大学微积分-函数的极值与最值应用
一、函数的极值三、经济应用举例二、函数的最值
一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=f(x)x0x0
极值的定义设函数y=f(x)在x0的某一邻域内有定义,定义如果对任意的x≠x0,恒有则称f(x0)为f(x)的一个极大(小)值.f(x)f(x0))x0x0函数的极大值与极小值统称为极值,函数取得极值的点称为极值点.
例y=sinx,x[0,2]sinx在取极大值232sinx在取极小值注意:0和2不是sinx的极值点
极值存在的必要条件x0x0定理设函数y=f(x)在极值点x0可导,则f(x0)=0.注1:如果f(x)=0,那么称x0为f(x)的驻点.
极值存在的必要条件定理设函数y=f(x)在极值点x0可导,则f(x0)=0.注1:如果f(x)=0,那么称x0为f(x)的驻点.注2:驻点不一定是极值点.xyoy=|x|xyoy=x3xyoy=x2注3:不可导点也可能是极值点.
极值可疑点不可导点驻点?两个充分条件
极值存在的第一充分条件定理设函数x0是f(x)的极值可疑点,f(x)在x0的某一邻域内(x0－d,x0+d)连续且可导(在x0可以不可导):(1)当x(x0－d,x0)时,f(x)>0,当x(x0,x0+d)时,f(x)<0,则x0是f(x)的极大值点.(2)当x(x0－d,x0)时,f(x)<0,当x(x0,x0+d)时,f(x)>0,则x0是f(x)的极小值点.(3)在上述两个区间,f(x)同号,则x0不是极值点.+x0+x0x0++x0一阶导数变号法
例1解f(x)=3x2－6x－9=3(x+1)(x－3)求函数f(x)=x3－3x2－9x+5的极值.f(x)x1=－1,x2=3xf(x)－13(－∞,－1)(－1,3)(3,+∞)令f(x)=0得:+0+0极大极小极大值f(－1)=10极小值f(3)=－22
例1求函数f(x)=x3－3x2－9x+5的极值.Mm图形如下:
例2解求函数的极值.当x=2时,f(x)不存在,但f(x)在R上连续.当x<2时,f(x)>0当x>2时,f(x)<0所以f(2)=1为f(x)的极大值.M
极值存在的第二充分条件定理设函数y=f(x)在驻点x0二阶可导,(1)如果f(x0)>0,则f(x)在x0取极小值;+x0+x0(2)如果f(x0)<0,则f(x)在x0取极大值.称为“二阶导数非零法”1.记忆——特例法:y=x2,y=－x2说明：2.只适用于驻点,不能用于判断不可导点3.f(x0)=0时不可使用.xyoy=x3
例3求函数f(x)=x3+3x2－24x－20的极值.解f(x)=3x2+6x－24f(x)=6x+6=3(x+4)(x－2)令f(x)=0得:∴极大值f(－4)=60=－48∵f(－4)=x1=－4,x2=2－18<0∵f(2)=18>0∴极小值f(2)
Mm例3求函数f(x)=x3+3x2－24x－20的极值.图形如下:
1.确定函数的定义域；4.用极值的第一或第二充分条件判定.注意:第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤:2.求导数f(x);3.求定义域内的极值可疑点(即驻点和一阶不可导点)；
二、函数的最值及其求法极值是局部的,而最值是全局的.若函数f(x)在[a,b]上连续,则函数f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值.
求闭区间[a,b]上最值的步骤:3.最大值M=max{f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)}最小值m=min{f(x1),…,f(xk),f(a),f(b)}.1.求出定义域内所有的极值可疑点(驻点和一阶不可导点)x1,x2,…,xk,并算出相应函数值f(xk);2.计算f(a),f(b)；
例4求函数f(x)=在[－1,0.5]上的最值.解x=0是f(x)的不可导点.令f(x)=0得:∵∴最大值是0,x1=25f(0)=0f(－1)=－2最小值是－2
例5求函数y=在上的最值.解当时,y>0又∵y在上是连续的∴y在上单调递增∴最小值是∵∴y没有最大值
更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.说明:1.如果f(x)在[a,b]上单调,则它的最值必定在端点a和b处取得;2.如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有唯一驻点x0为极值点,则f(x0)必定是最大值或最小值;
例6当0≤x≤1,p>1时,证明证令f(x)=xp+(1－x)p∴结论成立.∵f(0)=f(1)=1f(x)=pxp－1－p(1－x)p－1令f(x)=0,得驻点x=1/2
例7解将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？axa-2x设小正方形的边长为x，则方盒的容积为
例7解将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积为a-2x求导得:V=x(a－2x)2,V=(a－2x)(a－6x)唯一驻点x=a/6
三、经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题例8设成本函数为则平均成本为得唯一驻点x=400此时平均成本和边际成本均为4.一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.所以当x=400时,平均成本最低.
2.最大利润问题例9利润函数为解故当产量x=7时,利润最大.此时价格p=44.设某产品的需求量x是价格p(元)的函数:每天生产该产品的成本函数为C(x)=120+2x+x2问工厂每天产量为多少时,利润最大?此时价格多少?令L(x)=70－10x=0,而L(x)=－10<0得唯一驻点x=7
某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？3.最优批量—库存问题例10解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点x=5,
