冲刺2022届高考物理大题限时集训专题14　带电粒子在叠加场中的运动【例题】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，在第一、四象限内有水平向左的匀强电场，在第二、三象限内有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T，两区域的电场强度大小均为E=2V/m。一可视为质点的带电小球用绝缘细线拴住并静止在第一象限的P点，P点的坐标为（5cm，5cm），细线与竖直方向的夹角为θ=45°。现剪断细线，小球开始运动，重力加速度g取10m/s2，求：（1）小球第二次经过x轴时的x坐标值和第二次经过y轴时的y坐标值；（2）小球第三次经过y轴的速度大小。【答案】（1），；（2）【解析】（1）小球在图示位置平衡，有Eq=mg剪断细线后，小球的加速度大小小球经过O点进入第三象限，运动位移为根据v2=2as可得m/s小球在第二、三象限运动时，电场力和重力平衡，小球在洛伦兹力的作用下做圆周运动有学科网（北京）股份有限公司\n解得r=0.1m小球第二次经过x轴、y轴的坐标点由几何关系知（2）小球第二次经过y轴后，做类平抛运动，沿着初速度方向有x′=vt垂直于初速度方向根据几何关系x′=y′解得t=0.2s在垂直于初速度方向v⊥=at小球第三次经过y轴的速度大小解得m/s学科网（北京）股份有限公司\n明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向。（1）电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等。（2）电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。1．三种典型情况（1）若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．（2）若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．（3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．3．分析【变式训练】如图所示，在竖直xOy平面内0≤x≤L的区域存在沿x轴正方向的匀强电场，场强大小为E，垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1；在L≤x≤2L的区域存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小也为E，垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B2；一个质量为m，带电荷量为+q的带电小球从坐标原点以速度v0沿与x轴成45°角方向射入，小球沿直线匀速穿过0≤x≤L区域，在L≤x≤2L的区域运动一段时间后，沿x轴正方向射出该区域。已知L、m、q、v0，重力加速度g，试求：（1）电场强度E的大小；（2）磁感应强度B2大小；（3）小球从O点到离开x=2L边界所需要的时间。学科网（北京）股份有限公司\n【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）带电小球在区域作匀速直线运动，对其受力分析如图由共点力平衡可得则（2）带电小球在区域，竖直方向上重力与电场力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其轨迹如图所示设轨迹半径为R，由几何关系可知由洛伦兹力提供向心力学科网（北京）股份有限公司\n解得（3）设带电小球在运动时间为t1，则有设带电小球在运动时间为t2，则有小球从O点到离开x=2L边界所需要的时间1．如图所示的平面直角坐标系xoy位于竖直面内，其中y轴竖直，点A、C的坐标分别为（0，L）和（－L，0）.整个空间存在方向沿x轴负方向的匀强电场E1（未画出）。将一质量为m、带电荷量为＋q的小球从A点静止释放，小球恰能经过C点，小球经过C点时匀强电场方向变为竖直向上，场强大小变为原来的，同时整个空间加上磁感应强度大小（g为重力加速度大小）方向垂直坐标平面向外的匀强磁场（未画出），小球再运动后，撒去磁场并将电场恢复为初始时的匀强电场E1，求：（1）电场的场强大小以及小球通过C点时的速度大小（2）撤去磁场后小球通过AC连线的位置距A点的距离。【答案】（1），；（2）【解析】学科网（北京）股份有限公司\n（1）设，则又由匀变速运动规律有解得（2）电场改变后，竖直方向上受力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，运动轨迹如图则有小球做圆周运动的周期为解得则小球在磁场中运动的时间为，结合数学知识知，撤去磁场并恢复电场时，小球的速度方向沿DA方向，之后小球做类平抛运动，则有学科网（北京）股份有限公司\n解得2．如图所示，竖直平面内建立直角坐标系xOy，y轴正向竖直向上，x轴正向水平向右，x轴在水平平面M内，在x轴上方存在竖直向下的匀强电场E1。两平行水平面M和N之间的距离为d，其间的区域存在竖直向上的匀强电场E2（E2=E1）和水平向外的匀强磁场B。带电量分别为q和－q（q>0）的小球1和2先后从y轴上距0点为h的P点以相同的初速率v0沿x轴正向水平射出，小球1从x轴上距O点为2h的A点进入MN间，恰好未从平面N离开。小球2从x轴上C点进入两平面间，最后从平面N上某点离开。设两小球质量分别为m1和m2，且qE1=2m1g，题中h、d和重力加速度g已知，其它量均未知。（1）求两小球的初速率v。；（2）求电场强度E2和磁感应强度B大小之比；（3）若C点坐标为（4h，0），求m1和m2之比以及球2离开平面N时速度大小。【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）小球1在x轴上方做类平抛运动解得学科网（北京）股份有限公司\n（2）因为则所以小球1在MN间做匀速圆周运动。由题意小球1恰好未从下边界平面N离开知其轨迹应与平面N相切，如图所示，由几何关系可知设小球1刚进入MN间时速度偏转角为θ1，由q又得=（3）小球2在x轴上方做类平抛运动：结合（1）问中4个式子可得学科网（北京）股份有限公司\n小球2从P点到离开平面N全过程由动能定理得解得3．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上设置有AB和CD两个减速缓冲区，缓冲区内动摩擦因数为μ，且AB=BC=CD=l。整个空间分布着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一质量为m带电量为-q的物块从斜面顶端O由静止释放，其通过AB段与通过CD段的时间相等。已知物块运动到D点时的加速度为零，重力加速度为g，求：（1）斜面顶端O到A的距离d；（2）物块在缓冲区内摩擦产生的总热量；【答案】（1）；（2）【解析】（1）物块在BC段做匀加速直线运动，故在AB段和CD段一定做完全相同的减速运动，且以相同的速度收尾。即物块运动到D点，加速度为零。有物块由B运动到C，由牛顿第二定律由运动学规律可得物块由O运动A，有学科网（北京）股份有限公司\n联立，解得（2）物块由A运动到C，动能不变，由功能关系又QAB=QCD故物块在缓冲区内摩擦产生的总热量为4．如图所示，竖直虚线ab的左侧区域存在匀强磁场和竖直向下的匀强电场，电场的电场强度大小为E，在ab右侧一定距离的某矩形区城内存在匀强磁场（图中未画出），磁场均水平向里、感应强度大小均为B。一质为m、带电荷量为+q的带电粒子从c点沿水平线cd向右运动经过d，进入ab右侧的矩形匀强磁场区域，当带电粒子再次运动到ab线时速度方向与ab成θ=60°角，不计粒子的重力，（，）求：（1）带电粒子在ab右侧的磁场中做匀速圆周运动的半径；（2）带电粒子在ab右侧的磁场中的运动时间；（3）右侧的矩形磁场区域的最小面积。【答案】（1）；（2），；（3）【解析】（1）带电粒子在复合场中做匀速直线运动，则粒子进入磁场做匀速圆周运动，有洛伦兹力提供向心力，有联立解得学科网（北京）股份有限公司\n（2）带电粒子在ab右侧的磁场中做匀速圆周运动，运动周期为粒子再次经过ab线时速度方向与ab成θ=60°角，有两种情况，如图所示①从M点进入磁场，从P点离开磁场，转过角度=150°，运动时间为联立解得②从M点进入磁场，从Q点离开磁场，转过角度为，由数学知识得运动时间为联立解得由（2）问可知矩形磁场区域最小时为包含圆弧PM的矩形，即图中阴影部分，由数学知识可知矩形长度PM为矩形宽度PD为学科网（北京）股份有限公司\n则矩形的最小面积为5．如图甲所示，在xoy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1；第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1，，，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，，，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点以速度，沿x轴负方向入射，恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域。已知：，，t=0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10m/s2。（1）求液滴第一次到达O点时速度v的大小；（2）求液滴在时间内的路程；（3）若在时撤去电场E1、E2和磁场B1，同时在整个空间区域加竖直向上的匀强磁场B2（未画出），，求从此时刻起，再经过液滴距O点的距离。（）【答案】（1）2.5m/s；（2）0.98m；（3）0.71m【解析】（1）对带电液滴水平和竖直方向分别由动量定理得得v=2.5m/s学科网（北京）股份有限公司\n（2）计算可知液滴通过O点后则液滴将仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。由得磁感应强度为B0时磁感应强度为2B0时内运动轨迹如图所示，则得（3）只有磁场B2存在时，油滴在水平方向做匀速圆周运动，周期半径学科网（北京）股份有限公司\n油滴在竖直方向做自由落体运动，经过沿y轴下落高度为经过后距O点的距离为解得6．如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴水平，第一象限存在电场强度大小为、方向沿x轴负方向的匀强电场；在y<0的区域存在电场强度大小为、方向沿y轴正方向的匀强电场和垂直于xOy平面向外的匀强磁场。t=0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电小球从y轴上的A点沿与y轴负方向成60°角射入x0y平面的第一象限。小球从x轴上的M点（图中未画出）沿y轴负方向射入第四象限，运动一段时间后，与y轴负方向成60°角射入第三象限。已知重力加速度为g。求：（1）小球在A点的速度大小；（2）匀强磁场的磁感应强度大小；（3）小球第2n（n=1，2，3，…）次穿过x轴时的位置坐标。【答案】（1）；（2）；（3）（n=1，2，3，…）学科网（北京）股份有限公司\n【解析】（1）设第一象限的电场强度大小为E1，由题可知小球在第一象限受到的水平向左的电场力，大小为由牛顿第二定律得F=ma1解得对于水平方向上的运动，有解得对于竖直方向上的运动，有解得（2）小球进入磁场，由Eq=mg可得小球做匀速圆周运动。小球运动的轨迹如图所示小球在第四象限内偏转了60°，可知∠MO1N=60°，三角形MO1N为正三角形，由几何关系可知，小球做匀速圆周运动的轨迹半径为r=MN=2OM学科网（北京）股份有限公司\n其中即OM=L解得由洛伦兹力提供向心力得解得其中解得（3）小球在第三、四象限内做匀速圆周运动的轨迹直径为d=2r小球由第三象限进入第二象限后做竖直上抛运动，由第二象限进入第三象限后，向左偏转，设小球第2n次穿过x轴时距M点的距离为s，则s=nd解得即小球第2n次穿过x轴的位置坐标为（n=1，2，3，…）7．如图所示，一个质量为、电荷量的带电粒子，从静止开始经电压加速后，沿着水平方向进入右侧的速度选择器。金属板的上极板带正电，下极板带负电，两板间电压，两板间距，板间存在垂直纸面向里的匀强磁场。该粒子通过速度选择器后，从y轴上的P点垂直y学科网（北京）股份有限公司\n轴进入直角坐标系的第一象限，在第一象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，第四象限（含边界）有垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等，O、P之间的距离为，粒子恰好不从y轴射出磁场，不计粒子重力。求：（1）粒子进入速度选择器时速度v的大小；（2）速度选择器内匀强磁场的大小；（3）直角坐标系中匀强磁场的大小；（4）粒子从P点射出后第四次经过x轴时的位置坐标。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）粒子在加速电场中，由动能定理有解得（2）粒子在速度选择器中做直线运动，有解得（3）粒子恰好不从y轴射出的临界情况是运动轨迹与y轴相切，如图所示学科网（北京）股份有限公司\n几何关系知解得根据解得（4）根据运动轨迹，可知第四次经过x轴的位置坐标为8．如图所示，在长方形abcd虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为B。O1为ab边中点，O1O2为长方形水平中心线，照相底片与虚线O1O2垂直且离cd边。现有一质量为m电荷量为q的带正电粒子从O1点以速度v（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动。保持带电粒子从O1点水平射入的速度v不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过d点后打在照相底片上的P点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点。已知，，（不计粒子重力和空气阻力）。求：（1）从O1点水平射入的速度v；（2）带电粒子由O1点运动至P点的时间t；（3）带电粒子打在照相底片上P、两点间的距离。学科网（北京）股份有限公司\n【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动，根据平衡解得（2）撤去电场后，设带电粒子在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，如图由牛顿第二定律得根据几何知识学科网（北京）股份有限公司\n粒子在磁场中运动的周期粒子在磁场中运动的时间粒子离开磁场做匀速直线运动至P，点过程的位移该过程的运动时间则带电粒子由O1点运动至P点的时间t（3）撤去磁场后，如图所示粒子在电场中偏转学科网（北京）股份有限公司\n联立解得根据几何知识P、两点间的距离9．如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，方向未知，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；在第二象限的某个三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以某一速度v（大小未知）沿与x轴负方向成θ角（θ<）的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从y轴上的C点进入三角形磁场区域。一段时间后，粒子经过x轴上的D点且速度方向与x轴负方向成θ角。已知A点坐标为（L，0），D点坐标为（-3L，0），不计粒子所受的重力。求：（1）匀强电场E的方向与x轴正方向的夹角α的大小和粒子速度的大小；（2）三角形区域内磁场的磁感应强度B'的大小；（3）三角形区域磁场的最小面积。【答案】（1）α=90°-θ；；（2）；（3）L2·tanθ【解析】（1）粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动。这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直α=90°-θ由平衡条件有Eq=Bqv得学科网（北京）股份有限公司\n（2）粒子从C点进入第二象限的磁场B'中，粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在第二象限做圆周运动的半径为R，由几何关系可得由牛顿第二定律得解得（3）由图可知，C、F点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，三角形磁场的最小区域应该是以切线AC、DF为邻边的等腰三角形CFG，CF为底边，由几何关系得，底边CF=2L高h=L·tanθ所求磁场的最小面积为S=CF·h=L2·tanθ（2021•北京高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。（1）求粒子加速器M的加速电压U；（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。学科网（北京）股份有限公司\n【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）【解析】（1）粒子直线加速，根据功能关系有解得（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡得方向垂直导体板向下。（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有解得学科网（北京）股份有限公司