2022年中考数学专题复习:圆 试题精选汇编(含答案解析)
ID:67069 2021-11-26 1 6.00元 25页 317.57 KB
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2022年中考数学专题复习:圆试题精选汇编一.选择题(共12小题)1.(2021•安溪县模拟)如图,AB是半圆O的直径,点C、D将AB分成相等的三段弧,点P在AC上,已知点Q在AB上且∠APQ=110°,则点Q所在的弧是(  )A.APB.PCC.CDD.DB2.(2021•惠安县模拟)如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,AD平分∠BAC,交⊙O于D,若BC=4,则CD的长为(  )A.2B.22C.3D.323.(2021•泉州模拟)如图,在6×6的网格图中,⊙O经过格点A、B、D,点C在格点上,连接AC交⊙O于点E,连接BD、DE,则sin∠BDE的值为(  )A.12B.55C.255D.24.(2021•永春县模拟)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,OC,OD,若∠A=20°,则∠COD的度数为(  )A.40°B.60°C.80°D.100°第25页共25页 5.(2020•晋江市模拟)如图,PA是⊙O的切线,点A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,点C在⊙O上,连接AC,BC,则∠ACB的度数为(  )A.25°B.28°C.30°D.35°6.(2020•永春县模拟)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O,交AB的延长线于点D,交AC于点E,连接OD,OE,若∠DOE=α,则∠A的度数为(  )A.αB.90°﹣αC.α2D.90°−α27.(2020•惠安县模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以BC的中点O为圆心,OB的长为半径作半圆交AC于点D,若AD=1,DC=3,则图中阴影部分的面积为(  )A.4π−334B.23π−333C.3π−232D.3π﹣238.(2020•丰泽区校级模拟)如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的切线,AP与⊙O交于点C,D为BC上一点,若∠P=36°,则∠ADC等于(  )A.18°B.27°C.36°D.54°9.(2020•泉州二模)如图,AB切⊙O于点B,OA与⊙O相交于点C,AC=CO,点D为BC上任意一点(不与点B、C重合),则∠BDC等于(  )第25页共25页 A.120°B.130°C.140°D.150°10.(2020•洛江区一模)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠BCD=30°,则∠ABD的大小为(  )A.60°B.50°C.40°D.20°11.(2020•泉州模拟)如图,半径为R的⊙O的弦AC=BD,且AC⊥BD于E,连接AB、AD,若AD=2,则半径R的长为(  )A.1B.2C.22D.1212.(2020•安溪县一模)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,∠CAB=20°,则∠DCB的度数为?(  )A.70°B.50°C.40°D.20°二.填空题(共5小题)13.(2021•洛江区模拟)如图,正方形ABCD的边长为2a,O为对角线的交点,点E、F分别为BC、AD的中点.以C为圆心,2a为半径作圆弧BD,再分别以E、F为圆心,a为半径作圆弧BO、OD,则图中阴影部分的面积为  .第25页共25页 14.(2021•南安市模拟)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,点C、D在⊙O上.若∠P=102°,则∠B+∠D=  °.15.(2021•惠安县模拟)如图,正六边形ABCDEF的面积是243,则对角线AD的长是  .16.(2021•泉州模拟)如图,已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2cm,则该圆的内接正三角形ACE的边长为  cm.17.(2021•永春县模拟)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为2,则该莱洛三角形的周长为  .第25页共25页 三.解答题(共7小题)18.(2021•安溪县模拟)如图,已知AB,CD为⊙O的两条直径,DF为切线,过AO上一点N作MN⊥DF于M,连结DN并延长交⊙O于点E,连结CE.(1)求证:△DMN∽△CED;(2)点G在⊙O上,且与点E关于直线AB对称,连结GN,若∠DNO=45°,⊙O的半径为2,判定DN2+GN2的值是否为定值?如果是,请求出DN2+GN2的值;如果不是,请说明理由.19.(2021•洛江区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,O为AB上一点,⊙O经过点B、D,且与BC、AB交于点E、F,连接DE.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若sinA=35,AB=10,求⊙O的半径;(3)求证:BD2=AB•BE.20.(2021•南安市模拟)如图,半圆O的半径为2,弦AB的长度为23,点C是劣弧AB上的一个动点,点D是弦AC的中点,点E是弦BC的中点,连接DE、OD、OE.(1)求∠ABO的度数;第25页共25页 (2)当点C沿着劣弧AB从点A开始,顺时针运动到点B时,求△CDE的外心P所经过的路径的长度;(3)分别记△ODE,△CDE的面积为S1,S2,当S12﹣S22=98时,求AC2的值.21.(2021•惠安县模拟)已知四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD.(1)如图1,求证:点A到∠C两边的距离相等;(2)如图2,已知BD与AC相交于点E,BD为⊙O的直径.①求证:tan∠CAD=DEBE;②若∠CBD=30°,AD=32,求AE的长.22.(2021•永春县模拟)如图,矩形ABCD是⊙O的内接矩形,⊙O半径为5,AB=8,点E、F分别是弦CD、BC上的动点,连结EF,∠EAF始终保持等于45°.(1)求AD的长度.(2)已知DE=185,求BF的长度.(3)试探究△AEF的面积是否存在最小值,若存在,请求出它的最小值;若不存在,请说明理由.23.(2021•泉州模拟)如图1,在⊙O中,点A是优弧BAC上的一点,点I为△ABC的内心,连接AI并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,连接BI.(1)求证:OD⊥BC;第25页共25页 (2)连接DB,求证:DB=DI;(3)如图2,若BC=24,tan∠OBC=512,当B、O、I三点共线时,过点D作DG∥BI,交⊙O于点G,求DG的长.24.(2021•泉州模拟)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,连接AC,若CA=CP,∠A=30°.(1)求证:CP是⊙O的切线;(2)若OA=1,求弦AC的长.第25页共25页 参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.【解答】解:∵点C、D将AB分成相等的三段弧,∴AC=CD=DB,∴∠CAB=∠DBA=13×180°=60°,当点Q与点D重合时,∠APQ=180°﹣60°=120°,当点Q在DB时,∠APQ<120°,因此当∠APQ=110°,点Q所在的弧是DB,故选:D.2.【解答】解:连接BD,∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=∠BDC=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴BD=CD,∴△DBC是等腰直角三角形,∴CD=22BC=22,故选:B.3.【解答】解:连接OD与AC相交与点F,在Rt△AOF中,OF=1,AO=2,∴AF=OF2+AO2=12+22=5,∵∠BDE=∠A,第25页共25页 ∴sin∠BDE=sin∠OAF=OFAF=15=55,故选:B.4.【解答】解:∵弦CD⊥AB,∴BD=BC,∴∠BOD=∠BOC=2∠A=2×20°=40°,∴∠COD=40°+40°=80°.故选:C.5.【解答】解:连接OA,∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∵∠P=30°,∴∠AOP=90°﹣∠P=90°﹣30°=60°,∴∠ACB=12∠AOP=30°,故选:C.6.【解答】解:连接CD,∵BC为⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∵∠DOE=α,第25页共25页 ∴∠DCE=12α,∴∠A=90°−12α.故选:D.7.【解答】解:连接OD、BD、作DE⊥BC于点E,∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠DBC+∠BCD=90°,∵∠ABC=90°,∴∠A+∠BCD=90°,∴∠A=∠DBC,又∵∠ADB=∠BDC,∴△ADB∽△BDC,∴ADBD=BDCD,∵AD=1,DC=3,∴1BD=BD3,∴BD=3,∴BC=BD2+CD2=23,∴∠DCB=30°,OD=OC=3,∴∠DOC=120°,∵DE⊥BC,∴DE=1.5,∴阴影部分的面积是:120π×(3)2360−3×1.52=π−334=4π−334,故选:A.8.【解答】解:连接BC,∵BP是⊙O的切线,∴AB⊥BP,∴∠ABP=90°,第25页共25页 ∴∠BAP=90°﹣∠P=54°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°﹣∠BAP=36°,由圆周角定理得,∠ADC=∠ABC=36°,故选:C.9.【解答】解:∵AB切⊙O于点B,∴∠ABO=90°,∵AC=OC=OB,∴OB=12AO,∴∠A=30°,∴∠AOB=60°,如图,优弧BC上任取一点E,连接CE,BE,则∠E=12∠BOC=30°,∴∠BDC=180°﹣∠E=150°,故选:D.10.【解答】解:连接AD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,第25页共25页 ∴∠A+∠ABD=90°,∵∠A=∠BCD=30°,∴∠ABD=60°,故选:A.11.【解答】解:∵弦AC=BD,∴AC=BD,∴BC=AD,∴∠ABD=∠BAC,∴AE=BE;如图,连接OA,OD,∵AC⊥BD,AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=45°,∴∠AOD=2∠ABE=90°,∵OA=OD,∴AD=2R,∵AD=2,∴R=1,故选:A.12.【解答】解:连接BD,如图,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵∠D=∠CAB=20°,∴∠DCB=90°﹣20°=70°.故选:A.二.填空题(共5小题)第25页共25页 13.【解答】解:连接BD,EF,如图,∵正方形ABCD的边长为2a,O为对角线的交点,由题意可得:EF,BD经过点O,且EF⊥AD,EF⊥CB.∵点E,F分别为BC,AD的中点,∴FD=FO=EO=EB=a,∴OB=OD,OB=OD.∴弓形OB=弓形OD.∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积.∴S阴影=S扇形CBD﹣S△CBD=90⋅π⋅(2a)2360−12×2a×2a=πa2﹣2a2.故答案为:πa2﹣2a2.14.【解答】解:连接OD、OA、OB、OC,∵OA=OD=OB=OC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠P=102°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=(5﹣2)×180°﹣90°﹣90°﹣102°,∴2∠2+2∠3+2∠5=258°,∴∠2+∠3+∠5=129°,∵∠OBP=90°,∴∠PBC+∠ADC=∠2+∠3+∠5+∠OBP=129°+90°=219°,故答案为:219.15.【解答】解:设正六边形ABCDEF的边长为x,第25页共25页 ∵正六边形ABCDEF的面积是243,∴6×12x2×32=243,解得x=4连接AC,∵在正六边形ABCDEF中,AB=BC=CD,∠B=∠BCD=∠BAF=120°,∴∠ACB=∠BAC=30°,∴∠ACD=90°,∵∠BAD=∠FAD=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=2CD=2×4=8,故答案为:8.16.【解答】解:如图所示,连接OC、OB,过O作ON⊥CE于N,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠COB=60°,∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴∠OCM=60°,∴OM=OC•sin∠OCM,∴OC=OMsin60°=433(cm),∵∠OCN=30°,∴ON=12OC=232(cm),第25页共25页 ∴CE=2CN=4(cm).故答案为4.17.【解答】解:该莱洛三角形的周长=3×60π×2180=2π.故答案为:2π.三.解答题(共7小题)18.【解答】证明:(1)∵DF为⊙O的切线,∴DF⊥CD,∵NM⊥DF,∴NM∥CD,∴∠MND=∠EDC,∵CD为⊙O的直径,NM⊥DF,∴∠DEC=∠NMD=90°,∴△DMN∽△CED;(2)解:连接GE,CG,OC,∵G为点E关于AB对称点,∴AO垂直平分EG,∴GN=EN,∠GNA=∠ENA,∵∠DNO=45°,∴∠ENA=45°,∴∠GNE=90°,∴∠GND=180°﹣90°=90°,∴△GND是直角三角形,∴DN2+GN2=DG2,∵△EGN是等腰直角三角形,∴∠GEN=45°,第25页共25页 ∴∠C=∠GEN=45°,∵OG=OC,∴∠CGO=∠C=45°,∴∠GOD=90°,∴△GOD是直角三角形,∵OD=2,∴DG2=OG2+OD2=22+22=8,∴DN2+GN2=DG2=8.19.【解答】(1)证明:如图,连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠DBE,∴∠ODB=∠DBE,∴OD∥BC,∵∠C=90°,∴∠ODA=90°,∵OD为⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线;(2)解:在Rt△ABC中,BC=ABsinA=10×35=6,设⊙O的半径r,∵OD∥BC,∴△AOD∽△ABC,∴AOAB=ODBC,∴10−r10=r6,解得:r=154,第25页共25页 ∴⊙O的半径为154;(3)证明:如图,连接EF,∵BF是⊙O的直径,∴∠BEF=90°=∠C,∴EF∥AC,∴∠BFE=∠A,∵∠BFE=∠BDE,∴∠A=∠BDE,∵∠ABD=∠BDE,∴△ABD∽△DBE,∴ABBD=BDBE,∴BD2=AB•BE.20.【解答】解:(1)如图,过点O作OF⊥AB于F.∵OA=OB=2,OF⊥AB,∴AF=FB=12AB=3,∠OFB=90°,∴cos∠ABO=BFBO=32,∴∠ABO=30°;(2)如图,连接OC.取OC的中点P,第25页共25页 ∵OA=OC=OB,AD=DC,CE=EB,∴OD⊥AC,OE⊥CB,∴∠ODC=∠OEC=90°,∴∠ODC+∠OEC=180°,∴O,D,C,E四点共圆,∴OC是直径,∴OC的中点P是△CDE的外接圆的圆心,∴OP=12OC=1,∴点P的运动路径的长:120×π×1180=2π3;(3)如图,若AC<BC,连接OC交AB于Q,过点O作OF⊥AB于F,过点C作CG⊥AB于G.∵AD=CD,CE=EB,∴DE∥AB,AB=2DE,∴△CDE∽△CAB,∴S△CDES△CAB=(DEAB)2=14,∴S△ABC=4S2,∵S△ADO=S△ODC,S△OBE=S△OEC,∴S四边形ODCE=12S四边形OACB,∴S1+S2=12(4S2+3)=2S2+32,∴S1=S2+32,∵S12﹣S22=98,第25页共25页 ∴S22+3S2+34−S22=98,∴S2=38,∴S△ABC=32,即32=12×AB×CG,∴CG=12,∵OF⊥AB,CG⊥AB,∴OF∥CG,∴△CGQ∽△OFQ,∴CGOF=CQOQ=12,∴CQ=13×2=23,OQ=23×2=43,∴QF=OQ2−OF2=OQ2−(OB2−BF2)=73,∴QG=76∴GF=72,即AG=AF﹣GF=3−72,∴AC2=AG2+CG2=(3−72)2+(12)2=5−21,若AC>BC时,同理可得AC2=5+21,综上所述,AC2=5−21或AC2=5+21.21.【解答】证明:(1)如图1,连接AC,∵AB=AD,∴AB=AD,∴∠ACB=∠ACD,第25页共25页 ∴点A到∠C两边的距离相等;(2)①∵CD=CD,∴∠CAD=∠CBD,∵BD为直径,∴∠BCD=90°,∴tan∠CAD=tan∠CBD=CDBC,如图2,过点D作DQ∥EC,交BC延长线于点Q,∴∠ACB=∠Q,∠ACD=∠CDQ,又由(1)知:∠ACB=∠ACD,∴∠CDQ=∠Q,∴CD=CQ,∵CE∥DQ,∴DEBE=CQBC∴DEBE=CDBC,∴tan∠CAD=DEBE,②如图,由(2)①得:∠CAD=∠CBD=30°,则tan∠CAD=DEBE=33,设DE=a,则BE=3a,∵BD为直径,第25页共25页 ∴∠BAD=90°,∵AB=AD=32,∴BD=6,∴a+3a=6,解得:a=33−3,∴DE=33−3,BE=9﹣33,又∵∠BCD=90°,∴CD=BD•sin∠CBD=3,∵∠BDC=∠BAC,∠ABD=∠ACD,∴△BAE∽△CDE,∴DEAE=CDAB,∴AE=(33−3)×323=36−32.22.【解答】解:(1)如图,连接BD,在矩形ABCD中,∠DAB=90°,∴BD是⊙O的直径,∵⊙O半径为5,∴BD=10,∴AD=BD2−AD2=6.(2)如图,过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G,过点G作MN⊥AB,分别交直线DC、AB点M、N,在矩形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,∴∠EMG=∠D=90°,∴四边形ADMN是矩形,第25页共25页 ∴∠EGM=∠MEG=90°,∴∠AED+∠MEG=90°,∴∠EGM=∠AED,在△AEG中,∠EAF=45°,∴∠EAF=∠EGF=45°,∴AE=EG,∴△AED≌△EGM(AAS),∴MG=DE=185,EM=AD=6,∴AN=DE+EM=485,NG=MN﹣MG=125,∵MN∥AD∥BC,∴△ABF∽△ANG,∴BFNG=ABAN,解得BF=2.(3)△AEF的面积存在最小值,理由如下:过点E作EH⊥AB于H,交AF于点P,作△APE的外接圆⊙I,连接IA、IP、IE,过I作IQ⊥CD于点Q,设⊙I的半径为r,∵∠EAF=45°,∴∠EIP=90°,∠IEP=45°,∠IEQ=45°,∴EP=2r,IQ=22r,∵IA+IQ≥AD,∴r+22r≥6,∴r≥12﹣62,∴S△AEF=12AB•EP=42r,∴S△AEF≥42(12﹣62),∴S△AEF≥482−48,第25页共25页 ∴△AEF的面积存在最小值,最小值482−48.23.【解答】(1)证明:如图1中,∵I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴OD⊥BC.(2)证明:如图1中,连接BD.∵I是△ABC的内心,∴∠BAI=∠CAI,∠ABI=∠CBI,∵∠DIB=∠BAI+∠ABI,∠DBI=∠CBI+∠CBD,∠CBD=∠CAI,∴∠DBI=∠DIB,∴DB=DI.(3)解:如图2中,连接OG,过点O作OH⊥DG于H.∵OD⊥BC,∴BE=EC=12,∵tan∠OBE=512=OEBE,∴OE=5,∵DG∥OB,∴∠BOE=∠ODH,∵∠BEO=∠OHD=90°,OB=OD,∴△OBE≌△ODH(AAS),∴OE=DH=5,∵OH⊥DG,∴DH=HG=5,∴DG=10.第25页共25页 24.【解答】(1)证明:连接OC,如图,∵OA=OC,∠A=30°,∴∠A=∠ACO=30°,∵CA=CP,∴∠A=∠P=30°,∴∠ACP=180°﹣∠A﹣∠P=180°﹣30°﹣30°=120°,∴∠OCP=∠ACP﹣∠ACO=120°﹣30°=90°,∴OC⊥CP,∴CP是⊙O的切线;(2)解:如图,连接BC,第25页共25页 ∵OA=OB=1,∴AB=2,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,∴BC=12AB=1,∴AC=AB2−BC2=3.第25页共25页
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