正弦定理求三角形面积目录

正弦定理与三角形面积

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如何用正弦定理证明三角形面积

正弦定理求三角形面积

1. 确定三角形边长

首先，我们需要知道三角形的三条边长。这些边长可以通过各种方法测量或计算得出，例如通过勾股定理或三角形的边角关系。假设三条边长分别为a、b和c。

2. 计算角度

然后，我们可以使用余弦定理计算三角形的角度。余弦定理是一个数学定理，它可以用来计算一个三角形的角度，已知它的三条边长。

3. 应用正弦定理

接下来，我们应用正弦定理来计算三角形的面积。正弦定理是一种数学定理，它可以用来计算一个三角形的面积，已知它的三条边长和三个角度。

4. 计算面积

根据正弦定理，我们可以计算出三角形的面积。面积的计算公式为：

面积 = 1/2 a b sin(C)

其中，a和b是三角形的两条边，C是这两边之间的夹角。

5. 判断三角形类型

通过比较三角形的角度，我们可以判断三角形的类型（锐角、直角或钝角）。不同类型的三角形有不同的面积公式。

6. 确定面积的符号

根据三角形的类型，我们可以确定面积的符号（正、负或零）。对于锐角三角形，面积为正；对于钝角三角形，面积为负；对于直角三角形，面积为零。

7. 处理特殊情况

最后，我们需要处理一些特殊情况。例如，如果角度为0度或180度，那么sin值为1或-1，这可能会导致面积值过大或过小。在这种情况下，我们需要使用特定的公式来计算面积。

正弦定理与三角形面积

正弦定理是三角学中的一个定理。

它指出：对于任意△ABC，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有

a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2R

三角形面积：

1、S=1/2×ah

a是三角形的底，h是底所对应的高。

三角形的底a为6cm，高h为3cm，则面积S=（1/2）ah=9（平方厘米）。

2、S=1/2*absinC =1/2*bcsinA=1/2*acsinB

其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。

参见三角函数。

扩展资料：

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

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sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ?

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ?

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

a/sinA=b/sinB=c/sinC

a2=b2+c2-2bccosA 三角形的面积=底×高÷2 　　已知三角形底a，高h，则S＝ah/2 　　已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝ √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 　　（海伦秦九韶公式） （p= (a+b+c)/2） 　　和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4 　　已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2 　　设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 　　则三角形面积=(a+b+c)r/2 　　设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r 　　则三角形面积=abc/4r 　　已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶） 注：秦九韶公式与海伦公式等价 　　| a b 1 | 　　S△=1/2 * | c d 1 | 　　| e f 1 | 　　【| a b 1| 　　| c d 1| 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里　| e f 1 | 　　ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值， 如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】 　　秦九韶三角形中线面积公式: 　　S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

如何用正弦定理证明三角形面积

设△ABC，正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC， 已知∠B，AB=c，BC=a，求△ABC面积。

S=1/2?sinB。

推导过程： 正弦定理：过A作AD⊥BC交BC于D， 过B作BE⊥AC交AC于E， 过C作CF⊥AB交AB于F， 有AD=csinB， 及AD=bsinC， ∴csinB=bsinC， 得b/sinB=c/sinC， 同理：a/sinA=b/sinB=c/sinC。