初三数学动点问题

如图，点P从O点出发，以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动，过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A，以PA为一边向右作正方形PABC，当P点运动4秒的时候，点Q从P出发，沿PA-AB-BC运动，速度是每秒2个单位，当Q与C重合时，P、Q两点同时停止运动，设Q点运动的时间为t秒，三角形OPQ的面积为S。

1）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围

2）求S的最大值。

解：

由题意得：P运动4秒时，P的坐标为(4,0)；Q点运动路程s[Q]=2t，x[P]=(4+t)，y[A]=(4+t)/2

（1）、Q在PA上时，s[Q]≤y[A]=(4+t)/2，得：t≤4/3(s)

此时：

S[OPQ]=f(t)=x[P]•y[Q]/2=(4+t)•2t/2=t(t+4)=t^2+4t，

MAX[S[OPQ]]= f(4/3)=16/9+16/3=64/9

（2）、Q在AB上时，y[A]≤s[Q]≤2y[A]，得：4/3≤t≤4(s)

此时：

S[OPQ]= f(t)=x[Q]•y[A]/2=(s[Q]-y[A]+x[P]) *y[A]/2

=(2t-(4+t)/2+4+t)•(4+t)/4=(5t+4)•(t+4)/8=(5t^2+24t+16)/8

MAX[S[OPQ]]= f(4)=24×8/8=24

（3）、Q在BC上时，2y[A]≤s[Q]≤3y[A]，得：4≤t≤12(s) 如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

①求点A的坐标;

②以点A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2

解：

（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X

配方得：y＝(X＋2)^2－4,

所以抛物线的顶点坐标为（－2，－4）。 即A的坐标为（－2，－4）

（2）令y＝0，解得X＝0或－4，

所以B点坐标为（－4，0），

因为A点到X轴距离是4

所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5

情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形

因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA

所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边

所以只能是OA、AB作为菱形的两边，OB作为菱形的对角线

所以P点是A点关于X轴的对称点

所以P点坐标为P1（－2，4）

（因为此时OP1//AB，所以P1一定在直线L上）

情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形

因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA

所以只能是OB作为梯形的一腰

容易求出直线L的解析式是Y＝－2X

因为P在L上，所以可设其坐标是P（X，－2X）

因为PA＝OB＝4，A点坐标是（－2，－4）

所以根据勾股定理得：

(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16

解得：X＝2/5或X＝2

因为当X＝2时，四边形ABOP是平行四边形，不合题意

所以X＝2/5

此时P的坐标是P2（2/5，－4/5）

情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形

显然只能是AB作为梯形的下底

过A、B分别作L的垂线，垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X，－2X））

设O到AB的距离是H，根据三角形面积公式可得下列等式：AB*H＝OB*4

所以H＝8√5/5，即AP4＝AP3＝8√5/5

根据勾股定理得：OA^2＝AP4^2＋OP3^2

将OA＝2√5，AP4＝8√5/5代入得：OP4＝6√5/5

所以得5X^2＝36/5，X＝6/5（－6/5舍去）

所以此时P点坐标为P4（6/5，－12/5）

同理可求出P3（4/5，－8/5）

即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3（4/5，－8/5）或P4（6/5，－12/5）

（3）

因为直线L的解析式是：y＝－2X，P的坐标伟（X,－2X),

此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形，

上底为OP＝√5|X|，下底为AB＝2√5，高为H＝8√5/5，

所以S＝(√5|X|＋2√5)*(8√5/5)/2

＝4|X|＋8

所以有：4＋6√2＜4|X|＋8＜6＋8√2

所以：3√2/2－1＜|X|＜2√2－1/2

所以当X＞0时，X的取值范围是3√2/2－1＜X＜2√2－1/2

当X＜0时，3√2/2－1＜－X＜2√2－1/2

所以：X＜1－3√2/2或X＞1/2－2√2

所以当X＜0时，X的取值范围是：1/2－2√2＜X＜1－3√2/2

初三数学几何证明题 如图①,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边...

关系是：MD=MF，MD⊥MF。

证法一：如图，延长DM交CE于N，连结

FD、FN。

∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC

∴∠1＝∠2。

又∵AM=EM，∠3＝∠4，

∴△ADM≌△ENM

∴AD=EN，MD=MN。

∵AD=DC，∴DC=NE。

又∵正方形CGEF，

∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°。

又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°。

∴∠DCF=∠NEF=45°，

∴△FDC≌△FNE。

∴FD=FN，∠5＝∠6

∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。

又∵DM=MN，∴MD=MF，DM⊥MF。 解：（1）MD=MF，MD⊥MF；（2分）

（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，

证明：如图甲，延长DM交FE于N．

∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，

∴∠1=∠2．

又∵MA=ME，∠3=∠4，

∴△AMD≌△EMN，

∴AD=EN，MD=MN，

∵CF=2AD，EF=2EN，

∴FD=FN．

又∵∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD；（6分）

（3）MD=MF，MD⊥MF，

证法一：如图乙，延长DM到N，

使MN=MD，连接FD、FN、EN，

延长EN与DC延长线交于点H．

∵MA=ME，∠1=∠2，MD=MN，

∴△AMD≌△EMN，

∴∠3=∠4，AD=NE．

又∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．

∴DC=NE．

∵∠3=∠4，

∴AD∥EH．

∴∠H=∠ADC=90°．

∵∠G=90°，∠5=∠6，

∴∠7=∠8．

∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

∴∠DCF=∠FEN．

∵FC=FE，

∴△DCF≌△NEF，

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）

证法二：如图乙，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．

∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．

∵AM=ME，∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMN，

∴DM=NM，AD=EN．

∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，

∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，

∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．

∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，

∴∠DCF=∠5=∠NEF．

∵FC=FE，

∴△DCF≌△NEF．

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，

∵∠CFE=90°，

∴∠DFN=90°，

∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）

初三数学题50道经典题目

初三数学竞赛题：1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1,②移项,得4x+x-2x=1+4,③合 并同类项,得3x=5,④系数化为1,得x= ,经检验,x= 不是原方程的解,说明解题的四个步骤中有错误,其中开始出现错误的一步是()A.①B.②C.③D.④

初三数学竞赛题100道及答案

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:

①去括号,得4x-4-x=2x+1,

初三数学题型归纳总结

我整理了一些中考数学的常考题型，大家一起来看看吧。

线段、角的计算与证明问题

中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

图形位置关系

中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。