2021年四川省自贡市中考数学试卷
ID:30393 2021-09-19 1 3.00元 19页 289.54 KB
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省自贡市中考数学一、选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(4分)自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次,人数88700用科学记数法表示为(  )A.0.887×105B.8.87×103C.8.87×104D.88.7×1032.(4分)如图是一个小正方体的展开图,把展开图折叠成小正方体后,有“迎”字一面的相对面上的字是(  )A.百B.党C.年D.喜3.(4分)下列运算正确的是(  )A.5a2﹣4a2=1B.(﹣a2b3)2=a4b6C.a9÷a3=a3D.(a﹣2b)2=a2﹣4b24.(4分)下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是(  )A.B.C.D.5.(4分)如图,AC是正五边形ABCDE的对角线,∠ACD的度数是(  )A.72°B.36°C.74°D.88°6.(4分)学校为了解“阳光体育”活动开展情况,随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间,数据如下表所示:人数(人)9161411时间(小时)78910 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是(  )A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,97.(4分)已知x2﹣3x﹣12=0,则代数式﹣3x2+9x+5的值是(  )A.31B.﹣31C.41D.﹣418.(4分)如图,A(8,0),C(﹣2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为(  )A.(0,5)B.(5,0)C.(6,0)D.(0,6)9.(4分)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.下列说法正确的是(  )A.函数解析式为I=B.蓄电池的电压是18VC.当I≤10A时,R≥3.6ΩD.当R=6Ω时,I=4A10.(4分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是(  ) A.9.6B.4C.5D.1011.(4分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是AD边上的一点,AM:MD=1:2.将△BMA沿BM对折至△BMN,连接DN,则DN的长是(  )A.B.C.3D.12.(4分)如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点,点P是线段AB上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线y=﹣x+3于点Q,△OPQ绕点O顺时针旋转45°,边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是(  )A.πB.πC.πD.π二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)13.(4分)请写出一个满足不等式x+>7的整数解  . 14.(4分)某中学规定学生的学期体育成绩满分为100,其中体育课外活动占30%,期末考试成绩占70%,小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是  .15.(4分)化简:﹣=  .16.(4分)如图,某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码是  .17.(4分)如图,△ABC的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直尺,作出△ABC的角平分线BD(不写作法,保留作图痕迹).18.(4分)当自变量﹣1≤x≤3时,函数y=|x﹣k|(k为常数)的最小值为k+3,则满足条件的k的值为  .三、解答题(共8个题,共78分)19.(8分)计算:﹣|﹣7|+(2﹣)0.20.(8分)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:DE=BF.21.(8分)在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1,参考数据tan37°≈0.75,tan53°≈1.33,≈1.73) 22.(8分)随着我国科技事业的不断发展,国产无人机大量进入快递行业.现有A,B两种型号的无人机都被用来运送快件,A型机比B型机平均每小时多运送20件,A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等,两种无人机平均每小时分别运送多少快件?23.(10分)为了弘扬爱国主义精神,某校组织了“共和国成就”知识竞赛,将成绩分为:A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩,绘制了如图统计图.(1)本次抽样调查的样本容量是  ,请补全条形统计图;(2)已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格,小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学,请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率;(3)该校共有2000名学生,请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.24.(10分)函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图象,然后观察分析图象特征,概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验,画出函数y=﹣的图象,并探究其性质.列表如下:x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a0b﹣2﹣﹣…(1)直接写出表中a、b的值,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;(2)观察函数y=﹣的图象,判断下列关于该函数性质的命题:①当﹣2≤x≤2时,函数图象关于直线y=x对称;②x=2时,函数有最小值,最小值为﹣2;③﹣1<x<1时,函数y的值随x的增大而减小. 其中正确的是  .(请写出所有正确命题的番号)(3)结合图象,请直接写出不等式>x的解集  .25.(12分)如图,点D在以AB为直径的⊙O上,过D作⊙O的切线交AB延长线于点C,AE⊥CD于点E,交⊙O于点F,连接AD,FD.(1)求证:∠DAE=∠DAC;(2)求证:DF•AC=AD•DC;(3)若sin∠C=,AD=4,求EF的长.26.(14分)如图,抛物线y=(x+1)(x﹣a)(其中a>1)与x轴交于A、B两点,交y轴于点C.(1)直接写出∠OCA的度数和线段AB的长(用a表示);(2)若点D为△ABC的外心,且△BCD与△ACO的周长之比为:4,求此抛物线的解析式;(3)在(2)的前提下,试探究抛物线y=(x+1)(x﹣a)上是否存在一点P,使得∠CAP=∠DBA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2021年四川省自贡市中考数学试卷试题解析一、选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【解答】解:88700=8.87×104.故选:C.2.【解答】解:这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“迎”与“党”相对,面“建”与面“百”相对,“喜”与面“年”相对.故选:B.3.【解答】解:A、5a2﹣4a2=a2,故A错误;B、(﹣a2b3)2=(﹣1)2(a2)2(b3)2=a4b6,故B正确;C、=a9﹣3=a6,故C错误;D、由完全平方公式可得:(a﹣2b)2=a2﹣4ab+4b2,故D错误;故选:B.4.【解答】解:A.是轴对称图形,共有1条对称轴;B.不是轴对称图形,没有对称轴;C.不是轴对称图形,没有对称轴;D.是轴对称图形,共有2条对称轴.故选:D.5.【解答】解:∵正五边形ABCDE,∴每个内角为180°﹣360°÷5=108°,∵AB=BC,∴∠BCA=∠BAC=36°,∴∠ACD=∠BCD﹣∠BCA=108°﹣36°=72°,故选:A.6.【解答】解:由于一共有50个数据,其中8小时的人数最多,有14人,所以这组数据的众数为8小时,这50个数据的第25、26个数据分别为8、9, 所以这组数据的中位数为=8.5(小时),故选:C.7.【解答】解:∵x2﹣3x﹣12=0,∴x2﹣3x=12.原式=﹣3(x2﹣3x)+5=﹣3×12+5=﹣36+5=﹣31.故选:B.8.【解答】解:根据已知可得:AB=AC=10,OA=8.在Rt△ABO中,=6.∴B(0,6).故选:D.9.【解答】解:设I=,∵图象过(4,9),∴k=36,∴I=,∴A,B均错误;当I=10时,R=3.6,由图象知:当I≤10A时,R≥3.6Ω,∴C正确,符合题意;当R=6时,I=6,∴D错误,故选:C.10.【解答】解:∵OE⊥AC于点E.∴AE=EC.∵OE=3,OB=5.∴AE=.∴AC=8.∵∠A=∠A,∠AEO=∠AFC. ∴△AEO∽△AFC.∴,即:.∴.∵CD⊥AB.∴CD=2CF==9.6.故选:A.11.【解答】解:连接AN交BM于点O,作NH⊥AD于点H.如图:∵AB=6,AM:MD=1:2.∴AM=2,MD=4.∵四边形ABCD是正方形.∴BM=.根据折叠性质,AO⊥BM,AO=ON.AM=MN=2.∴.∴=.∴AN=.∵NH⊥AD.∴AN2﹣AH2=MN2﹣MH2.∴.∴.∴. ∴.∴DN=.故选:D.12.【解答】解:设P(m,﹣2m+2),则Q(m,﹣m+3).∴OP2=m2+(﹣2m+2)2=5m2﹣8m+4,OQ2=m2+(﹣m+3)2=2m2﹣6m+9.∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°.∴△OPQ≌△OBC.∠QOC=∠POB=45°.∴PQ扫过区域(阴影部分)面积S=S扇OQC﹣S扇OPB===.当m=时,S的最大值为:.故选:A.二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)13.【解答】解:∵x+>7,∴x>7﹣,∵1<<2,∴﹣2<﹣<﹣1,∴7﹣2<7﹣<﹣1+7∴5<7﹣<6,故满足不等式x+>7的整数解可以为:6(答案不唯一). 故答案为:6(答案不唯一).14.【解答】解:小彤这学期的体育成绩是90×30%+80×70%=83,故答案为:83.15.【解答】解:=====.故答案为:.16.【解答】解:由三个等式,得到规律:5*3⊕6=301848可知:5×63×66×(5+3),2*6⊕7=144256可知:2×76×77×(2+6),9*2⊕5=451055可知:9×52×55×(9+2),∴4*8⊕6=4×68×66×(4+8)=244872.故答案为:244872.17.【解答】解:如图,射线BD即为所求作.18.【解答】解:当x≥k时,函数y=|x﹣k|=x﹣k,此时y随x的增大而增大,而﹣1≤x≤3时,函数的最小值为k+3,∴x=﹣1时取得最小值,即有﹣1﹣k=k+3,解得k=﹣2,(此时﹣1≤x≤3,x≥k成立),当x<k时,函数y=|x﹣k|=﹣x+k,此时y随x的增大而减小, 而﹣1≤x≤3时,函数的最小值为k+3,∴x=3时取得最小值,即有﹣3+k=k+3,此时无解,故答案为:﹣2.三、解答题(共8个题,共78分)19.【解答】解:原式=5﹣7+1=﹣1.20.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,又E、F分别是边AB、CD的中点,∴DF=BE,又AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.21.【解答】解:由题意可知AB=24米,∠BDA=53°,∴tan∠BDA===1.33,∴AD=≈18.05.∵tan∠CAD=tan30°===,∴CD=18.05×≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.22.【解答】解:设A型机平均每小时运送快递x件,则B型机平均每小时运送快递(x﹣20)件,根据题意得:,解得:x=70,经检验,x=70是原分式方程的根,且符合题意,∴70﹣20=50,答:A型机平均每小时运送快递70件,B型机平均每小时运送快递50件.23.【解答】解:(1)∵由条形统计图可得C等级的人数为25人,由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%,∴样本容量为25%,25÷25%=100.补全条形统计图如下: 故答案为:100.(2)D等级的学生有:100×5%=5(人).由题意画出树状图如下:由树状图可得,恰好回访到一男一女的概率为=.(3)∵样本中A(优秀)的占比为35%,∴可以估计该校2000名学生中的A(优秀)的占比为35%.∴估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为:2000×35%=700(人).24.【解答】解:(1)把x=﹣2代入y=﹣得,y=﹣=2,把x=1代入y=﹣得,y=﹣=﹣,∴a=2,b=﹣,函数y=﹣的图象如图所示: (2)观察函数y=﹣的图象,①当﹣2≤x≤2时,函数图象关于直线y=x对称;正确;②x=2时,函数有最小值,最小值为﹣2;正确;③﹣1<x<1时,函数y的值随x的增大而减小,正确.故答案为①②③;(3)由图象可知,不等式>x的解集为x<0.25.【解答】(1)证明:如图,连接OD.∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥EC,∵AE⊥CE,∴AE∥OD,∴∠EAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DAE=∠DAC.(2)证明:如图,连接BF.∵BF是直径,∴∠AFB=90°,∵AE⊥EC, ∴∠AFB=∠E=90°,∴BF∥EC,∴∠ABF=∠C,∵∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠C,∵∠DAF=∠DAC,∴△DAF∽△CAD,∴=,∴DF•AC=AD•DC.(3)解:过点D作DH⊥AC于H.∵CD是⊙O的切线,∴∠ODC=90°,∵sin∠C==,∴可以假设OD=k,OC=4k,则OA=OD=k,CD=k,∵•OD•DC=•OC•DH,∴DH=k,∴OH==k,∴AH=OA+OH=k,∵AD2=AH2+DH2,∴(4)2=(k)2+(k)2∴k=8或﹣8(舍弃),∴DH=2,AC=5k=40,DC=8,∵DF•AC=AD•DC,∴DF=4,∵∠ADE=∠DAC+∠C=∠ADF+∠EDF,∠ADF=∠C, ∴∠EDF=∠DAC,∴sin∠EDF=sin∠DAH,∴=,∴=,∴EF=6.26.【解答】解:(1)定义抛物线y=(x+1)(x﹣a),令y=0,可得x=﹣1或a,∴B(﹣1,0),A(a,0),令x=0,得到y=﹣a,∴C(0,﹣a),∴OA=OC=a,OB=1,∴AB=1+a.∵∠AOC=90°,∴∠OCA=45°.(2)∵△AOC是等腰直角三角形,∴∠OAC=45°,∵点D是△ABC的外心,∴∠BDC=2∠CAB=90°,DB=DC,∴△BDC也是等腰直角三角形,∴△DBC∽△OAC,∴=,∴=, 解得a=2或﹣2(舍弃),∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2)=x2﹣x﹣2.(3)作点C关于抛物线的对称轴x=的对称点C′,连接AC′.∵C(0,﹣2),C′(1,﹣2),∴PC∥AB,∵BC,AC′关于直线x=对称,∴CB=AC,∴四边形ABCP是等腰梯形,∴∠CBA=∠C′AB,∵∠DBC=∠OAC=45°,∴∠ABD=∠CAC′,∴当点P与点C′重合时满足条件,∴P(1,﹣2).作点P关于直线AC的对称点E(0,﹣1),则∠EAC=∠PAC=∠ABD,作直线AE交抛物线于P′,点P′满足条件,∵A(2,0),E(0,﹣1),∴直线AE的解析式为y=x﹣1,由,解得或, ∴P′(﹣,﹣),综上所述,满足条件的点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣,﹣).
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