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已知三角形的两个角度分别为$40^circ$和$80^circ$，以及这两个角的对边分别为$a$和$b$，求第三边$c$的长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si 80^circ} = frac{b}{si 40^circ}$，化简得$a=frac{bsi 80^circ}{si 40^circ}$。同理，有$frac{c}{si 60^circ}=frac{a}{si 40^circ}$，化简得$c=frac{asi 60^circ}{si 40^circ}$。将已知量代入得$c=frac{bsi 80^circ}{si 40^circ}imesfrac{si 60^circ}{si 40^circ}approx 2.6b$。
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已知三角形的三条边分别为$a=3$，$b=5$，$c=6$，求角度$agle A$。
。根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2abcos C$，化简得$cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。代入已知量得$cos C = frac{7}{15}$，因此$si C = sqr{1-cos^2 C}=frac{4}{15}$。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$si A = frac{asi C}{c}=frac{3}{5}$。因此$agle A = si^{-1} frac{3}{5} approx 36.87^circ$。
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已知一个直角三角形，其中一条直角边长为$4$，另一条直角边长为$5$，求斜边长。
。根据勾股定理，有$c^2=a^2+b^2$，代入已知量得$c=sqr{4^2+5^2}=sqr{41}$。
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已知一个等腰三角形，两个等边分别为$a=5$，底角度数为$60^circ$，求底边长。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}$，因为等腰三角形的两个底角度数相等，所以$si A = si B$，化简得$b=frac{asi A}{si 60^circ}=5sqr{3}$。
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已知一个等腰三角形，两个等边分别为$6$，底边长为$8$，求顶角度数。
。根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2abcos C$，因为等腰三角形的两个等边长度相等，所以$a=b$，化简得$cos C = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=frac{4}{3}$。因此$si C = sqr{1-cos^2 C}=frac{1}{3}$。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}$，因为等腰三角形的两个底角度数相等，所以$si A = si B$，化简得$si A = frac{asi C}{c}=frac{2}{3}$。因此顶角度数为$agle A=si^{-1} frac{2}{3} approx 41.81^circ$。
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已知一个等边三角形，边长为$3$，求高。
。根据勾股定理，有$h^2=3^2-lef(frac{3}{2}righ)^2=frac{15}{4}$，因此$h=frac{sqr{15}}{2}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$30^circ$，$60^circ$，$90^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=2$，求面积。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=2si 30^circ=frac{1}{2}$，$b=2si 60^circ=sqr{3}$。因此三角形面积为$S=frac{1}{2}ab=frac{sqr{3}}{4}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求高$h_a$。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。三角形面积为$S=frac{1}{2}bh_a$，化简得$h_a=frac{2S}{b}=frac{2S}{csi B}=frac{S}{c}cdofrac{2}{si B}=frac{absi C}{2c}cdofrac{2}{si B}=frac{abcos A}{c}=frac{5cdo acdo cos 70^circ}{5} approx 1.81$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求角度$agle A$的角平分线长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据角平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{a}{c}cdofrac{sifrac{A}{2}}{sifrac{C}{2}}=frac{a}{c}cdofrac{cos 35^circ}{si 70^circ}$，代入已知量得$dapprox 2.23$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求垂心。
。垂心是三角形三条高的交点，因此可以先求出三角形的三条高，然后求交点。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。三角形面积为$S=frac{1}{2}absi C=frac{1}{2}cdo 5cdo acdo si 70^circapprox 1.36$。三角形的三条高分别为$h_a=frac{2S}{a}approx 0.56$，$h_b=frac{2S}{b}approx 1.96$，$h_c=frac{2S}{c}approx 0.54$。三条高的交点即为垂心。
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已知一个直角三角形，一条直角边长为$3$，另一条直角边长为$4$，求内切圆半径。
。内切圆与直角边相切，因此内切圆圆心到直角边的距离等于内切圆半径。设内切圆半径为$r$，则有$frac{r}{3-r}=frac{r}{4-r}$，解得$r=frac{3}{2}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求外接圆半径。
。外接圆半径为$frac{abc}{4S}$，其中$S$为三角形面积。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}$。三角形面积为$S=frac{1}{2}absi C$。因此外接圆半径为$R=frac{abc}{4S}=frac{a}{2si A}=frac{c}{2si C}approx 3.24$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$60^circ$，$60^circ$，$60^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求外心。
。因为等边三角形每个角度数都是$60^circ$，所以这个三角形的外心就是三条中线交点，即重心。重心坐标为$(frac{1}{3}a,frac{1}{3}b,frac{1}{3}c)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求垂直平分线长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据垂直平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{si A}{2si B}$，代入已知量得$d=frac{bsi A}{2si B}=frac{2abcos C}{a+b}=ccdofrac{cos A+cos B}{2}approx 2.01$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求角平分线与垂直平分线交点。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据角平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{a}{c}cdofrac{sifrac{A}{2}}{sifrac{C}{2}}=frac{a}{c}cdofrac{cos 35^circ}{si 70^circ}$。根据垂直平分线定理，有$frac{e}{b}=frac{si A}{2si B}$。将两个式子相加并化简得$e=frac{abcos C}{a+b}=frac{5cdo acdo cos 70^circ}{5-a}approx 2.2$。因此角平分线与垂直平分线交点的坐标为$(0,e)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求旁切圆半径。
。旁切圆是三角形外接圆与一条角平分线所在直线的交点为圆心的圆，因此可以先求出角平分线长度，然后求出角平分线所在直线的方程，最后求交点坐标即可。已经在第9题中求出了角平分线长度$dapprox 2.23$。角平分线所在直线的斜率为$a 35^circ$，因此方程为$y=a 35^circ(x-frac{b}{2})+h_b$，其中$h_b$为$b$边所在高的长度。根据正弦定理，有$frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$h_b=frac{2S}{b}=frac{absi C}{2b}=frac{acdo ccdocos B}{2b}=ccdofrac{cos B}{2}approx 1.14$。代入方程得$y=a 35^circ(x-frac{b}{2})+h_bapprox 0.89x+1.49$。三角形外接圆半径为$R=frac{abc}{4S}=frac{a}{2si A}=frac{c}{2si C}approx 3.24$。因此旁切圆半径为$r=Rcos 35^circapprox 2.65$。旁切圆圆心坐标为$(frac{c}{2}+r,frac{a}{2})approx (6.88,0.41)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求内心。
。内心是三角形三条角平分线的交点，因此可以先求出三角形的三条角平分线，然后求交点。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{"。
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已知三角形的两个角度分别为$40^circ$和$80^circ$，以及这两个角的对边分别为$a$和$b$，求第三边$c$的长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si 80^circ} = frac{b}{si 40^circ}$，化简得$a=frac{bsi 80^circ}{si 40^circ}$。同理，有$frac{c}{si 60^circ}=frac{a}{si 40^circ}$，化简得$c=frac{asi 60^circ}{si 40^circ}$。将已知量代入得$c=frac{bsi 80^circ}{si 40^circ}imesfrac{si 60^circ}{si 40^circ}approx 2.6b$。
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已知三角形的三条边分别为$a=3$，$b=5$，$c=6$，求角度$agle A$。
。根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2abcos C$，化简得$cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。代入已知量得$cos C = frac{7}{15}$，因此$si C = sqr{1-cos^2 C}=frac{4}{15}$。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$si A = frac{asi C}{c}=frac{3}{5}$。因此$agle A = si^{-1} frac{3}{5} approx 36.87^circ$。
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已知一个直角三角形，其中一条直角边长为$4$，另一条直角边长为$5$，求斜边长。
。根据勾股定理，有$c^2=a^2+b^2$，代入已知量得$c=sqr{4^2+5^2}=sqr{41}$。
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已知一个等腰三角形，两个等边分别为$a=5$，底角度数为$60^circ$，求底边长。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}$，因为等腰三角形的两个底角度数相等，所以$si A = si B$，化简得$b=frac{asi A}{si 60^circ}=5sqr{3}$。
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已知一个等腰三角形，两个等边分别为$6$，底边长为$8$，求顶角度数。
。根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2abcos C$，因为等腰三角形的两个等边长度相等，所以$a=b$，化简得$cos C = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=frac{4}{3}$。因此$si C = sqr{1-cos^2 C}=frac{1}{3}$。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}$，因为等腰三角形的两个底角度数相等，所以$si A = si B$，化简得$si A = frac{asi C}{c}=frac{2}{3}$。因此顶角度数为$agle A=si^{-1} frac{2}{3} approx 41.81^circ$。
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已知一个等边三角形，边长为$3$，求高。
。根据勾股定理，有$h^2=3^2-lef(frac{3}{2}righ)^2=frac{15}{4}$，因此$h=frac{sqr{15}}{2}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$30^circ$，$60^circ$，$90^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=2$，求面积。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=2si 30^circ=frac{1}{2}$，$b=2si 60^circ=sqr{3}$。因此三角形面积为$S=frac{1}{2}ab=frac{sqr{3}}{4}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求高$h_a$。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。三角形面积为$S=frac{1}{2}bh_a$，化简得$h_a=frac{2S}{b}=frac{2S}{csi B}=frac{S}{c}cdofrac{2}{si B}=frac{absi C}{2c}cdofrac{2}{si B}=frac{abcos A}{c}=frac{5cdo acdo cos 70^circ}{5} approx 1.81$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求角度$agle A$的角平分线长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据角平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{a}{c}cdofrac{sifrac{A}{2}}{sifrac{C}{2}}=frac{a}{c}cdofrac{cos 35^circ}{si 70^circ}$，代入已知量得$dapprox 2.23$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求垂心。
。垂心是三角形三条高的交点，因此可以先求出三角形的三条高，然后求交点。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。三角形面积为$S=frac{1}{2}absi C=frac{1}{2}cdo 5cdo acdo si 70^circapprox 1.36$。三角形的三条高分别为$h_a=frac{2S}{a}approx 0.56$，$h_b=frac{2S}{b}approx 1.96$，$h_c=frac{2S}{c}approx 0.54$。三条高的交点即为垂心。
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已知一个直角三角形，一条直角边长为$3$，另一条直角边长为$4$，求内切圆半径。
。内切圆与直角边相切，因此内切圆圆心到直角边的距离等于内切圆半径。设内切圆半径为$r$，则有$frac{r}{3-r}=frac{r}{4-r}$，解得$r=frac{3}{2}$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求外接圆半径。
。外接圆半径为$frac{abc}{4S}$，其中$S$为三角形面积。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}$。三角形面积为$S=frac{1}{2}absi C$。因此外接圆半径为$R=frac{abc}{4S}=frac{a}{2si A}=frac{c}{2si C}approx 3.24$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$60^circ$，$60^circ$，$60^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求外心。
。因为等边三角形每个角度数都是$60^circ$，所以这个三角形的外心就是三条中线交点，即重心。重心坐标为$(frac{1}{3}a,frac{1}{3}b,frac{1}{3}c)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求垂直平分线长度。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据垂直平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{si A}{2si B}$，代入已知量得$d=frac{bsi A}{2si B}=frac{2abcos C}{a+b}=ccdofrac{cos A+cos B}{2}approx 2.01$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$c=5$，求角平分线与垂直平分线交点。
。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$a=frac{csi A}{si C}=5si 40^circ$。根据角平分线定理，有$frac{d}{b}=frac{a}{c}cdofrac{sifrac{A}{2}}{sifrac{C}{2}}=frac{a}{c}cdofrac{cos 35^circ}{si 70^circ}$。根据垂直平分线定理，有$frac{e}{b}=frac{si A}{2si B}$。将两个式子相加并化简得$e=frac{abcos C}{a+b}=frac{5cdo acdo cos 70^circ}{5-a}approx 2.2$。因此角平分线与垂直平分线交点的坐标为$(0,e)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求旁切圆半径。
。旁切圆是三角形外接圆与一条角平分线所在直线的交点为圆心的圆，因此可以先求出角平分线长度，然后求出角平分线所在直线的方程，最后求交点坐标即可。已经在第9题中求出了角平分线长度$dapprox 2.23$。角平分线所在直线的斜率为$a 35^circ$，因此方程为$y=a 35^circ(x-frac{b}{2})+h_b$，其中$h_b$为$b$边所在高的长度。根据正弦定理，有$frac{b}{si B}=frac{c}{si C}$，化简得$h_b=frac{2S}{b}=frac{absi C}{2b}=frac{acdo ccdocos B}{2b}=ccdofrac{cos B}{2}approx 1.14$。代入方程得$y=a 35^circ(x-frac{b}{2})+h_bapprox 0.89x+1.49$。三角形外接圆半径为$R=frac{abc}{4S}=frac{a}{2si A}=frac{c}{2si C}approx 3.24$。因此旁切圆半径为$r=Rcos 35^circapprox 2.65$。旁切圆圆心坐标为$(frac{c}{2}+r,frac{a}{2})approx (6.88,0.41)$。
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已知一个三角形，三个角度分别为$40^circ$，$70^circ$，$70^circ$，以及对边分别为$a$，$b$，$c$，求内心。
。内心是三角形三条角平分线的交点，因此可以先求出三角形的三条角平分线，然后求交点。根据正弦定理，有$frac{a}{si A}=frac{b}{si B}=frac{c}{"。
