式.【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组,解得结果【详解】或或或或所以解集为【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在三棱锥A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点. (1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;(2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.详解】(1)连以为轴建立空间直角坐标系,则 从而直线与所成角的余弦值为(2)设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求p1·q1和p2·q2;(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接根据操作,根据古典概型概率公式可得结果;(2)根据操作,依次求,即得递推关系,构造等比数列求得,最后根据数学期望公式求结果. 【详解】(1),,(2),,因此,从而,即.又的分布列为012故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式,考查综合分析求解能力,属难题.
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