2022届新高考数学试题一模分类汇编09 利用导数解决零点问题(解析版)
ID:86026 2022-05-12 1 10.00元 11页 912.83 KB
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09利用导数解决零点问题【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1.(2022·安徽·六安一中高二开学考试)已知函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)当时,求在上的最小值;(3)当时,求函数在上零点的个数.【解析】(1)当时,,,,,所以切线方程为.(2),当时,,当,即时,在上恒成立,故在是单调递减,当时,令,得,令,得,故在上递减,在上单调递增,,综上,时,,时,(3)由题设得,故,设,则,(i)当时,,即在上递减,又,,且的图像连续,故在上唯一零点,当时,,当时,,故在内单调递增,在上单调递减,又,,故,又的图像连续不断,故存在,使得,即此时有1个零点.(ii)当时,,在内递减,又,,的图像连续不断,故存在一个,使得;(ⅲ)当时,,,故,从而在上没有零点,综上,在试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,上有2个零点.2.(2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末(文))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)讨论函数的零点个数.【解析】(1)函数的定义域为,.当时,恒成立,所以在上单调递减;当时,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增.(2)令,得.令,则,令,得;令,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以;当时,,当时,,所以,所以函数的图象如图所示,由图可得,当时,直线与函数的图象没有交点,函数没有零点;当或时,直线与函数的图象有1个交点,函数有1个零点;当时,直线与函数的图象有2个交点,函数有2个零点.试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,3.(2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试(理))已知函数.(1)若,求证:恒成立;(2)当时,求零点的个数.【解析】(1)当时,,,当时,;当时,,所以在上递减,在上递增,所以的最小值是,即恒成立.(2)因为,所以.①当时,.所以在上单调递减.因为,所以有且仅有一个零点.②当时,令,得,令,得.所以在上单调递减,在上单调递增.因为,所以在上有且仅有一个零点.因为,,且,所以,使得.所以在上有且仅有一个零点.综合以上知,当时,有两个零点.③当时,.令,得,令,得.所以在上单调递减,在上单调递增.所以当时,取得最小值,且.所以有且仅有一个零点.综上所述,当或时,有且仅有一个零点;当时,有两个零点.4.(2022·全国·模拟预测)已知函数(其中,为参数).试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,(1)求函数的单调区间;(2)若,函数有且仅有2个零点,求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为,对求导得.当时,,所以在上单调递增;当时,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增.(2)当时,,.令,则(舍去),令,则,所以在上单调递增.又,,且函数在上的图象是连续不断的曲线,所以根据零点存在性定理,存在唯一,使得,并且当时,,当时,,所以当时,,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以.因为函数有且只有2个零点,所以必须有,即.下面证明当时,函数有且只有2个零点.因为,,且在上单调递增且连续,所以在上有且只有1个零点.因为,令,则.因为,所以,,显然在上单调递增,所以,又,所以在上有且只有1个零点.综上,.5.(2022·全国·高三阶段练习(文))已知函数.试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,(1)当时,求的单调区间;(2)若有三个不同的零点,求a的取值范围.【解析】(1)当时,,,当x<1时,;当x>1时,,在上单调递减,在上单调递增.(2)由有三个不同的零点,有三个不同的根,又不是方程的根,有三个不同的根,令,,即与有三个不同的交点,,在和上单调递减,在上单调递增,且当时,,当时,,的极小值为,又为过点的直线,斜率为,由与有三个不同的交点,且,直线的斜率,,即a的取值范围为.6.(2022·天津红桥·高二期末)已知函数,其中为常数,.(1)求单调区间;(2)若且对任意,都有,证明:方程有且只有两个实根.(1)定义域为,因为,若,,所以单调递减区间为,若,,当时,,当时,,所以单调递减区间为,单调递增区间为.(2)证明:若且对任意,都有,则在处取得最小值,由(1)得在取得最小值,得,令,则单调性相同,试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,单调递减区间为,单调递增区间为,且,,,所以在(1e2,1)和上各有且仅有一个零点,所以在和各有且仅有一个零点,即方程有且只有两个实根.7.(2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习)已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若函数的图象与直线仅有一个公共点,求实数的取值范围.【解析】(1),易得当或时,,当时,,∴函数的增区间是:,,减区间是:,当时函数取得极大值,当时,函数取得极小值;(2)画出函数图像,由图形知,当或时,与只有一个交点.故的范围或.8.(2021·吉林·东北师大附中模拟预测(理))已知函数在处的切线方程是.(1)求a,b的值;(2)若对于,曲线与曲线都有唯一的公共点,求实数m的取值范围.【解析】(1)将切点坐标代入的,即,得,又因为试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,,直线的斜率为所以,得(2)由(1)知,因为曲线与曲线有唯一的公共点,所以方程有唯一解,即令,则,则即,当,时,,函数单调递增,易知与有且只有一个交点,满足题意;当,时,有两个根,且两根之和为,两根之积为,所以两根一个大于4,一个小于4,此时,函数先增后减再增,存在一个极大值和一个极小值,要使有唯一实数根,则大于极大值或小于极小值.记为极大值点,则,则恒成立,又,即则极大值因为,令得,又时,综上,要使对,曲线与曲线都有唯一的公共点,则,即;当为极小值点,则,则,又,所以恒成立,又,所以时,,所以单减,无最小值,所以不存在,使得恒成立,所以,的取值范围为9.(2022·广东高州·二模)已知函数.其中实数.(1)讨论函数的单调性;(2)求证:关于x的方程有唯一实数解.试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,【解析】(1)函数,则,当时,当时,恒成立,所以在上单调递增;当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,所以在,上单调递增,在上单调递减;当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,所以在,上单调递增,在单调递减.综上所述,当时,在上单调递增;当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在,上单调递增,在单调递减.(2)证明由,得,令,则,当时,,故函数在上单调递增.,,故时,恰有1个零点.当时,令,则在上单调递增,因为,,令,可得时,单调递增,所以,故,则存在唯一的实数,使得,即,故在,上单调递增,在上单调递减,因为,试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,,故当时,函数恰有1个零点.当时,,在上单调递增,又因为,,所以存在唯一实数,使得,即,故在,上单调递增,在上单调递减,因为,,故当时,函数只有个零点.当时,,由,解得,所以,令,,,故在上单调递增,,,当时,函数无零点.因此,当时,函数只有一个零点.即证当时,关于x的方程有唯一实数解10.(2022·江西·南昌大学附属中学高二期末(理))已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,求函数在内的零点个数.【解析】(1)以为,其定义域为,又,故当时,,在单调递增;试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,当时,令,可得,且令,解得,令,解得,故在单调递增,在单调递减.综上所述:当,在单调递增;当,在单调递增,在单调递减.(2)因为,故可得,则,;下证恒成立,令,则,故在单调递减,又当时,,故在恒成立,即;因为,故,令,下证在恒成立,要证恒成立,即证,又,故即证,令,则,令,解得,此时该函数单调递增,令,解得,此时该函数单调递减,又当时,,也即;令,则,令,解得,此时该函数单调递减,令,解得,此时该函数单调递增,又当时,,也即;又,故恒成立,试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司,则在恒成立,又,故当时,恒成立,则在上的零点个数是.试卷第11页,共11页学科网(北京)股份有限公司
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