2021年江苏省连云港市中考数学真题解析版
ID:41215 2021-10-12 1 3.00元 29页 554.50 KB
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.﹣3的相反数是(  )A.3B.C.﹣3D.﹣2.下列运算正确的是(  )A.3a+2b=5abB.5a2﹣2b2=3C.7a+a=7a2D.(x﹣1)2=x2+1﹣2x3.2021年5月18日上午,江苏省人民政府召开新闻发布会,公布了全省最新人口数据(  )A.0.46×107B.4.6×107C.4.6×106D.46×1054.正五边形的内角和是(  )A.360°B.540°C.720°D.900°5.如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在点D1、C1的位置,ED1的延长线交BC于点G,若∠EFG=64°,则∠EGB等于(  )A.128°B.130°C.132°D.136°6.关于某个函数表达式,甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.甲:函数图象经过点(﹣1,1);乙:函数图象经过第四象限;丙:当x>0时,y随x的增大而增大.则这个函数表达式可能是(  )A.y=﹣xB.y=C.y=x2D.y=﹣,7.如图,△ABC中,BD⊥AB,AD=AC,∠ABC=150°,则△DBC的面积是(  )A.B.C.D.8.如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动,MN=1,则△AMN周长的最小值是(  )A.3B.4C.5D.6二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.一组数据2,1,3,1,2,4的中位数是  .10.计算:=  .11.分解因式:9x2+6x+1=  .12.若关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,则k=  .13.如图,OA、OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,∠OBC=40°,则∠OAC=  °.14.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,AC=8,BD=6  .,15.某快餐店销售A、B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是  元.16.如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,则=  .三、解答题(本大题共11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算:+|﹣6|﹣22.18.(6分)解不等式组:.19.(6分)解方程:﹣=1.20.(8分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况,在端午节前对某小区居民进行抽样调查(每人只选一种粽子),并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图.,根据以上信息,解答下列问题:(1)补全条形统计图;(2)扇形统计图中,D种粽子所在扇形的圆心角是  °;(3)这个小区有2500人,请你估计爱吃B种粽子的人数为  .21.(10分)为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛.(1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是  ;(2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.22.(10分)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.23.(10分)为了做好防疫工作,学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.(1)这两种消毒液的单价各是多少元?(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,请设计出最省钱的购买方案,24.(10分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB为半径作⊙C,D为⊙C上一点,AB=AD,AC平分∠BAD.(1)求证:AD是⊙C的切线;(2)延长AD、BC相交于点E,若S△EDC=2S△ABC,求tan∠BAC的值.25.(10分)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼,将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,即DH=1.2m.(1)如图1,在无鱼上钩时,海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°,鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°.求点O到岸边DH的距离;(2)如图2,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°,鱼线BO=5.46m,点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37°=sin53°≈,tan37°≈,sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)26.(12分)如图,抛物线y=mx2+(m2+3)x﹣(6m+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C(3,0).,(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式;(2)P为抛物线上一点,若S△PBC=S△ABC,请直接写出点P的坐标;(3)Q为抛物线上一点,若∠ACQ=45°,求点Q的坐标.27.(14分)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.(1)△ABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点,且AE=1,如图1.求CF的长;(2)△ABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一个动点,小亮以BE为边作等边三角形BEF,求点F所经过的路径长;(3)△ABC是边长为3的等边三角形,M是高CD上的一个动点,小亮以BM为边作等边三角形BMN,求点N所经过的路径长;(4)正方形ABCD的边长为3,E是边CB上的一个动点,在点E从点C到点B的运动过程中,其中点F、G都在直线AE上,如图4.当点E到达点B时  ,点G所经过的路径长为  .,2021年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.﹣3的相反数是(  )A.3B.C.﹣3D.﹣【分析】根据相反数的概念解答即可.【解答】解:∵互为相反数相加等于0,∴﹣3的相反数是2.故选:A.2.下列运算正确的是(  )A.3a+2b=5abB.5a2﹣2b2=3C.7a+a=7a2D.(x﹣1)2=x2+1﹣2x【分析】由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可.【解答】解:A.3a和2b不是同类项,不能合并,故选项A不符合题意;B.8a2和2b6不是同类项,不能合并,故选项B不符合题意;C.7a+a=8a,C错误;D.(x﹣2)2=x2﹣5x+1,D正确.故选:D.3.2021年5月18日上午,江苏省人民政府召开新闻发布会,公布了全省最新人口数据(  )A.0.46×107B.4.6×107C.4.6×106D.46×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.当原数绝对值≥10时,n是正数.【解答】解:4600000=4.6×104.故选:C.4.正五边形的内角和是(  )A.360°B.540°C.720°D.900°【分析】根据多边形内角和为(n﹣2)×180°,然后将n=5代入计算即可.,【解答】解:正五边形的内角和是:(5﹣2)×180°=6×180°=540°,故选:B.5.如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在点D1、C1的位置,ED1的延长线交BC于点G,若∠EFG=64°,则∠EGB等于(  )A.128°B.130°C.132°D.136°【分析】在矩形ABCD中,AD∥BC,则∠DEF=∠EFG=64°,∠EGB=∠DEG,又由折叠可知,∠GEF=∠DEF,可求出∠DEG的度数,进而得到∠EGB的度数.【解答】解:如图,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DEF=∠EFG=64°,∠EGB=∠DEG,由折叠可知∠GEF=∠DEF=64°,∴∠DEG=128°,∴∠EGB=∠DEG=128°,故选:A.6.关于某个函数表达式,甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.甲:函数图象经过点(﹣1,1);乙:函数图象经过第四象限;丙:当x>0时,y随x的增大而增大.则这个函数表达式可能是(  )A.y=﹣xB.y=C.y=x2D.y=﹣【分析】结合给出的函数的特征,在四个选项中依次判断即可.【解答】解:把点(﹣1,1)分别代入四个选项中的函数表达式,选项B不符合题意;又函数过第四象限,而y=x7只经过第一、二象限;对于函数y=﹣x,当x>0时,与丙给出的特征不符合.,故选:D.7.如图,△ABC中,BD⊥AB,AD=AC,∠ABC=150°,则△DBC的面积是(  )A.B.C.D.【分析】过点C作BD的垂线,交BD的延长线于点E,可得△ABD∽△CED,可得==,由AD=AC,AB=2,可求出CE的长,又∠ABC=150°,∠ABD=90°,则∠CBD=60°,解直角△BCE,可分别求出BE和BD的长,进而可求出△BCD的面积.【解答】解:如图,过点C作BD的垂线,则∠E=90°,∵BD⊥AB,CE⊥BD,∴AB∥CE,∠ABD=90°,∴△ABD∽△CED,∴==,∵AD=AC,∴=,∴===,则CE=,∵∠ABC=150°,∠ABD=90°,∴∠CBE=60°,∴BE=CE=,∴BD=BE=,,∴S△BCD=•BD•CE=×=.故选:A.8.如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动,MN=1,则△AMN周长的最小值是(  )A.3B.4C.5D.6【分析】由正方形的性质,知点C是点A关于BD的对称点,过点C作CA′∥BD,且使CA′=1,连接AA′交BD于点N,取NM=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点,进而求解.【解答】解:⊙O的面积为2π,则圆的半径为=AC,由正方形的性质,知点C是点A关于BD的对称点,过点C作CA′∥BD,且使CA′=1,连接AA′交BD于点N,取NM=1、CM、N为所求点,理由:∵A′C∥MN,且A′C=MN,则A′N=CM=AM,故△AMN的周长=AM+AN+MN=AA′+6为最小,则A′A==2,,则△AMN的周长的最小值为3+1=8,故选:B.二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.一组数据2,1,3,1,2,4的中位数是 2 .【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.【解答】解:将这组数据从小到大的顺序排列:1,1,8,2,3,7,处于中间位置的两个数是2,2,这组数据的中位数是(7+2)÷2=8.故答案为:2.10.计算:= 5 .【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可.【解答】解:原式==5.故答案为:5.11.分解因式:9x2+6x+1= (3x+1)2 .【分析】原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解:原式=(3x+1)8,故答案为:(3x+1)612.若关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根,则k=  .【分析】根据根的判别式△=0,即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出k值.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣3x+k=8有两个相等的实数根,∴△=(﹣3)2﹣2×1×k=0,解得:k=.故答案为:.13.如图,OA、OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,∠OBC=40°,则∠OAC= 25 °.,【分析】连接OC,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=80°,求出∠AOC,根据等腰三角形的性质计算.【解答】解:连接OC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=180°﹣40°×2=100°,∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°,∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA=×(180°﹣∠AOB)=,故答案为:25.14.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,AC=8,BD=6  .【分析】根据菱形的性质和勾股定理,可以求得AD的长,然后根据等面积法即可求得OE,的长.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,∵AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD===5,又∵OE⊥AD,∴,∴,解得OE=,故答案为:.15.某快餐店销售A、B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 1264 元.【分析】设每份A种快餐降价a元,则每天卖出(40+2a)份,每份B种快餐提高b元,则每天卖出(80﹣2b)份,由于这两种快餐每天销售总份数不变,可得出等式,求得a=b,用a表达出W,结合二次函数的性质得到结论.【解答】解:设每份A种快餐降价a元,则每天卖出(40+2a)份,则每天卖出(80﹣2b)份,由题意可得,40+5a+80﹣2b=40+80,解a=b,∴总利润W=(12﹣a)(40+2a)+(7+a)(80﹣2a)=﹣4a2+48a+1120=﹣4(a﹣6)6+1264,∵﹣4<0,∴当a=2时,W取得最大值1264,即两种快餐一天的总利润最多为1264元.,故答案为:1264.16.如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,则=  .【分析】过点E作EG∥DC交AD于G,可得△AGE∽△ADC,所以,得到DC=2GE;再根据△GFE∽△DFB,得==,所以,即=.【解答】解:如图,∵BE是△ABC的中线,∴点E是AC的中点,∴=,过点E作EG∥DC交AD于G,∴∠AGE=∠ADC,∠AEC=∠C,∴△AGE∽△ADC,∴,∴DC=2GE,∵BF=7FE,∴,∵GE∥BD,∴∠GEF=∠FBD,∠EGF=∠BDF,∴△GFE∽△DFB,∴==,∴,∴=,故答案为:.,三、解答题(本大题共11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算:+|﹣6|﹣22.【分析】根据立方根的定义,绝对值的代数意义,有理数的乘方计算即可.【解答】解:原式=2+6﹣5=4.18.(6分)解不等式组:.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解:解不等式3x﹣1≥x+8,得:x≥1,解不等式x+4<6x﹣2,得:x>2,∴不等式组的解集为x>5.19.(6分)解方程:﹣=1.【分析】观察可得方程最简公分母为:(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.【解答】解:方程两边同乘(x+1)(x﹣1),得(x+5)2﹣4=(x+8)(x﹣1),整理得2x﹣2=0,解得x=1.检验:当x=8时,(x+1)(x﹣1)=8,所以x=1是增根,应舍去.∴原方程无解.20.(8分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、,B、C、D四种粽子的喜爱情况,在端午节前对某小区居民进行抽样调查(每人只选一种粽子),并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)补全条形统计图;(2)扇形统计图中,D种粽子所在扇形的圆心角是 108 °;(3)这个小区有2500人,请你估计爱吃B种粽子的人数为 500 .【分析】(1)先计算出抽样调查的总人数,用总人数减去喜欢A,C,D种粽子的人数积的可到喜欢B种粽子的人数;(2)先求出D种粽子所占的百分比,然后360°×百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角;(3)根据样本估计总体即可.【解答】解:(1)抽样调查的总人数:240÷40%=600(人),喜欢B种粽子的人数为:600﹣240﹣60﹣180=120(人),补全条形统计图,如图所示;(2)×100%=30%,360°×30%=108°,故答案为:108;(3)1﹣40%﹣10%﹣30%=20%,2500×20%=500(人),故答案为:500.,21.(10分)为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛.(1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是  ;(2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.【分析】(1)由一共有3种等可能性的结果,其中恰好选中乙同学的有1种,即可求得答案;(2)先求出全部情况的总数,再求出符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)∵已确定甲参加比赛,再从其余3名同学中随机选取1名有8种结果,∴恰好选中乙的概率为:.故答案为:.(2)画树状图如下图:共有12种等可能的结果数,其中恰好有1名女生和6名男生的结果数为8,∴P(1女5男)==.∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是.22.(10分)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.,(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD∥BC,且AD=BC,根据点C是BE的中点,得到BC=CE,等量代换得AD=CE,又因为AD∥CE,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证;(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.【解答】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形;(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,∵AB=AE,∴DC=AE,∵四边形ACED是平行四边形,∴四边形ACED是矩形.23.(10分)为了做好防疫工作,学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.(1)这两种消毒液的单价各是多少元?(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶,且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,请设计出最省钱的购买方案,【分析】(1)根据2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元,5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元,可以列出相应的二元一次方程组,然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元;(2)根据题意,可以写出费用和购买A型消毒液数量的函数关系,然后根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,可以得到A型消毒液数量的取值范围,再根据一次函数的性质,即可求得最省钱的购买方案,计算出最少费用.【解答】解:(1)设A型消毒液的单价是x元,B型消毒液的单价是y元,,解得,答:A型消毒液的单价是7元,B型消毒液的单价是9元;(2)设购进A型消毒液a瓶,则购进B型消毒液(90﹣a)瓶,依题意可得:w=4a+9(90﹣a)=﹣2a+810,∴w随a的增大而减小,∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的,∴90﹣a≥a,解得a≤67,∴当x=67时,w取得最小值,90﹣a=23,答:最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶,购进B型消毒液23瓶.24.(10分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB为半径作⊙C,D为⊙C上一点,AB=AD,AC平分∠BAD.(1)求证:AD是⊙C的切线;(2)延长AD、BC相交于点E,若S△EDC=2S△ABC,求tan∠BAC的值.,【分析】(1)根据SAS证明△BAC≌△DAC,所以∠ADC=∠ABC=90°,进而CD⊥AD,所以AD是⊙C的切线;(2)易证△EDC∽△EBA,因为S△EDC=2S△ABC,且△BAC≌△DAC,所以S△EDC:S△EBA=1:2,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得:DC:BA=1:,根据正切的定义即可求出tan∠BAC的值.【解答】解:(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.又∵'AB=AD,AC=AC,∴△BAC≌△DAC(SAS),∴∠ADC=∠ABC=90°,∴CD⊥AD,即AD是⊙C的切线;(2)由(1)可知,∠EDC=∠ABC=90°,又∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA.∵S△EDC=2S△ABC,且△BAC≌△DAC,∴S△EDC:S△EBA=1:3,∴DC:BA=1:.∵DC=CB,∴CB:BA=3:...tan∠BAC==.,25.(10分)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼,将鱼竿AB摆成如图1所示.已知AB=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,即DH=1.2m.(1)如图1,在无鱼上钩时,海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°,鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°.求点O到岸边DH的距离;(2)如图2,在有鱼上钩时,鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°,鱼线BO=5.46m,点O恰好位于海面.求点O到岸边DH的距离.(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37°=sin53°≈,tan37°≈,sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)【分析】(1)过点B作BF⊥CH,垂足为F,延长AD交BF于E,先根据三角函数的定义求出AE,继而得出DE,再根据三角函数的定义求出BE,继而得出BF,根据三角函数的定义得出CF,从而得出CH的长度;(2)过点B作BN⊥OH,垂足为N,延长AD交BN于点M,垂足为M,先根据三角函数的定义求出AM,继而得出DM,再根据三角函数的定义求出BM,继而得出BN,利用勾股定理求出ON,从而得出OH的长.【解答】解:(1)过点B作BF⊥CH,垂足为F,则AE⊥BF,由cos∠BAE=,∴cos22°=,∴,即AE=4.2m,∴DE=AE﹣AD=4.5﹣8.4=4.8(m),由sin∠BAE=,,∴,∴,即BE=1.8m,∴BF=BE+EF=5.8+1.8=3(m),又,∴,即CF=3m,∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.3=8.1(m),即C到岸边的距离为8.1m;(2)过点B作BN⊥OH,垂足为N,垂足为M,由cos∠BAM=,∴,∴,即AM=2.88m,∴DM=AM﹣AD=6.88﹣0.4=7.48(m),由sin∠BAM=,∴,∴,即BM=3.84m,∴BN=BM+MN=3.84+2.2=5.04(m),∴=(m),∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58,即点O到岸边的距离为4.58m.26.(12分)如图,抛物线y=mx2+(m2+3)x﹣(6m+9)与x轴交于点A、B,与y,轴交于点C(3,0).(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式;(2)P为抛物线上一点,若S△PBC=S△ABC,请直接写出点P的坐标;(3)Q为抛物线上一点,若∠ACQ=45°,求点Q的坐标.【分析】(1)把点B坐标直接代入抛物线的表达式,可求m的值,进而求出抛物线的表达式,可求出点C的坐标,设直线BC的表达式,把点B和点C的坐标代入函数表达式即可;(2)过点A作直线BC的平行线AP1,联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标;设出直线AP1与y轴的交点为G,将直线BC向下平移,平移的距离为GC的长度,可得到直线P3P4,联立直线表达式与抛物线表达式,可求出点P的坐标;(3)取点Q使∠ACQ=45°,作直线CQ,过点A作AD⊥CQ于点D,过点D作DF⊥x轴于点F,过点C作CE⊥DF于点E,可得△CDE≌△DAF,求出点D的坐标,联立求出点Q的坐标.【解答】解:(1)将B(3,0)代入y=mx6+(m2+3)x﹣(6m+9),化简得,m2+m=7,则m=0(舍)或m=﹣1,∴m=﹣3,∴y=﹣x2+4x﹣8.∴C(0,﹣3),设直线BC的函数表达式为y=kx+b,将代入B(6,0),﹣3),,解得,,∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3.(2)如图,过点A作AP3∥BC,设直线AP1交y轴于点G,将直线BC向下平移GC,个单位3P3.由(1)得直线BC的表达式为y=x﹣3,A(1∴直线AG的表达式为y=x﹣6,联立,解得,或,∴P8(2,1),由直线AG的表达式可得G(﹣3,0),∴GC=2,CH=2,∴直线P3P4的表达式为:y=x﹣5,联立,解得,,或,,∴P2(,),P6(,),;综上可得,符合题意的点P的坐标为:(2,(,),(,);(3)如图,取点Q使∠ACQ=45°,过点A作AD⊥CQ于点D,过点C作CE⊥DF,于点E,则△ACD是等腰直角三角形,∴AD=CD,∴△CDE≌△DAF(AAS),∴AF=DE,CE=DF.设DE=AF=a,则CE=DF=a+1,由OC=2,则DF=3﹣a,∴a+1=3﹣a,解得a=1.∴D(2,﹣7),﹣3),∴直线CD对应的表达式为y=x﹣3,设Q(n,n﹣3)2+3x﹣3,∴n﹣3=﹣n2+2n﹣3,整理得n2﹣n=0.又n≠4,则n=.∴Q(,﹣).27.(14分)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.(1)△ABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点,且AE=1,如图1.求CF的长;,(2)△ABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一个动点,小亮以BE为边作等边三角形BEF,求点F所经过的路径长;(3)△ABC是边长为3的等边三角形,M是高CD上的一个动点,小亮以BM为边作等边三角形BMN,求点N所经过的路径长;(4)正方形ABCD的边长为3,E是边CB上的一个动点,在点E从点C到点B的运动过程中,其中点F、G都在直线AE上,如图4.当点E到达点B时 π ,点G所经过的路径长为 π .【分析】(1)由题意可得△ABE≌△CBF,则CF=AE=1;(2)点E在点C处时,CF=AC,点E在A处时,点F与点C重合.则点F运动的路径长=AC=3;(3)类比(2)的思路可知,点M在C处时,HN=CD=,点M在D处时,点N与点H重合.则点N所经过的路径的长=CD=;(4)类比(2)(3)可得,连接AC,BD,相交于点O,取AB的中点M,BC的中点N,连接MF,NH,当点E在B处时,点F,B,H重合,点G和点B重合;当点E在点C处时,点F和点O重合,点G与点C重合.【解答】解:(1)如图,∵△ABC和△BEF是等边三角形,∴BA=BC,BE=BF,∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE,,∴∠ABE=∠CBF,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴CF=AE=1;(2)如图2,连接CF,由(1)△ABE≌△CBF,∴CF=AE,∠BCF=∠BAE=60°,∵∠ABC=60°,∴∠BCF=∠ABC,∴CF∥AB,又点E在点C处时,CF=AC,点E在A处时,点F与点C重合.∴点F运动的路径长=AC=2.(3)如图3,取BC的中点H,∴BH=BC,∴BH=AB,∵CD⊥AB,∴BD=AB,∴BH=BD,∵△ABC和△BMN是等边三角形,,∴BM=BN,∠ABC=∠MBN=60°,∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH,∴∠DBM=∠HBN,∴△DBM≌△HBN(SAS),∴HN=DM,∠BHN=∠BDM=90°,∴NH⊥BC,又点M在C处时,HN=CD=,点M在D处时,点N与点H重合.∴点N所经过的路径的长=CD=;(4)如图,连接AC,相交于点O,BC的中点N,NH,∴MF=BM=BN=AB,点F的运动轨迹为以点M为圆心,BM长为半径的圆上;∵∠ABC=∠FBH=90°,∴∠ABC﹣∠FBC=∠FBH﹣∠FBC,即∠ABF=∠CBH,∴△MBF≌△NBH(SAS),∴NH=MF=BM=BN,∴点H在以点N为圆心,BN长为半径的圆上;∴当点E在B处时,点F,B,点G和点B重合;当点E在点C处时,点F和点O重合;∴点G在以点O为圆心,OB长为半径的圆上;∴点H所经过的路径长==π;点G所经过的路径长==.,故答案为:,.
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