2013年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．)th1.计算：lim________．t൅2.设，htht끨h൅䁕是纯虚数，其中是虚数单位，则＝________．hh3.若，t________．൅൅4.已知香䁨的内角、香、䁨所对的边分别是、、，若hththh＝，则角䁨的大小是________.h5.设常数，若t的二项展开式中项的系数为൅，则＝________．൅൅6.方程t的实数解为________．൅7.在极坐标系中，曲线cost൅与cos൅的公共点到极点的距离为________．8.盒子中装有编号为൅，h，，，，，，，的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．9.设香是椭圆Γ的长轴，点䁨在Γ上，且䁨香，若香＝，香䁨h，则Γ的两个焦点之间的距离为________.10.设非零常数是等差数列൅，h，…，൅的公差，随机变量等可能地取值൅，h，…，൅，则方差＝________．൅h11.若coscostsinsin，sinhtsinh，则sin끨t䁕________．hh12.设为实常数，끨䁕是定义在上的奇函数，当时，끨䁕tt．若끨䁕t൅对一切成立，则的取值范围为__________.13.在‸平面上，将两个半圆弧끨൅䁕hth൅끨൅䁕和끨䁕hth൅끨䁕，两条直线൅和൅围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为．过끨䁪䁕끨൅䁕作的水平截面，所得截面积为൅ht．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．试卷第1页，总7页 14.对区间上有定义的函数끨䁕，记끨䁕＝＝끨䁕䁪．已知定义域为䁪的函数＝끨䁕有反函数＝൅끨䁕，且൅끨䁪൅䁕）＝൅䁪h䁕䁪൅끨끨h䁪䁕＝䁪൅䁕．若方程끨䁕＝有解，则＝________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．)15.设常数，集合끨൅䁕끨䁕，香൅，若香，则的取值范围为끨䁕A.끨䁪h䁕B.끨䁪hC.끨h䁪t䁕D.h䁪t䁕16.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的끨䁕A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.在数列中，＝h൅，若一个行൅h列的矩阵的第行第列的元素＝tt，끨＝൅䁪h,…,；＝൅䁪h,…,൅h䁕，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A.൅B.hC.D.18.在边长为൅的正六边形香䁨쳌中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、．若、分别为끨tt䁕끨tt䁕的最小值、最大值，其中䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪，䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪，则、满足（）A.＝，㐠B.，㐠C.，＝D.，三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．)19.如图，在长方体香䁨香䁨中，香h，൅，൅．证明直线香䁨平行于平面䁨，并求直线香䁨到平面䁨的距离．20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求൅൅），每小时可获得的利润是൅끨t൅䁕元．（1）要使生产该产品h小时获得的利润不低于元，求的取值范围；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.已知函数끨䁕＝hsin끨䁕，其中常数㐠．h（1）若＝끨䁕在䁪上单调递增，求的取值范围；试卷第2页，总7页 （2）令＝h，将函数＝끨䁕的图象向左平移个单位，再向上平移൅个单位，得到函数＝끨䁕的图象，区间䁪끨，，且䁕满足：＝끨䁕在䁪上至少含有个零点．在所有满足上述条件的䁪中，求的最小值．h22.如图，已知双曲线䁨൅h൅，曲线䁨h＝t൅，是平面内一点，若存在h过点的直线与䁨൅，䁨h都有公共点，则称为“䁨൅䁨h型点”（1）在正确证明䁨൅的左焦点是“䁨൅䁨h型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线＝与䁨h有公共点，求证㐠൅，进而证明原点不是“䁨൅䁨h型点”；hh൅（3）求证：圆t内的点都不是“䁨൅䁨h型点”.h23.给定常数㐠，定义函数끨䁕＝httt．数列൅，h，，…满足＝끨䁕，．t൅（1）若൅＝h，求h及；（2）求证：对任意，；t൅（3）是否存在൅，使得൅，h，…，，…成等差数列？若存在，求出所有这样的൅；若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2013年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．൅1.2.h3.൅4.arccos5.h6.logt൅7.h൅8.൅9.10.hh11.12.13.hht൅14.h二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.B16.B17.A18.D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.解：解法一：因为香䁨香䁨为长方体，故香䁨，香䁨，故香䁨为平行四边形，故香䁨，显然香䁨不在平面䁨内，于是直线香䁨平行于平面䁨．直线香䁨到平面䁨的距离即为点香到平面䁨的距离，设为，考虑三棱锥香䁨的体积，以香䁨为底面，可得三棱锥香䁨的体积为试卷第4页，总7页 ൅൅൅끨൅൅䁕൅，hh而䁨中，䁨䁨，h，故䁨的底边上的高为，h൅h故䁨的面积䁨h，hhh൅൅hh所以，，即直线香䁨到平面䁨的距离为．h解法二：以所在的直线为轴，以䁨所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点끨൅䁪䁪൅䁕、香끨൅䁪h䁪൅䁕、䁨끨䁪h䁪൅䁕、䁨끨䁪h䁪䁕、끨䁪䁪䁕．设平面䁨的一个法向量为끨䁞䁪䁪䁕，则由，䁨，可得，䁨．䁞t䁞h∵끨൅䁪䁪൅䁕，䁨끨䁪h䁪൅䁕，∴，解得．hth令൅，可得䁞h，h，可得끨h䁪൅䁪h䁕．由于香䁨끨൅䁪䁪൅䁕，∴香䁨，故有香䁨．再由香䁨不在平面䁨内，可得直线香䁨平行于平面䁨．h൅t൅t끨h䁕h由于䁨香끨൅䁪䁪䁕，可得点香到平面䁨的距离，hht൅ht끨h䁕hh故直线香䁨到平面䁨的距离为．20.解：（1）生产该产品h小时获得的利润为൅끨t൅䁕h＝h끨t൅䁕h根据题意，h끨t൅䁕，即൅൅∴或∵൅൅，∴൅；（2）设利润为元，则生产千克该产品获得的利润为＝൅끨t൅䁕൅൅൅h൅＝끨tt䁕＝൅끨䁕th൅h∵൅൅，൅∴＝时，取得最大利润为൅元൅h故甲厂应以千克/小时的速度生产，可获得最大利润为元．试卷第5页，总7页 h21.∵函数＝끨䁕在䁪上单调递增，且㐠，h∴，且，hh解得．끨䁕＝hsinh，∴把＝끨䁕的图象向左平移个单位，再向上平移൅个单位，得到hsinh끨t䁕t൅，∴函数＝끨䁕hsinh끨t䁕t൅，令끨䁕＝，得t，或t끨䁕．൅hh∴相邻两个零点之间的距离为或．若最小，则和都是零点，此时在区间䁪t，䁪ht，…，䁪t끨䁕分别恰有，，…，ht൅个零点，所以在区间䁪൅t是恰有h个零点，从而在区间끨൅t䁪至少有一个零点，∴൅．另一方面，在区间䁪൅tt恰有个零点，൅h൅h因此的最小值为൅t．22.（1）解：䁨൅的左焦点为끨䁪䁕，写出的直线方程可以是以下形式：或끨t䁕，其中．（2）证明：因为直线＝与䁨h有公共点，t൅所以方程组有实数解，因此＝t൅，得㐠൅．t൅若原点是“䁨൅䁨h型点”，则存在过原点的直线与䁨൅、䁨h都有公共点．考虑过原点与䁨h有公共点的直线＝或＝끨㐠൅䁕．显然直线＝与䁨൅无公共点．hh如果直线为＝끨㐠൅䁕，则由方程组hh，得h，矛盾．൅൅hh所以直线＝끨㐠൅䁕与䁨൅也无公共点．因此原点不是“䁨൅䁨h型点”．hh൅（3）证明：记圆‸t，取圆‸内的一点，设有经过的直线与䁨൅，䁨hh都有公共点，显然不与轴垂直，故可设＝t．若൅，由于圆‸夹在两组平行线＝൅与＝൅之间，因此圆‸也夹在直线＝൅与＝൅之间，从而过且以为斜率的直线与䁨h无公共点，矛盾，所以㐠൅．因为与䁨൅由公共点，试卷第6页，总7页 t所以方程组hh有实数解，൅h得끨൅hh䁕hhhh＝．因为㐠൅，所以൅hh，因此＝끨䁕h끨൅hh䁕끨hhh䁕＝끨ht൅hh䁕，即hhh൅．因为圆‸的圆心끨䁪䁕到直线的距离，൅thhh൅൅thhhh所以，从而㐠h൅，得൅，与㐠൅矛盾．൅thhhhh൅因此，圆t内的点不是“䁨൅䁨h型点”．h23.（1）解：h＝끨൅䁕＝끨h䁕＝hhttht＝h＝h，＝끨h䁕＝끨h䁕＝hhttht＝h끨t䁕끨th䁕＝൅t．tt䁪（2）证明：由已知可得끨䁕tt䁪䁪当时，t൅＝t㐠；当时，t൅＝htth끨䁕tt＝；当时，t൅＝h㐠h끨䁕＝．∴对任意，；t൅（3）解：假设存在൅，使得൅，h，…，，…成等差数列．由（2）及㐠，得t൅，即为无穷递增数列．又为等差数列，所以存在正数，当㐠时，，从而t൅＝끨䁕＝tt，由于为等差数列，因此公差＝t．①当൅时，则h＝끨൅䁕＝൅，又h＝൅t＝൅tt，故൅＝൅tt，即൅＝，从而h＝，当h时，由于为递增数列，故h＝㐠，∴t൅＝끨䁕＝tt，而h＝൅tt，故当൅＝时，为无穷等差数列，符合要求；②若൅，则h＝끨൅䁕＝൅tt，又h＝൅t＝൅tt，∴൅tt＝൅tt，得൅＝，应舍去；③若൅，则由൅得到t൅＝끨䁕＝tt，从而为无穷等差数列，符合要求．综上可知：൅的取值范围为䁪䁪t䁕．试卷第7页，总7页