模块卷(一)时间:120分钟 分值:150分三角函数、向量、数列一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020贵州贵阳一中9月月考,5)在等差数列{an}中,an≠0(n∈N*),角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则=( )A.5 B.4 C.3 D.2答案 B 由三角函数定义可知,tanα=,又知数列{an}为等差数列,an≠0,∴a1+a3=2a2,∴tanα=2,则===4.2.(2020广东佛山一中9月月考,8)已知α,β为锐角,且tanα=,cos(α+β)=,则cos2β=( )A. B. C. D.答案 C ∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,cosα=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=,∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C.
3.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)( )A.最小正周期为π,最大值为2B.最小正周期为π,图象关于点中心对称C.最小正周期为π,图象关于直线x=对称D.最小正周期为π,在区间上单调递减答案 D 对于g(x),由题图可知,A=2,T=4=,又∵ω>0,∴ω==3.则g(x)=2sin(3x+φ),又由g=2可得2sin=2,则+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,∴φ=-.∴g(x)=2sin,∴f(x)=2sin.∴f(x)的最小正周期为π,选项A,C错误.对于选项B,令2x+=kπ(k∈Z),所以x=-,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z),所以选项B是错误的.当x∈时,2x+∈,所以f(x)在上是减函数,所以选项D正确.故选D.
4.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cosA+cosB),则△ABC为( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案 D 由正弦定理得sinC=sinB(cosA+cosB),即sin(A+B)=sinB(cosA+cosB),也即sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinBcosB,所以(sinA-sinB)cosB=0,所以cosB=0或sinA=sinB,所以B=或A=B.故△ABC为直角三角形或等腰三角形,故选D.5.(2019山东济宁模拟,8)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=( )A. B. C.3 D.答案 B 令bn=nan,则由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),得2bn=bn-1+bn+1(n≥2且n∈N*),∴数列{bn}构成以1为首项,以2a2-a1=3为公差的等差数列,则bn=1+3(n-1)=3n-2,即nan=3n-2,∴an=,∴a18==.故选B.6.(2020九师联盟,6)已知{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,且a4=b5,则( )A.a2+a6≥b3+b7 B.a2+a6≤b3+b7C.a2+a6≠b3+b7 D.a2+a6=b3+b7答案 A ∵{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,a4=b5,∴由基本不等式可得,a2+a6≥2=2=2a4=2b5=b3+b7,故选A.解题关键 利用基本不等式得到a2+a6≥2是解答本题的关键.7.(2019湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列{an}中,a1=21,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是( )
A. B.C. D.答案 C 根据题意,知Sn=21n+.∵当且仅当n=8时,Sn取得最大值,∴则解得∴d的取值范围为.故选C.8.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a∥b B.a=2bC.a∥b且|a|=|b| D.a=-b答案 B 对于A,当a∥b时,与可能同向也可能反向,故A错误;对于B,当a=2b时,==,故B正确;对于C,当a∥b且|a|=|b|时,与可能同向也可能反向,故C错误;对于D,当a=-b时,=-≠,故D错误.综上,选B.9.(2020贵州遵义摸底考试,6)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=2,则向量a-b在向量a方向上的投影为( )A.-1 B.1 C.2 D.3答案 B 设向量a-b与向量a的夹角为θ,则向量a-b在向量a方向上的投影为
|a-b|cosθ=|a-b|·====1,故选B.10.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能答案 B 在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点D,连接AD,OD,OG,如图所示,则OD⊥BC,GD=AD,=+,=(+),由·=5,得(+)·=·=-(+)·=5,即-(+)·(-)=5,故||2-||2=-30,又BC=5,∴||2=||2+||2>||2+||2,∴cosC<0,∴
0,∴an,an+1同号,又a1=,∴an>0,∵S10=(2a10-a9)+(2a9-a8)+…+(2a2-a1)+2a1-a10=(-)+(-)+…+(-)+2a1-a10=-+2a1-a10=+,又∵a10∈(0,1),∴S10∈,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019山东烟台调研,14)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x+y= .
答案 解析 =+=+=+(-)=-,又=x+y,所以x=,y=-,故x+y=-=.14.(2020四川南充高级中学摸底,14)函数y=cos(x+10°)+cos(x+70°)的最小值是 . 答案 -解析 y=cos(x+10°)+cos[(x+10°)+60°]=cos(x+10°)+cos(x+10°)cos60°-sin(x+10°)sin60°=cos(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin[60°-(x+10°)]=sin(50°-x)=-sin(x-50°).∵x∈R,∴当x=140°+k·360°(k∈Z)时,函数取得最小值-.15.已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值为 . 答案 -25解析 解法一(定义法):由题意可知△ABC为直角三角形,且∠B=,cosA=,cosC=.∴·+·+·=·+·=4×5×cos(π-C)+5×3×cos(π-A)=-20cosC-15cosA=-20×-15×=-25.解法二(坐标法):易知∠ABC=90°.如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4).∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4),∴·=-3×0+0×4=0,·=0×3+4×(-4)=-16,·=-3×3
+0×(-4)=-9.∴·+·+·=-25.解法三(几何意义法):易知∠ABC=90°.在方向上的投影为数量-||,在方向上的投影为数量-||,因此·=-=-16,·=-=-9,·=0,∴·+·+·=-25.解法四(性质法):易知∠ABC=90°.·+·+·=0+·(+)=·=-||2=-25.解法五(平方法):∵++=0,∴(++)2=0,∴+++2·+2·+2·=0.∴·+·+·=-(++)=-25.16.(2019湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*),若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列的前n项和Sn= . 答案 解析 ∵{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,∴公比q===2,∴an=2n,
∴a1a2a3…an=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=.∵a1a2a3…an=,∴bn=,∴==2,∴的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn=2=2=.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ+cos+,其图象过点.(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=sin2xcosφ+sin2xsinφ-sinφ+=sin2xcosφ+×sinφ-sinφ+=sin2xcosφ-cos2xsinφ+
=sin(2x-φ)+.∵f(x)的图象过点,∴sin+=1,即sin=1,∴-φ=2kπ+(k∈Z),∴φ=-2kπ-(k∈Z).∵-<φ<,∴φ=-.则f(x)=sin+,由2x+=kπ(k∈Z)得x=-(k∈Z),故其图象的对称中心为,k∈Z.(2)将y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为y=sin+.又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=sin+1.由x∈得x+∈,当x+=,即x=时,g(x)取最大值2;当x+=,即x=0时,g(x)取最小值.18.(12分)(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解析 (1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,因为⊥,所以·=0,所以cosθ==,设||=||=a(a>0),则cosθ==.(5分)(2)∵||=||=,∴||=1,
设||=x(0≤x≤1),则||=1-x.(8分)因为+=2,所以·+·=·(+)=2·=2||·||cosπ=2x2-2x=2-.因为0≤x≤1,所以当且仅当x=时,·+·取最小值-.(12分)19.(12分)(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·的值.解析 (1)f(x)=m·n=sin2ωx+cos2ωx=2sin,∵f(x)的最小正周期为π,∴T==π,∴ω=1.(2)设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.∵f(B)=-2,∴2sin=-2,即sin=-1,解得B=.∵BC=,∴a=,∵sinB=sinA,∴b=a,∴b=3,由=得sinA=,∵0(m∈Z)对n∈N*恒成立,求m的最大值.解析 本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-[(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1)],化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即an-an-1=4,所以数列{an}是等差数列,其首项为1,公差为4,所以an=4n-3,Sn==2n2-n.
(2)由(1)知=2n-1,所以S1++…+=1+3+…+2n-1=n2,令f(n)=n2+2n,可知f(n)单调递增,f(10)=102+210=1124,故存在唯一的自然数n=10符合要求.(3)由(1)知cn==,所以Tn==·,注意到Tn=单调递增,所以Tn≥T1=,所以<,解得m<8(m∈Z).所以m的最大值为7.
