如何用数学归纳法证明二项式定理

证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b

右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边

假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;

则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)

=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b

＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]

＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]

＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)

∴当n=k+1时，等式也成立；

所以对于任意正整数，等式都成立 利用杨辉三角。

(1)观察杨辉三角,猜想二项式定理

既然表中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和,如将第1行的1,1用组合数C01,C11表示,那么第2 行的中间一数应为C01+ C11= C12,引导学生利用组合的性质C0n=Cnn=1, Cmn+Cm-1n= Cmn+1

将杨辉三角中每个数转化成组合数形式:

归纳猜想:(a十b)n展开式的系数是,,,…,于是

(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn

(2)概念:这个公式叫二项式定理,右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式,

(r=0,1,……n)叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项,记作Tr+1=.

(3) (a十b)n展开式的特点

二项式定理(a十b)n=C0n an十C1n an-1十…十an-rbr十…十Cnn bn的特点是:

(1)项数:共有n十1项;

(2)系数:第r十1项的系数是 (r=O,l,2,…,n);

(3)指数:a的指数是从n开始,逐渐减1按降幂排列到0;b的指数是从0开始,逐渐加1按升幂排列到n;

(4)项的次数:各项次数和都是n;

(4)注意事项(通项公式的应用)

二项展开式的通项Tr+1=, (r=0,l,2,…,n)是(a十b)n展开式的第r十l项,而不是第r项.其中还要注意下面两点:

第一点是a,b的位置不能颠倒,即(b十a)n的展开式第r十1项,不是,而应为;

第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为=(-1)r.

(2)注意区别二项式系数与指定项的系数二者异同

在(a十b)n的展开式中,系数(r=0,l,…,n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数,而与a,b无关,因此称为二项式系数.而(a十b)n的展开式中指定项系数与a,b是有联系的.例如:(1十x)n的展开式第r十1项的系数为,而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r,(2十x)n的展开式第r十1项的系数为

重在启发,引导学生归纳

例题讲解

展开(1+1)4.

求(2a+b)5的展开式的

第四项;

(2)第四项的二项式系数;

(3)第四项的系数.

简解:(1)T3+1==10·4a2b3=40a2b3

(2) =10

(3) 40

强调:展开式中某项的系数与二项式系数是不同的概念.

【例3】求(x-)9的展开式中x3的系数.

分析:抓住通项公式.

【例4】 求(一)15的展开式中常数项.

分析 (一)15的展开式中的常数项,就是展开式中x的指数为零的项.

解 设(一)15展开式中常数项为第r十1项,则Tr+1=

=,令 解得r=6,从而可知不含x的项是展开式中的第7项.

所以展开式中常数项为T7=(一1)6=5005.

评注 根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题,往往先根据己知条件或通项公式,把问题转化为求方程的解,最后再代人通项公式求出问题的解.

二项式定理求展开式中常数项,怎么做谁能举个例子给我看下

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行。

例：

展开式中的常数项

解：展开式的通项=

，令

，解得

故常数项为： 二项式定理：又称牛顿二项式定理。该定理给出两个数之和的数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

二项式定理：

它共有n+1项，二项式的通项：

用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：

二项式定理例题100道

二项式定理解答题20题

1、在(2x－3y)28的展开式中，问系数的绝对值最大的项是第几项？

2、如果(1＋x)8(x¹0)展开式中的中间三项成等差数列，求x的值。

3、设f(x)=(1+2x－3x2)6,试求f(x)展开式中所有项的系数和。

4、若(x+)n展开式中前三项系数成等差数列，求展开式中含x的项。

5、设f(x)=(1+2x－3x2)6,试求f(x)展开式中所有奇数项的系数和。

6、设f(x)=(1＋2x－3x2)6,试求f(x)展开式中含x5的项的系数。

7、求(x2+－4)5展开式中含x4项的系数。

8、在二项式()n的展开式中，前三项的系数的绝对值成A、P，(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式各项系数的和。

9、求5353除以9的余数。

10、求满足＋＋2＋3＋…＋n＜500的最大整数n.

11、求(1－x＋x2)5(1＋x)4展开式中含x4的项的系数.

12、求(3x－2y＋z)9展开式中含x2y3z4的项.

13、二项式(x＋2)n展开式的第十项的系数最大，求n的值。

14、求(1-x)5·(1＋x＋x2)4展开式中含x7项的系数。

15、已知()n展开式的前三项系数成A、P，(1)求n；(2)求展开式中的有理项。

16、设(1＋x)n展开式中有连续三项的系数之比为3：8：14，求展开式中系数最大项。

17、A、B、C为△ABC的三内角，已知tgB是()8中第3项的系数，且sin2B+sin2C=sin2A，求A、B、C.

18、设an是函数f(x)=(1+2x)(1+4x)(1+8x)…(1+2nx)展开式中x2项的系数，试问是否存在常数a、b，使得不小于2的自然数n，下式能成立,an=(2n－1－1)(a2n＋b)

19、设(3x－1)6=a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，求：a6＋a4＋a2＋a0的值。

20、求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数。

二项式定理解答题20题 〈答卷〉

1、第18项系数绝对值最大

2、x=或x=2

3、0

4、T5=x

5、211

6、－168

7、－960

8、(1)T5=；(2)

9、解：∵5353＝（54－1）53＝5453－·5452＋·5451－·5450＋…＋·54

－1＝9A－1＝9A－9＋8＝9A＋8，（A，B ∈Z).∴所求余数为8.

10、解：由

∴＋2＋3＋…＋n= n()=n·2n–1

∴＋＋2＋3＋…＋n= n·2n–1＋1

原不等式化为n·2n–1＜499

∵27=128,∴n=8时,8·27=210=1024＞500.

当n=7时,7·26=7×64=448＜449.

故所求的最大整数为n=7.

11、解： (1－x＋x2)5(1＋x)4=[(1－x＋x2)(1＋x)]4(1－x＋x2)=(1＋x3)4(1－x＋x2)

只有(1＋x3)4的展开式中的含x3的项与(1－x＋x2)中的(－x)之积才会出现含x4的项,所以含x4的项的系数为·(－1)=－4.

12、解： (3x－2y＋z)9=[(3x－2y)＋z]9其中展开式中含z4的项为(3x－2y)5z4;再求(3x－2y)5的展开式中含y3的项：为－·(3x)2(2y)3.

所以(3x－2y＋z)9的展开式中含x2y3z4的项为

－·(3)2(23)x2y3z4=－90720x2y3z4.

13、n=13

14、-6

15、(1)8；(2)T1=x4，T5=x，T9=x-2

16、Cx5

翰林汇

17、A=90o, C=30o, B=60o

18、存在.a=1,b=－1

19、解：令x = 1有26 = a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0

再令 x =－1有46 = a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0

再由两式相加除以2得：a6＋a4＋a2＋a0 = (26＋46) = 2080.

20、解：(x2＋3x＋2)5=[3x＋(x2＋2)]5其通项为

为求这个展开式中含x的项必令r=1，且(x2＋2)4中取常数项24，故求得：含x的项为，其系数为240。

这是对二项式展开式的活用题

二项式定理

【课内四基达标】

一、选择题

1.若(1+2x)6展开式中第2项大于它的相邻两项，则x的范围是( )

A. ＜x＜ B. ＜x＜ C. ＜x＜ D. ＜x＜

2.-C103·27·x3是(2-x)10展开式的( )

A.T3 B.T4 C.T5 D.T6

3.x4+4x3+6x2+4x等于( )

A.(x+1)4 B.x4 C.(x+1)4-1 D.(x+1)4+1

4.二项式( - )10展开式中，有理 项的项数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.如果二项式( - )n的展开式第8项是含 的项，则自然数n的值等于( )

A.27 B.28 C.29 D.30

6.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2展开式中含x2项的系数是( )

A.Cn+22 B.Cn+33-1 C.Cn+23-1 D.Cn+22

7.(1-x)13展开式中所有x奇次幂的系数和为( )

A.212� B.-212� C.26 D.-26

8.(x+y)n展开式的第7项系数最大，则n等于( )

A.11，12，13 B.13，14 C.14，15 D12，13

9.(1+x)8展开式的中间三项依次成等差数列，则x的值等于( )

A. 或2 B. 或4 C.2或4 D.2或

10.已知(2x-1)4=a0x4+a1x3+…+a4,那么-a0+a1-a2+a3-a4等于( )

A.-81 B.81 C.-1 D.1

二、填空题

11.在二项式(2 + )n展开式中，第13项为常数项，则n= .

12.(x+ +2)5的展开式的常数项为 .

13.(1-3x)12展开式中各项的二项式系数之和等于 .

14.3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+3Cnn-1+Cnn= .

三、解答题

15.求二项式(2x2- )7展开式的第四项的二项式系数和第四项系数.

16.求(1+x)2(1-x)5展开式中x3的系数.

17.已知( + )n展开式中偶数项二项式系 数和比(a+b)2n展开式中奇数项的二项系数和小120，求第一个展开式的第三项.

参考答案

一、选择题

1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.A

二、填空题

11. 36 12.252 13.4096 14.4n

三、解答题

15.解：∵T4=T3+1=C73(2x2)4(- x-2)3=C73 ·24·(- )3·x2

∴第四项的二项式系数为C73=35

第四项的系数为C73·24·(- )3=-1890

16.解：(1+x)2·(1-x)5=(1-x2)2·(1-x)3(1-2x2+x4)(1-3x-x3)

∴x3系数=1×(-1)+(-2)×(-3)=5

17.解：依题意得：22n-1=2n-1+120.解得，n=4

∴T3=C42(x )2(x- )2=6·

二项式定理例题及答案详解

第一问：

先取x=1，（1-2x)^7算出a0加到a7

再取x=-1，用上式算出a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6

两式相加再除2得答案：1093

第二问

第一问已经算得偶数角标项的和

用两式相减除2得奇数角标项的和

再平方相加得答案-2187

第三问：

观察上式，会发现角标为奇数的a是负的，所以所求式去完绝对值符号后得

a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7

恰好等于x取-1时(1-2x)^7的值

自己练习一下，顺便看掌握了没有：）

另外，这类题目般是取x=1或-1来进行相关的运算的：）

二项式定理例题大题及答案

第一题：（1）展开取常数项，一次项，二次项得

（1+px）^3(3-2x)^2=(1+3px+3p^2x^2+……）（9-12x+4x^2)

=9+4x^2-12x+27px_36px^2+27p^2x^2+……

=9+(27p-12)x+(27p^2-36p+4)x^2+……

2):由已知得：27p^2-36p+4=184

化简得：(p+2)(3p-10)=0

p=-2或p=10/3

第二题：原式=[1-2mx+2m(m-1)x^2][1+nx+n(n-1)/2x^2] 利用二项式定理

=1+(n-2m)x+[n(n-1)/2-2mn+2m(m-1)]x^2

所以有：n-2m=-8

n(n-1)/2-2mn+2m(m-1)=18

解得：m=6 n=4

第三题：a):包含了常数项：2x^2的三次方，乘上1/x的六次方为常数项，为8

b):不包含