2003年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.函数ㄠsincossscossins的最小正周期ㄠ________．2.若ㄠ是方程cossㄠ䁠的解，其中th，则ㄠ________．3.在等差数列中，ㄠ，ㄠ香，则ssǤǤǤs䁠tㄠ________．4.已知定点th䁠，点在直线sㄠt上运动，当线段最短时，点的坐标是________．5.在正四棱锥香ꀀ香中，若侧面与底面所成二面角的大小为t，则异面直线与ꀀ所成角的大小等于________．（结果用反三角函数值表示）6.设集合ㄠ，ㄠ香s൅t，则集合且ㄠ________．7.ꀀ中，若sinsinsinꀀㄠ，则cosꀀㄠ________．8.若首项为䁠，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项䁠，公比的一组取值可以是䁠hㄠ________．9.某国际科研合作项目成员由䁠䁠个美国人、个法国人和个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．（结果用分数表示）10.方程slgㄠ䁠的根________．（结果精确到tǤ䁠）11.已知点th，th香，ꀀsht，其中的为正整数．设表示ꀀ外lim接圆的面积，则ㄠ________．12.给出问题：䁠、是双曲线香ㄠ䁠的焦点，点在双曲线上．若点到焦点䁠t䁠的距离等于，求点到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为，由䁠香ㄠ，即香ㄠ，得ㄠ䁠或䁠．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.下列函数中，既为偶函数又在th上单调递增的是()A.ㄠtanB.ㄠcos香C.ㄠsin香D.ㄠcot14.在下列条件中，可判断平面与平行的是（）A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等C.，是内两条直线，且，D.，是两条异面直线，且，，，15.甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母、分别表示两人各投掷一次的点数．满足关于的方程ssㄠt有实数解的概率为（）试卷第1页，总7页 䁠䁠A.B.C.D.16.是定义在区间香一h一上的奇函数，其图象如图所示：令ㄠs݂，则下列关于函数的叙述正确的是A.若t，则函数的图象关于原点对称B.若ㄠ香䁠，香݂t，则方程ㄠt有大于的实根C.若t，݂ㄠ，则方程ㄠt有两个实根D.若䁠，݂，则方程ㄠt有三个实根三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知复数䁠ㄠcos香，ㄠsins，求䁠的最大值和最小值．18.已知平行六面体ꀀ香香䁠䁠ꀀ䁠香䁠中，䁠平面ꀀ香，ㄠ，香ㄠ．若香ꀀ，直线香与平面ꀀ香所成的角等于t，求平行六面体ꀀ香香䁠䁠䁠䁠ꀀ䁠香䁠的体积．䁠䁠s19.已知函数ㄠ香log，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．䁠香20.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽米，要求通行车辆限高Ǥ米，隧道全长Ǥ千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高为米，则隧道设计的拱宽是多少？试卷第2页，总7页 （2）若最大拱高不小于米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为ㄠ，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到tǤ䁠米）21.在以为原点的直角坐标系中，点h香为的直角顶点．已知ㄠ，且点的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆香ssㄠt关于直线对称的圆的方程；（3）是否存在实数，使抛物线ㄠ香䁠上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求的取值范围．22.已知数列（为正整数）是首项是䁠，公比为的等比数列．（1）求和：ꀀt香ꀀ䁠sꀀ，ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀ；䁠䁠（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．（3）设䁠，是等比数列的前项和，求：ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs䁠香䁠ꀀ．s䁠试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2003年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.3.香䁠䁠4.香，5.arctan6.䁠7.香䁠8.䁠h（䁠൅t，t䁠的一组数）䁠䁠9.䁠t10.Ǥ11.12.ㄠ䁠二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.C14.D15.A16.B三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：䁠ㄠ䁠ssincosscos香sinㄠ䁠ssincosscos香sinㄠssincos䁠ㄠssin故䁠的最大值为，最小值为．18.解：连接香，因为䁠平面ꀀ香，䁠香ꀀ，所以ꀀ香．在ꀀ香中，ꀀㄠ，ꀀ香ㄠㄠ．所以香ㄠ．又因为直线香与平面ꀀ香所成的角等于t，䁠䁠所以䁠香ㄠt，于是䁠ㄠ香ㄠ．试卷第4页，总7页 故平行六面体ꀀ香香䁠䁠ꀀ䁠香䁠的体积为ꀀ香䁠ㄠ．t19.解：䁠须满足䁠s，൅t䁠香䁠s由൅t得香䁠䁠，䁠香所以函数的定义域为香䁠htth䁠．因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意，䁠䁠香䁠䁠s有香ㄠ香香logㄠ香香logㄠ香，䁠s䁠香所以是奇函数．研究在th䁠内的单调性，任取䁠、th䁠，且设䁠，䁠䁠s䁠䁠䁠s则䁠香ㄠ香log香slog䁠䁠香䁠䁠香䁠䁠ㄠ香slog香䁠香log香䁠䁠䁠香䁠香䁠䁠䁠由香൅t，log香䁠香log香䁠൅t，䁠䁠香䁠香䁠得䁠香൅t，即在th䁠内单调递减，由于是奇函数，所以在香䁠ht内单调递减．20.解：（1）如图建立直角坐标系，则点䁠䁠hǤ，椭圆方程为sㄠ䁠．݂将݂ㄠㄠ与点坐标代入椭圆方程，得ㄠ，此时此时ㄠㄠǤ因此隧道的拱宽约为Ǥ米；（2）由椭圆方程sㄠ䁠，݂䁠䁠Ǥ根据题意，将䁠䁠hǤ代入方程可得sㄠ䁠．݂䁠䁠Ǥ䁠䁠Ǥ因为s݂݂试卷第5页，总7页 即݂且ㄠ，ㄠ݂，݂所以ㄠㄠ当取最小值时，䁠䁠Ǥ䁠有ㄠㄠ，݂得ㄠ䁠䁠，݂ㄠ此时ㄠㄠ䁠Ǥ䁠，ㄠ݂Ǥ故当拱高约为Ǥ米、拱宽约为䁠Ǥ䁠米时，土方工程量最小．21.解：（1）设ㄠ䁠hꀀ，则由ㄠ，ㄠt䁠sꀀㄠ䁠tt即䁠香ꀀㄠt䁠ㄠ䁠ㄠ香得，或．ꀀㄠꀀㄠ香∵ㄠsㄠ䁠shꀀ香，∴ꀀ香൅t，得ꀀㄠ，∴ㄠh；（2）由ㄠ䁠th，得䁠th，䁠于是直线方程：ㄠ．由条件可知圆的标准方程为：香ss䁠ㄠ䁠t，得圆心h香䁠，半径为䁠t．设圆心h香䁠关于直线的对称点为hs香䁠香ㄠt则，s䁠ㄠ香香ㄠ䁠得，ㄠ∴所求圆的方程为香䁠s香ㄠ䁠t；（3）设䁠h䁠，h为抛物线上关于直线对称两点，䁠s䁠s香ㄠt则，䁠香ㄠ香䁠香䁠sㄠ香得香䁠ㄠ香即䁠，为方程ssㄠt的两个相异实根，试卷第6页，总7页 香于是由ㄠ香൅t，得൅．∴当൅时，抛物线ㄠ香䁠上总有关于直线对称的两点．22.解：（1）ꀀt香ꀀ䁠sꀀㄠ香s䁠䁠䁠䁠ㄠ䁠香䁠ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀ䁠ㄠ䁠香ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀ䁠䁠ㄠ香s香䁠䁠䁠䁠ㄠ䁠香；䁠（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为䁠，公比为的等比数列，则ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀㄠ䁠香，为正整数䁠s䁠䁠证明：ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ䁠s䁠ㄠꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ䁠䁠䁠䁠䁠ㄠꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ䁠ㄠ䁠香；䁠∴左边ㄠ右边，该结论成立．（3）∵数列（为正整数）是首项是䁠，公比为的等比数列，而且䁠．䁠香䁠䁠䁠香∴ㄠㄠ，䁠香䁠香∴ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀsǤǤǤs香䁠ꀀ䁠s䁠ㄠ䁠䁠香一t香䁠香一䁠s䁠香一香䁠香一sǤǤǤs香䁠䁠香s䁠一䁠香䁠ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀꀀ香䁠ꀀt香ꀀ䁠sꀀ香ꀀㄠss香䁠ss䁠香䁠香香䁠ꀀ䁠ㄠ䁠香．香䁠试卷第7页，总7页