给我20道中考数学压轴题及解法.

31、（辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，点 ．

（1）以 为一边在第一象限内作等边 及 的外接圆 （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）若 与 轴的另一个交点为点 ，求 ， ， ， 四点的坐标；

（3）求经过 ， ， 三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹

（2）由直线 ，求得点 的坐标为 ，点 的坐标为

在 中， ，

是等边三角形

点 的坐标为 ，连结

是等边三角形

直线 是 的切线

点 的坐标为

（3）设经过 ， ， 三点的抛物线的解析式是

把 代入上式得

抛物线的解析式是

存在点 ，使 的面积等于 的面积

点 的坐标分别为 ， ．

[点评]本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

32、（山东滨州卷）已知：抛物线 与 轴相交于 两点，且 ．

（Ⅰ）若 ，且 为正整数，求抛物线 的解析式；

（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在 ，使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线 过点 ，与（Ⅰ）中的抛物线 相交于 两点，且使 ，求直线 的解析式．

[解] （Ⅰ）解法一：由题意得， ．

解得， ．

为正整数， ． ．

解法二：由题意知，当 时， ．

（以下同解法一）

解法三： ，

又 ．

（以下同解法一．）

解法四：令 ，即 ，

（以下同解法三．）

（Ⅱ）解法一： ．

，即 ．

解得 ．

的取值范围是 ．

解法二：由题意知，当 时，

解得： ．

的取值范围是 ．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知， ．

的取值范围是 ．

（Ⅲ）存在．

解法一：因为过 两点的圆与 轴相切于点 ，所以 两点在 轴的同侧，

由切割线定理知， ，

即 ． ，

解法二：连接 ．圆心所在直线 ，

设直线 与 轴交于点 ，圆心为 ，

则 ．

在 中，

即 ．

解得 ．

（Ⅳ）设 ，则 ．

过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ．

则 ．

所以由平行线分线段成比例定理知， ．

因此， ，即 ．

过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ，

则 ．所以 ． ．

． ．

，或 ．

当 时，点 ． 直线 过 ，

解得

当 时，点 ． 直线 过 ，

解得

故所求直线 的解析式为： ，或 ．

[点评]本题对学生有一定的能力要求，涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识，是一道选拔功能卓越的好题。

33、（山东济宁卷）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

[解] （1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，

∴四边形OBNM为矩形。

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

∵ ，AO=BO=1，

∴AM=PM。

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM

∴OM=PN

∵∠OPC=900

∴∠OPM+CPN=900

又∵∠OPM+∠POM=900

∴∠CPN=∠POM

∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin450=

∴NC=PM=

∴BN=OM=PN=1-

∴BC=BN-NC=1- - =

（3）△PBC可能为等腰三角形。

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

②当点C在第四象限，且PB=CB时，

有BN=PN=1－

∴BC=PB= PN= -m

∴NC=BN+BC=1－ + -m

由⑵知：NC=PM=

∴1－ + -m=

∴m=1

∴PM= = ，BN=1－ =1－

∴P（ ,1－ ）

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（ ,1－ ）

[点评]此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案。 34、（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．

（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；

（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；

（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．

设抛物线 的解析式是

解得

所以所求抛物线的解析式是 ．

（2）由（1）可计算得点 ．

过点 作 ，垂足为 ．

当运动到时刻 时， ， ．

根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．

所以 ．

所以，四边形 的面积 ．

因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．

所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．

（3） ，（ ）．

所以 时， 有最大值 ．

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形 能形成矩形．

由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．

所以 ．所以 ．

所以 ．解之得 （舍）．

所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

35、（四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以 为边在 轴下方作正方形 ，点 是线段 与正方形 的外接圆除点 以外的另一个交点，连结 与 相交于点 ．

（1）求证： ；

（2）设直线 是 的边 的垂直平分线，且与 相交于点 ．若 是 的外心，试求经过 三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 ，使该点关于直线 的对称点在 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）在 和 中，

四边形 是正方形， ．

又 ，

（2）由（1），有 ， ． 点 ．

是 的外心， 点 在 的垂直平分线上．

点 也在 的垂直平分线上．

为等腰三角形， ．

而 ，

设经过 三点的抛物线的解析表达式为 ．

抛物线过点 ， ． ．　　 ①

把点 ，点 的坐标代入①中，得

即 　　解得

抛物线的解析表达式为 ． ②

（3）假定在抛物线上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 轴上．

是 的平分线，

轴上的点 关于直线 的对称点 必在直线 上，

即点 是抛物线与直线 的交点．

设直线 的解析表达式为 ，并设直线 与 轴交于点 ，则由 是等腰直角三角形．

． ．

把点 ，点 代入 中，得

直线 的解析表达式为 ．

设点 ，则有 ．　　 ③

把③代入②，得 ，

，即 ．

解得 或 ．

当 时， ；

当 时， ．

在抛物线上存在点 ，它们关于直线 的对称点都在 轴上．

[点评]本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难。

36、（浙江卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0， )，直线l2的函数表达式为 ，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．

(1)　填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，∠FPB的度数是 ；

(2)　当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R= 时a的值.

(3)　当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R= ，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

[解] (1)

P(1， )

60�0�2

(2)　设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．

过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30�0�2，CP=PC)， 所以PG=CD=R．

当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．

取R= 时，a=1+R= ，

或a=-(R-1) ．

(3) 当⊙C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当0≤a≤ 时，

当 时，（满足a≤ ），S有最大值．此时

（或 ）．

② 当 ≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即 时，S最大．此时

综合以上①和②，当 或 时，存在S的最大值，其最大面积为

[点评]此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间。

37、（广东课改卷）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 = ，求这时点P的坐标。

[解] （1）作BQ⊥x轴于Q.

∵ 四边形ABCD是等腰梯形,

∴∠BAQ＝∠COA＝60°

在RtΔBQA中,BA=4,

∴BQ=AB�6�1sin∠BAO=4×sin60°=

AQ=AB�6�1cos∠BAO=4×cos60°=2,

∴OQ=OA-AQ=7-2=5

∵点B在第一象限内,

∴点B的的坐标为(5, )

（2）若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,

此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形

若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,

∴点P的坐标为(4,0)

若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4

∴点P的坐标为(-4,0)

∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)

（3）若∠CPD=∠OAB

∵∠CPA=∠OCP+∠COP

而∠OAB=∠COP=60°,

∴∠OCP=∠DPA

此时ΔOCP∽ΔADP

∴ ,

AD=AB-BD=4- =

AP=OA-OP=7-OP

得OP=1或6

∴点P坐标为(1,0)或(6,0).

[点评]本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错区分度较好的压轴题。

38、（广东肇庆卷）已知两个关于 的二次函数 与 ；当 时， ；且二次函数 的图象的对称轴是直线 ．

（1）求 的值；

（2）求函数 的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数 的图象与 的图象是否有交点？请说明理由．

[解] （1）由

得 ．

又因为当 时， ，即 ，

解得 ，或 （舍去），故 的值为 ．

（2）由 ，得 ，

所以函数 的图象的对称轴为 ，

于是，有 ，解得 ，

所以 ．

（3）由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为 ；

由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为 ；

故在同一直角坐标系内，函数 的图象与 的图象没有交点．

[点评]本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、方程等知识，因该说难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，在予以说明。

初三数学压轴题及答案

一、图形运动产生的面积问题

知识点睛

研究_基本_图形

分析运动状态：

①由起点、终点确定t的范围；

②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．

分段画图，选择适当方法表达面积．

二、精讲精练

已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．

（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

1题图 2题图

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，对角线AC、BD交于点H．平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发，沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．

（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；

（2）若，求x．

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．

（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？

（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）S能否为？若能，求出此时t的值；

若不能，请说明理由．

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2．

（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；

（2）当t=_____s时，点D在QF上；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，

求S与t之间的函数关系式．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．

（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．

（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．

（1）求M，N的坐标．

（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

二、二次函数中的存在性问题

一、知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．

②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．

③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．

二、精讲精练

如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．

抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，

OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；

（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，

作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

三、二次函数与几何综合

一、知识点睛

“二次函数与几何综合”思考流程：

整合信息时，下面两点可为我们提供便利：

①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；

②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．

二、精讲精练

如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，

且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，

点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．

已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，

与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，

并直接写出自变量x的取值范围．

已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），

①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．

四、中考数学压轴题专项训练

1.如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0

△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式．

（2）求S与t的函数关系式．

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标．

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3.（11分）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．

（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直

线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，

N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与

抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，

正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，

直接写出对应的点P的坐标．

6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为

(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

附：参考答案

一、图形运动产生的面积问题

1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．

（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；

当2＜t＜3时，

2．（1）90°；4 （2）x=2.

3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上.

（2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时，

（3）由（2）问可得，当0＜t≤时， ；

当＜t≤6时，；

解得，或，此时.

4．（1）1 （2）（3）当1＜t≤时，；

当＜t＜2时，.

5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；

当1＜t≤时，.

6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；

当1＜t≤4时，；

当4＜t≤5时，；

当5＜t≤6时，；

当6＜t≤7时，

二、二次函数中的存在性问题

1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，

△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；

若△BAP∽△AOB，如图1，

可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），

代入，可知，

若△BAP∽△BOA，如图2，

可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），

代入，可知，

当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；

若△ABP∽△AOB，如图3，

可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），

代入，可知，

若△ABP∽△BOA，如图4，

可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），

代入，可知，

2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.

要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.

过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.

则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.

则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）

可得BQ解析式为y=－x+4.

（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.

而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.

当∠DCE=30°时，

a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.

则可证△DCH∽△DEK.则，

在矩形DHQK中，DK=HQ，则.

在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）

则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）

当∠DCE=60°时，

过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.

则可证△DCM∽△DEN.则，

在矩形DMQN中，DN=MQ，则.

在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，

∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）

则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－,）

综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.

3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）

将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，

（2）存在：

如果△AMN与△ACD相似，则或

设M（0

假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：

当时，，

即∴∴

如图2验证一下

当时，，即

∴（舍）

2）如果点M在x轴上方的抛物线上：

当时，，即 ∴ ∴M

此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求

当时，，即 ∴m=10（舍）

综上M1,M2

4.解：满足条件坐标为：

思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；

(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；

∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2；

∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2

①当点N的纵坐标为2时

解： 得

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、

②当点N的纵坐标为-2时

解： 得

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、

(2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0）

MN一定过AP的中点（0，-1）

则N5（-m，-2），N5在抛物线上 ∴

（负值不符合题意，舍去）

∴ ∴

综上所述:

符合条件点P的坐标为：

5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。由题知：，，，

故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：

①如图1，，，令PM=QN，

解得：（舍去），；

②如图2，，，令PM=QN，

解得：（舍去），；

③如图3，，，令PM=QN，

解得：，（舍去）；

④如图4，，，令PM=QN，

解得：，（舍去）；

综上，m的值为、、、．

三、二次函数与几何综合

解：（1）令x=0，则y=4， ∴点C的坐标为（0，4），

∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称，

又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线

∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5，

在Rt△ACO中，OA=，∴点A的坐标为A（，0），

∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴抛物线的解析式是

（2）存在，M（，）

理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴；

∴当点M在直线AC上时，值，

设直线AC的解析式为，则，解得，∴

令，则，∴M（，）

2、解：（1）∵抛物线过点B（，0），

∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴

令y=0，则x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，

令x=0，则y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a

∵D为抛物线的顶点，∴D（1，4a）

过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°，

又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°

∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，

∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a

∴，∴，∵a>0，∴a=1

∴抛物线的解析式为：

（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4

由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3

将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．

当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）．

综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．

3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为

由抛物线经过A、B两点，得

解得

（2）设直线与y轴交于点M

当x=0时，y=. ∴OM=.

∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM=

∴OM：OA：AM=3：4：5.

由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.

∴DE：PE：PD=3：4：5

∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，

∴PD=

由题意知：

4、解：(1) ∵抛物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，

∴，∴，∴抛物线的解析式为y1= x2x

（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM

由y1= x2x可知顶点M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)

∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.

∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.

∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°

∴∠QPB=∠PMA

又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA

∴ 将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，

可得，即.

∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0x＜3

则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)

解法二：

过点M作MN⊥AB交AB于点N.

由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，

∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.

根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，

又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22

由、得y2=x2x.

∵0x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)

5、解：（1）由题意，得，解得

∴抛物线的解析式为.

（2）①令，解得 ∴B（3， 0）

则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，

∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.

解方程组，得 ∴点

当点P在x轴下方时，如图1，

根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，

得直线的解析式为，

解方程组，得

综上所述，点P的坐标为：

②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°

又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB

∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C ∴直线CP的解析式为.

四、中考数学压轴题专项训练答案

1．（1）；

（2）；

（3）t=1或2．

2．（1），；

（2）；

（3）存在，点P的坐标为．

3．（1），；

（2）；

（3）15．

4．（1）；

（2）；

（3）．

5．（1）；

（2）①，当时，；

②．

6．（1）；

（2）； （3）．

中考几何压轴题及答案

根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可．在第二个图形中，只要验证一下这个相等关系是否还成立就可以．解：（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分别为AD，AB中点，

∴AN=DN=

1/2AD，AE=EB=

1/2AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，

∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，

∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，

∴∠ANE=45°，

∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），

∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

连接NE，则点N可使得NE=BF．

此时DE=EF．

证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．点评：解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．