2002年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.若且͵ݖ（ሻݖ为虚数单位），则________．2.已知向量与的夹角为ሻ夹角，且夹，䁞，则夹________．3.方程logሻ夹͵夹ሻ的解________．͵4.若正四棱锥的底面边长为夹͵，体积为͵，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________．5.在二项式ሻ͵和夹䁞的展开式中，各项系数之和分别记为、、是正lim夹整数，则________．͵6.已知圆夹ሻ夹ሻ和圆外一点夹角，过点作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是________．7.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的名增至ሻ名，但只任取其中名裁判的评分作为有效分，若ሻ名裁判中有夹人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是________．（结果用数值表示）夹ሻ8.曲线（为参数）的焦点坐标是________．夹ሻ9.若、两点的极坐标为，㤳角，则中点的极坐标是________（极角͵用反三角函数值表示）10.设函数sin夹，若是偶函数，则的一个可能值是________．11.若数列中，͵，且夹，则数列的通项________．ሻሻ12.已知函数（定义域为，值域为）有反函数ሻ，则方程角有解，且的充要条件是ሻ满足________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）ሻA.ሻȁ夹ሻB.ሻȁ夹ሻC.ሻ夹ሻD.ሻ夹试卷第1页，总6页 14.已知直线、，平面、，且，Ì，给出下列四个命题；ሻ若，则．夹若，则．͵若，则．若，则．其中正确命题的个数是（）A.ሻ个B.夹个C.͵个D.个15.函数＝sin，的大致图象是A.B.C.D.16.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温有一定的关系，图ሻ表示某年ሻ夹个月中每月的平均气温，图夹表示某家庭在这年ሻ夹个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加三、解答题（共6小题，满分86分）)17.如图，在直-棱柱െെെ中，െ，，͵，角，是线段െെ的中点，是侧棱െ上的一点，若，求与底面所成角试卷第2页，总6页 的大小（结果用反三角函数值表示）18.已知点͵，角和͵，角，动点与、两点的距离之差的绝对值为夹，点的轨迹与直线夹交于、两点，求线段的长．夹19.已知函数夹tanሻ，ሻ͵，．夹夹ሻ当时，求函数的最大值与最小值；㤳夹求的取值范围，使在区间ሻ͵上是单调函数．20.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的角出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围夹角角角角角角䁞角角䁞角角角角角角角角…获得奖券的金额（元）͵角㤳角ሻ角角ሻ͵角…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为角角元的商品，则消费金额为͵夹角元，获得的优惠额为：角角角Ǥ夹͵角ሻሻ角（元），设购购买商品获得的优惠额买商品得到的优惠率，试问：商品的标价（1）若购买一件标价为ሻ角角角元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在䁞角角角角（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到ሻ不小于的优惠率？͵ሻ21.已知函数的图象过点、和䁞ሻ．（1）求函数的解析式；（2）记log夹、是正整数，是数列的前项和，解关于的不等式角；（3）对于（2）中的与，整数ሻ角是否为数列中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．ሻሻ角22.规定，其中，是正整数，且ሻ，这是组合数、是正整数，且的一种推广．（1）求䁞的值；ሻ䁞（2）组合数的两个性质：①；②ሻ．是否都能推广到ሻ（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．试卷第3页，总6页 参考答案与试题解析2002年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.͵ݖ2.ሻ͵3.ሻ4.͵角ሻ5.夹6.͵͵7.ሻ͵8.角Ǥሻ͵9.ሻ，arctan10.11.͵夹ሻ12.ሻ角，且ሻሻሻ的图象在直线的下方，且与轴的交点为角…二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.D14.A15.A16.C三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系．͵由题意，有͵角角，，夹，．夹͵设͵角，则，夹，，夹͵角．∵，∴角Ǥ．夹∵െ平面，试卷第4页，总6页 ͵∴是与底面所成的角Ǥtan，͵∴arctan．18.解：设点，则夹．夹夹根据双曲线的定义，可知点的轨迹是双曲线ሻ．夹夹由夹夹，夹夹͵，得夹ሻ，夹夹．夹故点的轨迹方程是夹ሻ．夹夹夹ሻ夹由夹，得㤳角．夹∵角，∴直线与双曲线有两个交点．设ሻሻ、夹夹，则ሻ夹，ሻ夹㤳．故ሻ夹夹ሻ夹夹夹ሻ夹夹ሻ夹䁞．19.解：ሻ当时，㤳夹夹͵͵夹ሻ，͵͵͵ሻ͵，͵∴时，的最小值为．͵͵夹͵ሻ时，的最大值为．͵夹函数tan夹ሻtan夹图象的对称轴为tan．∵在区间ሻ͵上是单调函数．∴tanሻ或tan͵，即tanሻ或tan͵，因此的取值范围是，．夹͵夹ሻ角角角角Ǥ夹ሻ͵角20.解：（1）由题意可知：͵͵．ሻ角角角故购买一件标价为ሻ角角角元的商品，顾客得到的优惠率是͵͵．（2）设商品的标价为元．则䁞角角角角，消费额：角角角Ǥ㤳角．角Ǥ夹㤳角ሻ由已知得͵角角角Ǥ䁞角角角Ǥ夹ሻ角角ሻ或͵䁞角角角Ǥ㤳角试卷第5页，总6页 不等式组无解，不等式组的解为㤳夹䁞䁞角．因此，当顾客购买标价在㤳夹䁞䁞角元内的商品时，ሻ可得到不小于的优惠率．͵ሻ䁞ሻ21.解：（1）由，ሻ，得，．ሻ角夹ሻ故．ሻ角夹ሻ（2）由题意log夹夹ሻ角．ሻ角夹ሻ，夹夹䁞．由角，得䁞角，即䁞．故䁞，㤳，，，．（3）ሻሻ㤳，夹夹，͵͵夹，角．当䁞时，角．当ሻ角夹夹时，夹ሻሻ角．夹夹夹夹当夹͵时，ሻሻ䁞夹ሻ角．夹͵夹͵因此，ሻ角不是数列中的项．䁞ሻ䁞ሻ㤳ሻሻሻ22.解：（1）ሻሻ㤳夹；ሻ䁞ሻ夹͵䁞（2）不能推广到的情形，例如ሻ，夹ሻ无意义；夹夹ሻ能推广到的情形，ሻሻሻሻ夹ሻሻሻሻሻ夹ሻሻ夹．ሻ试卷第6页，总6页