赚现金
精确解法有：
(1)公式法：
ax^2+bx+c=0 (a≠0)
Δ=b^2-4ac≥0时，
x=(-b+√Δ)/(2a) 或 (-b-√Δ)/(2a)
Δ<0时，无实数根，虚根是(-b+i√(-Δ))/(2a) 或 (-b-i√(-Δ))/(2a)，其中i是虚数单位，i^2=-1
(2)因式分解：
把ax^2+bx+c=0 (a≠0)通过各种方法因此分解得：a(x-x1)(x-x2)=0，从而，x1与x2是方程的根
常见的有：
(i) 配方法
ax^2+bx+c=0
a[x-b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)=0
如果，a与(4ac-b^2)/(4a)同号，则无实根，异号，则可以用平方差公式进一步因式分解，或者把(4ac-b^2)/(4a)移到方程右边，两边同时开平方。
如：x^2+2x-3=0
<法一>
(x+1)^2-4=0
(x+1+2)(x+1-2)=0
<法二>
(x+1)^2-4=0
(x+1)^2=4
两边开平方：x+1=2或x+1=-2
(ii)十字相乘因式分解
这个方法对一些简单的能快速解出，
其本质就是观察找出方程的两根 (-x1)+(-x2)=b/a，(-x1)*(-x2)=c/a
如：x^2+2x-3=0
因为 3+(-1)=2，3*(-1)=-3
所以，(x+3)(x-1)=0
(3)观察找出方程的一根，用韦达定理，求出另一根：
韦达定理：
方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)两根为x1,x2，则有 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a
证明：因为a(x-x1)(x-x2)=0，展开得：ax^2-a(x1+x2)x+ax1*x2=0对比原方程即可得。
例：x^2+2x-3=0
可以观察出方程一根是 x1=1
再由韦达定理，x1+x2=-2
所以，x2=-2-x1=-3
另外，数值解法（用计算机程序）有二分法、牛顿法等。 形如x^2=a（a>0）的，用直接开平方来解；
形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的，可以首先使用因式分解法，然后是配方法、求根公式法。
用公式法解一元二次方程的公式如下：
1、公式法。在一元二次方程y=ax?+bx+c（a、b、c是常数）中，当△=b?-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（-b±√（b?-4ac））/2a即刻求出结果；△=b?-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△=b?-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）?+k（a≠0），再移项化简为（x-h）?=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法。通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。 一元二次方程的一般形式为：
ax^2+bx+c=0
其中a、b、c为常数。a不为0。
上图就是一元二次方程的公式
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,
(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程，其解为x=m±
例1．解方程（1）(3x+1)2=7
（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解：
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(
)2=-
+(
)2
方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程
3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边
3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(
)2=
+(
)2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程
2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,
b=-8,
c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0
(3)
6x2+5x-50=0
(选学）
(4)x2-2(
)x+4=0
（选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,
x2=-
是原方程的解。
(4)解：x2-2(+
)x+4
=0
（∵4
可分解为2
·2
，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2
)=0
∴x1=2
,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
一元二次方程解法：
一、直接开平方法
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1。
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2、只含有一个未知数。
解一元二次方程公式如下：
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中，±表示两个根，即正根和负根；√表示平方根；b² - 4ac被称为“判别式”，根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0，则方程有两个不相等的实根，即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0，则方程有一个实根，即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0，则方程无实根，但可以用复数表示，即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a)，x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a)，其中i为虚数单位。
精确解法有：
(1)公式法：
ax^2+bx+c=0 (a≠0)
Δ=b^2-4ac≥0时，
x=(-b+√Δ)/(2a) 或 (-b-√Δ)/(2a)
Δ<0时，无实数根，虚根是(-b+i√(-Δ))/(2a) 或 (-b-i√(-Δ))/(2a)，其中i是虚数单位，i^2=-1
(2)因式分解：
把ax^2+bx+c=0 (a≠0)通过各种方法因此分解得：a(x-x1)(x-x2)=0，从而，x1与x2是方程的根
常见的有：
(i) 配方法
ax^2+bx+c=0
a[x-b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)=0
如果，a与(4ac-b^2)/(4a)同号，则无实根，异号，则可以用平方差公式进一步因式分解，或者把(4ac-b^2)/(4a)移到方程右边，两边同时开平方。
如：x^2+2x-3=0
<法一>
(x+1)^2-4=0
(x+1+2)(x+1-2)=0
<法二>
(x+1)^2-4=0
(x+1)^2=4
两边开平方：x+1=2或x+1=-2
(ii)十字相乘因式分解
这个方法对一些简单的能快速解出，
其本质就是观察找出方程的两根 (-x1)+(-x2)=b/a，(-x1)*(-x2)=c/a
如：x^2+2x-3=0
因为 3+(-1)=2，3*(-1)=-3
所以，(x+3)(x-1)=0
(3)观察找出方程的一根，用韦达定理，求出另一根：
韦达定理：
方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)两根为x1,x2，则有 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a
证明：因为a(x-x1)(x-x2)=0，展开得：ax^2-a(x1+x2)x+ax1*x2=0对比原方程即可得。
例：x^2+2x-3=0
可以观察出方程一根是 x1=1
再由韦达定理，x1+x2=-2
所以，x2=-2-x1=-3
另外，数值解法（用计算机程序）有二分法、牛顿法等。 形如x^2=a（a>0）的，用直接开平方来解；
形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的，可以首先使用因式分解法，然后是配方法、求根公式法。
用公式法解一元二次方程的公式如下：
1、公式法。在一元二次方程y=ax?+bx+c（a、b、c是常数）中，当△=b?-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（-b±√（b?-4ac））/2a即刻求出结果；△=b?-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△=b?-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）?+k（a≠0），再移项化简为（x-h）?=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法。通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。 一元二次方程的一般形式为：
ax^2+bx+c=0
其中a、b、c为常数。a不为0。
上图就是一元二次方程的公式
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,
(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程，其解为x=m±
例1．解方程（1）(3x+1)2=7
（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解：
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(
)2=-
+(
)2
方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程
3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边
3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(
)2=
+(
)2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程
2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,
b=-8,
c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0
(3)
6x2+5x-50=0
(选学）
(4)x2-2(
)x+4=0
（选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,
x2=-
是原方程的解。
(4)解：x2-2(+
)x+4
=0
（∵4
可分解为2
·2
，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2
)=0
∴x1=2
,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
一元二次方程解法：
一、直接开平方法
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1。
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2、只含有一个未知数。
解一元二次方程公式如下：
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中，±表示两个根，即正根和负根；√表示平方根；b² - 4ac被称为“判别式”，根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0，则方程有两个不相等的实根，即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0，则方程有一个实根，即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0，则方程无实根，但可以用复数表示，即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a)，x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a)，其中i为虚数单位。
