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八年级上册数学证明题目录
八年级上册数学证明题
一、平行线的性质与判定
1. 题目：已知$a$，$b$为直线，$alpha$，$beta$为平面，给出下列四个命题：
① 若$a subset alpha$，$b subset beta$，且$a/backslash/b$，则$alpha/backslash/beta$；
② 若$a/backslash/alpha$，则$a/backslash/b$或$a cap b = A$；
③ 若$alpha cap beta = b$，且$a/backslash/b$，则$a/backslash/alpha$或$a/backslash/beta$；
④ 若$a subset alpha$，$alpha//beta$，则$a/backslash/beta$.其中正确的命题是 ______.(写出所有正确命题的编号)
二、等腰三角形和直角三角形的性质
2. 题目：若等腰三角形的一个外角为80°，则等腰三角形的底角为 _______．
三、轴对称的性质与应用
3. 题目：轴对称图形具有 _______ 的性质.
四、角的平分线性质与判定
4. 题目：下列说法正确的是 ( )
A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形是轴对称图形
C. 菱形的对角线相等且互相垂直平分
D. 射线AB与射线BA是同一条射线
五、三角形的中位线性质
5. 题目：若三角形中两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
六、多边形的性质与判定
6. 题目：如果一个 n 边形的内角和等于它的外角和的2倍，则 n = _______．
七、整式的乘法与因式分解
7. 题目：若$(x + a)(x + b) = x{2} + mx + 36$，则$(a + b)$的值为____ ．
八、分式的性质与运算
8. 题目：若分式$frac{x{2} - 1}{x - 1}$的值为零，则$x =$____．
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
甲内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
乙例题
例1求证：3 n+2－2 n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c）
两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+ ,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1
证明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab bc ca＝ ＝1 即a2b2c2=1
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质 得 ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
丙练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：
9．己知： 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
= =这有啊~
解：∵AB=AC ∠BAC=90° ∴∠ABC=45°又∠CAD=30°∴∠DAB=60° AB=AD ∴∠ABD=∠ADB=60° ∴∠CBD=60-45=15°
八年级上册数学证明题目录
八年级上册数学证明题
一、平行线的性质与判定
1. 题目：已知$a$，$b$为直线，$alpha$，$beta$为平面，给出下列四个命题：
① 若$a subset alpha$，$b subset beta$，且$a/backslash/b$，则$alpha/backslash/beta$；
② 若$a/backslash/alpha$，则$a/backslash/b$或$a cap b = A$；
③ 若$alpha cap beta = b$，且$a/backslash/b$，则$a/backslash/alpha$或$a/backslash/beta$；
④ 若$a subset alpha$，$alpha//beta$，则$a/backslash/beta$.其中正确的命题是 ______.(写出所有正确命题的编号)
二、等腰三角形和直角三角形的性质
2. 题目：若等腰三角形的一个外角为80°，则等腰三角形的底角为 _______．
三、轴对称的性质与应用
3. 题目：轴对称图形具有 _______ 的性质.
四、角的平分线性质与判定
4. 题目：下列说法正确的是 ( )
A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形是轴对称图形
C. 菱形的对角线相等且互相垂直平分
D. 射线AB与射线BA是同一条射线
五、三角形的中位线性质
5. 题目：若三角形中两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
六、多边形的性质与判定
6. 题目：如果一个 n 边形的内角和等于它的外角和的2倍，则 n = _______．
七、整式的乘法与因式分解
7. 题目：若$(x + a)(x + b) = x{2} + mx + 36$，则$(a + b)$的值为____ ．
八、分式的性质与运算
8. 题目：若分式$frac{x{2} - 1}{x - 1}$的值为零，则$x =$____．
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
甲内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
乙例题
例1求证：3 n+2－2 n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c）
两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+ ,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1
证明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab bc ca＝ ＝1 即a2b2c2=1
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质 得 ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
丙练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：
9．己知： 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
= =这有啊~
解：∵AB=AC ∠BAC=90° ∴∠ABC=45°又∠CAD=30°∴∠DAB=60° AB=AD ∴∠ABD=∠ADB=60° ∴∠CBD=60-45=15°
