赚现金
二项式定理（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n (打不出来只好粘了,能看懂吧).用展开系数法属于正向的推演这个公式,也就是用（a+b）不断地乘（a+b）,二次方的、三次方的,直到n次方,都列出结果,然后找出规律,其系数可用一个数列表示；数学归纳法实际上是在找出这个规律后,求证是否成立.数学归纳法的证明须满足条件有二：1、存在r属于n,使得Ar=（a+b）^r,能够推导出Ar+1=（a+b）^r+1；2、A1=(a+B)^1成立.那么假设的（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n 这个公式才能成立.具体证明如下：设（a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r成立 则 (a+b) ^r+1=(a+b)^rx(a+b),将其展开得为（a+b）^rxa+（a+b）^rxb,进一步推导得C（r+1）0a^r+1b^0+Cr1a^rb^1+……+C（r+1）（r+1）a^1b^r和 C（r+1）0a^rb^1+Cr+1a^(r-1)b^2+……+C（r+1）（r+1）a^0b^r+1两部分,合并同类向后 只有C（r+1）0a^r+1b^0和C（r+1）（r+1）a^0b^r+1无法合并,恰恰和将（r+1）带入r后的假设一致,故此第一个条件证明成立.第二个条件（a+b）^1=a+b很容易证明,所以当初的假设即a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r是成立的,则将r 换成n,这个等式也成立.
先验证1次方，再假设k次方，最后k+1时改成k次方乘以（a+b）带入上一步假设的利用多项式乘法解决问题。
假设当n＝k时，等式成立。
即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十Crn a(n-r)br十Cnn bn成立。
则当n=k+1时，（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2，∴当n=k+1时，等式也成立，所以对于任意正整数，等式都成立。
发展：
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。 当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立
1、(a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n。
2、通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k。
3、二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
4、公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n。
5、公式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!/(n-i)!i!。
杨辉三角是一个由数字构成的三角形，其规律总结如下：
1. 杨辉三角的首尾元素都是1。
第n行的首尾元素都是1，表示为C(n, 0)和C(n, n)。
2. 杨辉三角中的每个数是由它上方两个数相加而得到的。
对于第n行的第k个数（k≥1且k≤n-1），表示为C(n, k)，可以计算为C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
3. 杨辉三角对称。
杨辉三角以中心垂直轴为对称轴，即第n行的第k个数等于第n行的第n-k个数。
4. 杨辉三角可以表示组合数。
杨辉三角中的每个数都表示了对应位置的组合数。第n行第k个数（记作C(n, k)）表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
5. 杨辉三角还有其他一些特殊性质和应用。
- 每一行的数字之和等于2的幂次方，即2的n次方（第n行）。
- 杨辉三角中的每个数都可以表示为二项式展开后的系数。
- 杨辉三角在概率论和组合数学等领域有广泛的应用，如计算排列、组合、二项式系数等。
总结起来，杨辉三角具有对称性、数字由上方两个数相加得到、代表组合数等特点，同时还有许多其他的数学性质和应用。
二项式定理（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n (打不出来只好粘了,能看懂吧).用展开系数法属于正向的推演这个公式,也就是用（a+b）不断地乘（a+b）,二次方的、三次方的,直到n次方,都列出结果,然后找出规律,其系数可用一个数列表示；数学归纳法实际上是在找出这个规律后,求证是否成立.数学归纳法的证明须满足条件有二：1、存在r属于n,使得Ar=（a+b）^r,能够推导出Ar+1=（a+b）^r+1；2、A1=(a+B)^1成立.那么假设的（a+b）的n次方=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+……+Cnna^0b^n 这个公式才能成立.具体证明如下：设（a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r成立 则 (a+b) ^r+1=(a+b)^rx(a+b),将其展开得为（a+b）^rxa+（a+b）^rxb,进一步推导得C（r+1）0a^r+1b^0+Cr1a^rb^1+……+C（r+1）（r+1）a^1b^r和 C（r+1）0a^rb^1+Cr+1a^(r-1)b^2+……+C（r+1）（r+1）a^0b^r+1两部分,合并同类向后 只有C（r+1）0a^r+1b^0和C（r+1）（r+1）a^0b^r+1无法合并,恰恰和将（r+1）带入r后的假设一致,故此第一个条件证明成立.第二个条件（a+b）^1=a+b很容易证明,所以当初的假设即a+b）^r= Cr0a^rb^0+Cr1a^(r-1)b^1+……+Crra^0b^r是成立的,则将r 换成n,这个等式也成立.
先验证1次方，再假设k次方，最后k+1时改成k次方乘以（a+b）带入上一步假设的利用多项式乘法解决问题。
假设当n＝k时，等式成立。
即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十Crn a(n-r)br十Cnn bn成立。
则当n=k+1时，（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2，∴当n=k+1时，等式也成立，所以对于任意正整数，等式都成立。
发展：
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。 当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;
则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnn abn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)]＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立
1、(a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n。
2、通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k。
3、二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
4、公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n。
5、公式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!/(n-i)!i!。
杨辉三角是一个由数字构成的三角形，其规律总结如下：
1. 杨辉三角的首尾元素都是1。
第n行的首尾元素都是1，表示为C(n, 0)和C(n, n)。
2. 杨辉三角中的每个数是由它上方两个数相加而得到的。
对于第n行的第k个数（k≥1且k≤n-1），表示为C(n, k)，可以计算为C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
3. 杨辉三角对称。
杨辉三角以中心垂直轴为对称轴，即第n行的第k个数等于第n行的第n-k个数。
4. 杨辉三角可以表示组合数。
杨辉三角中的每个数都表示了对应位置的组合数。第n行第k个数（记作C(n, k)）表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
5. 杨辉三角还有其他一些特殊性质和应用。
- 每一行的数字之和等于2的幂次方，即2的n次方（第n行）。
- 杨辉三角中的每个数都可以表示为二项式展开后的系数。
- 杨辉三角在概率论和组合数学等领域有广泛的应用，如计算排列、组合、二项式系数等。
总结起来，杨辉三角具有对称性、数字由上方两个数相加得到、代表组合数等特点，同时还有许多其他的数学性质和应用。
