2020年高考真题数学(天津卷) (原卷版)
ID:27839 2021-09-15 1 3.00元 11页 859.00 KB
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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:·如果事件与事件互斥,那么.·如果事件与事件相互独立,那么.·球的表面积公式,其中表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,则()A.B.C.D.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为() A.B.C.D.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为()A.10B.18C.20D.365.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.B.C.D.6.设,则的大小关系为()A.B.C.D.7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为() A.B.C.D.8.已知函数.给出下列结论:①的最小正周期为;②是的最大值;③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是()A.B.C.D. 绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.是虚数单位,复数_________.11.在的展开式中,的系数是_________.12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.14.已知,且,则的最小值为_________.15.如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)在中,角所对的边分别为.已知. (Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)求的值;(Ⅲ)求的值.17.(本小题满分15分)如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.18.(本小题满分15分)已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.19.(本小题满分15分)已知为等差数列,为等比数列,.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,求证:; (Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.20.(本小题满分16分)已知函数,为的导函数.(Ⅰ)当时,(i)求曲线在点处的切线方程;(ii)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学参考解答一、选择题:每小题5分,满分45分.1.C2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.D二、填空题:每小题5分,满分30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.11.1012.513.;14.415.;三、解答题16.满分14分.(Ⅰ)解:在中,由余弦定理及,有.又因为,所以.(Ⅱ)解:在中,由正弦定理及,可得.(Ⅲ)解;由及,可得,进而 .所以,.17.满分15分.依题意,以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得,,.(Ⅰ)证明:依题意,,,从而,所以.(Ⅱ)解:依题意,是平面的一个法向量,,.设为平面的法向量,则即不妨设,可得.因此有,于是.所以,二面角的正弦值为.(Ⅲ)解:依题意,.由(Ⅱ)知为平面的一个法向量,于是 .所以,直线与平面所成角的正弦值为.18.满分15分.(Ⅰ)解:由已知可得.记半焦距为,由可得.又由,可得.所以,椭圆的方程为.(Ⅱ)解:因为直线与以为圆心的圆相切于点,所以.依题意,直线和直线的斜率均存在.设直线的方程为.由方程组消去,可得,解得,或.依题意,可得点的坐标.因为为线段的中点,点的坐标为,所以点的坐标为.由,得点的坐标为,故直线的斜率为,即.又因为,所以,整理得,解得,或.所以,直线的方程为,或.19.满分15分.(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由,,可得,从而的通项公式为.由,又,可得,解得,从而的通项公式为.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,故,,从而,所以. (Ⅲ)解:当为奇数时,;当为偶数时,.对任意的正整数,有,和.①由①得.②由①②得,从而得.因此,.所以,数列的前项和为.20.满分16分.(Ⅰ)(i)解:当时,,故.可得,,所以曲线在点处的切线方程为,即.(ii)解:依题意,.从而可得,整理可得.令,解得.当变化时,的变化情况如下表: 1-0+↘极小值↗所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;的极小值为,无极大值.(Ⅱ)证明:由,得.对任意的,且,令,则.①令.当时,,由此可得在单调递增,所以当时,,即.因为,,所以,.②由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即,故.③由①②③可得.所以,当时,对任意的 ,且,有.
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