高一数学下学期期末考点大串讲 平面向量的运算(知识点)
ID:79456 2022-01-04 1 7.00元 4页 66.06 KB
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2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲专题1平面向量的运算【知识网格】【知识讲练】知识点一平面向量的概念名称定义记法零向量长度为__0__的向量叫做零向量0单位向量长度等于__1__个单位的向量,叫做单位向量相等向量__长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量__a=b__说明,任意两个相等的非零向量,都可用同一条__有向线段__来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量__a∥b__规定:零向量与任何向量都__平行__0∥a说明:任一组平行向量都可以平移到同一__直线__上,因此,平行向量也叫__有线__向量知识点二平面向量的加法1.向量的加法(1)定义:求两个向量__和__的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个__向量__.(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量a、b,在平面内任取一点,作=a,=b,则向量  叫做向量a与b的和,记作a+b.这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则. (3)平行四边形法则:已知两个不共线向量a、b(如图乙所示),作=a,=b,则A、B、D三点不共线,以、为邻边作平行四边形ABCD,则向量  =a+b,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.向量加法的交换律:a+b=b+a.3.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)知识点三平面向量的减法1.相反向量定义如果两个向量长度__相等__,而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有:a+(-a)= 0 ②若a、b互为相反向量,则a= -b ,a+b= 0 ③零向量的相反向量仍是零向量2.向量的减法定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__作法在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=  .如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量知识点四平面向量的数乘1.向量的数乘定义一般地,实数λ与向量a的积是一个__向量__,这种运算叫做向量的数乘,记作λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向__相同__λ=0λa= 0 λ<0λa的方向与a的方向__相反__2.数乘的几何意义λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍. 3.向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律:设λ、μ为实数,则(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)(λ+μ)a= λa+μa ;(3)λ(a+b)= λa+λb (分配律).特别地,我们有(-λ)a= -(λa) = λ(-a) ,λ(a-b)= λa-λb .4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa .5.向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b .知识点五平面向量的数量积1.两向量的夹角与垂直定义已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角图示特殊情况θ=0°a与b__同向__θ=180°a与b__反向__θ=90°a与b__垂直__,记作 a⊥b 2.平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b,我们把数量 |a||b|cosθ 叫做a与b的数量积(或内积),其中θ是a与b的夹角记法记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为__0__投影 |a|cosθ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ 的乘积3.两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量,(1)a⊥b⇔ a·b=0 .(2)当a与b同向时,a·b= |a||b| ;当a与b反向时,a·b= -|a||b| .特别地,a·a= a2 = |a|2 或|a|=.(3)|a·b|≤ |a||b| . 4.平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ.(1)交换律:a·b= b·a .(2)结合律:(λa)·b= λ(a·b) = a·(λb) .(3)分配律:(a+b)·c= a·c+b·c .
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