南通中考数学

2011年江苏省南通市中考数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为【 】

A．－20m B．－40m C．20m D．40m

【答案】B．

【考点】相反数。

【分析】向北与向南是相反方向两个概念，向北为+，向南则为负。故根据相反数的定义，可直接得出结果

2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】

【答案】C．

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知A是中心对称图形而不是轴对称图形；B也是中心对称图形而不是轴对称图形；C既是轴对称图形又是中心对称图形，它有四条对称轴，分别是连接三个小圆线段所在的水平和竖直直线，这水平和竖直直线之间的两条角平分线；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形。

3．计算的结果是【 】

A．±3 B．3 C．±3 D．3

【答案】D．

【考点】立方根。

【分析】根据立方根的定义，因为33=27，所以。

4．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是【 】

A．3，8，4 B．4，9，6

C．15，20，8 D．9，15，8

【答案】A．

【考点】三角形的构成条件。

【分析】根据三角形任两边之和大于第三边的构成条件，A中3+4<8，故A的三条线段不能组成三角形。

5．如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝【 】

A．120° B．110° C．100° D．80°

【答案】C．

【考点】平行线的性质。

【分析】根据同旁内角互补的平行线性质，由于AB∥CD，∠DCE和∠BEF是同旁内角，从而∠BEF＝。

6．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为【 】

【答案】B．

【考点】几何体的三视图。

【分析】根据几何体的俯视图视图规则，A和D的俯视图是圆，B的俯视图是矩形，C的

俯视图是三角形。

7．若3是关于方程x2－5x＋c＝的一个根，则这个方程的另一个根是【 】

A．－2 B．2 C．－5 D．5

【答案】B．

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，所以有。

8．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于【 】

A．8 B．4 C．10 D．5

【答案】5．

【考点】圆的直径垂直平分弦,勾股定理。

【分析】根据圆的直径垂直平分弦的定理，∆OAM是直角三角形，在Rt∆OAM中运用勾股定理有，。

9．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【 】

A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/h

C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h

【答案】A．

【考点】一次函数。

【分析】根据所给的一次函数图象有：A.甲的速度是；B. 乙的速度是；C．乙比甲晚出发； D．甲比乙晚到B地。

10．设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则＝【 】

A．2 B． C． D．3

【答案】A．

【考点】代数式变换，完全平方公式，平方差公式，根式计算。

【分析】由m2＋n2＝4mn有，因为m＞n＞0，所以，则。

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

11．已知＝20°，则的余角等于 ．

【答案】700．

【考点】余角。

【分析】根据余角的定义，直接得出结果：900-200=700。

12．计算：－＝ ．

【答案】。

【考点】根式计算。

【分析】利用根式计算法则，直接导出结果：。

13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．

【答案】。

【考点】分式定义。

【分析】根据分式定义，分母不能为0，从而得出结论。

14．七位女生的体重(单位：kg)分别为36、42、38、42、35、45、40，则这七位女生的体

重的中位数为 kg．

【答案】40。

【考点】中位数。

【分析】根据的中位数定义，中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居

于数列中间位置的那个数据。故应先将七位女生的体重重新排列：35，36，38，40，42，42，

45，从而得到中位数为40。

15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE

＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC

＝ cm．

【答案】4。

【考点】矩形性质，折叠，等腰三角形性质，直角三角形性质，300角直角三角形的性质。

【分析】由矩形性质知，∠B=900，又由折叠知∠BAC=∠EAC。根据等腰三角形等边对等

角的性质，由AE＝CE得∠EAC=∠ECA。而根据直角三角形两锐角互余的性质，可以得到

∠ECA=300。因此根据300角直角三角形中，300角所对直角边是斜边一半的性质有，Rt∆ABC

中AC=2AB=4。

16．分解因式：3m(2x―y)2―3mn2＝ ．

【答案】。

【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】。

17．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，

∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．

【答案】A．

【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，根式计算。

【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中

如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y＝x相切．设三个半圆的半

径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ ．

【答案】9。

【考点】一次函数，直角三角形的性质，相似三角形。【分析】设直线y＝x与三个半圆分别切于A，

B，C，作AEX轴于E，则在Rt∆AEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，

AE=，OE=，OO1=2。则。同理，。

三、解答题（本大题共10小题，满分96分）

19．(10分)(1)计算：22＋(－1)4＋(－2)0－|－3|；

(2)先化简，再求值：(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b)，其中a＝2，b＝1．

【答案】解：(1)原式＝4＋1＋1－3＝1。

(2)原式＝4ab(b2－2ab)÷4ab＋4a2－b2＝b2－2ab＋4a2－b2＝4a2－2ab

当a＝2，b＝1时，原式＝4×22－2×2×1＝16－4＝12。

【考点】负数的偶次幂，0次幂，绝对值，代数式化简，平方差公式。

【分析】(1)利用负数的偶次幂，0次幂和绝对值的定义，直接得出结果。

(2)利用提取公因式先把分式化简，应用平方差公式把多项式乘多项式化简，然后合并同类项，再代入。[来源:学科网]

20．(8分)求不等式组 的解集，并写出它的整数解．

【答案】解：由①，得x1， 由②，得x<4。

所以不等式组的解集为。它的整数解1，2，3。

【考点】－元一次不等式组。

【分析】利用－元一次不等式组求解方法，直接得出结果，然后写出它的整数解。

21．(9分)某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类)，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；

(2)将条形图补充完整；

(3)若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人．

【答案】解：(1)300，36。

(2)喜欢足球的有300－120－60－30＝90人，所以据此将条形图补充完整（如右图）。

(3)在参加调查的学生中，喜欢篮球的有120人，占

120300＝40%，所以该校2000名学生中，估计喜欢“篮球”的学生共有2000×40%=800（人）。

【考点】扇形统计图，条形统计图，频率，频数。

【分析】(1)从图中知，喜欢乒乓球的有60人，占20%，所以参加调查的学生共有6020%＝300（人）

喜欢其他球类的有30人，占30300＝10%，所以表示“其他球类”的扇形的圆心角为3600×10%=360。

(2)由(1)参加调查学生的总数减去另外各项就可得喜欢足球的人数，将条形图补充完整。

(3)先求出在参加调查的学生中，喜欢篮球的人，占参加调查的学生的百分比就能估计出全校喜欢“篮球”的学生人数。

22．(8分)如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O

于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．

【答案】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB，

∵AM切⊙O于点A，即OA⊥AM，又BD⊥AM，

∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB

又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠OCB＝∠COB＝600。

【考点】圆的切线，角平分线，直线平行，三角形的内角和。

【分析】要求∠B，由于OC＝OB，根据等边对等角可知∠OCB＝∠B。由于OA，BD都垂直于同一条直线AM，从而OA∥BD，根据两直线平行内错角相等，有∠AOC＝∠OCB。而

OC平分∠AOB，通过等量代换可得∠B＝∠OCB＝∠COB，因此由三角形的内角和1800可得∠B＝＝600。

23．(8分)在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？

【答案】解：设父亲每分钟跳x个，儿子每分钟跳x＋20个。

依题意有。解之，得x＝120。

经检验，x＝120是方程的根。

当x＝120时，x＋20＝140。

答：父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个。

【考点】列方程解应用题，分式方程。

【分析】列方程解应用题的关键是找出等量关系：相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个。即父亲跳180个的时间＝儿子跳210个的时间，而时间＝运动量运动速度。

24．(8分)比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：

它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．

它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．

请你再写出它们的两个相同点和不同点：

相同点：

① ；

② ．

不同点：

① ；

② ．

【答案】解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形。

②正五边形的和正六边形内角都相等。

不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等。

②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点。

【考点】正五边形的和正六边形。

【分析】相同点：①正五边形有五条对称轴，分别是顶点和其对边中点连线所在直线；正六边形六条对称轴，分别是对角顶点连线所在直线和对边中点连线所在直线。

②正五边形每个内角都是1080；正六边形每个内角都是1200。

不同点：①正五边形的对角线与两条邻边构成的三角形

都是是全等的；正六边形对角线中过中心的三条一样长（图中红

线），不过中心的六条一样长（图中蓝线）。

②图中可见。

25．(9分)光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．

(1)求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；

(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．

【答案】解：(1)列出甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力的所有情况：

三人都不选A处，则三人都选B处，计1种情况。

三人中一人选A处，另二人选B处，计3种情况；甲选A处，乙、丙选B处；乙选A处，甲、丙选B处；丙选A处，甲、乙选B处。

三人中二人选A处，另一人选B处，计3种情况；甲、乙选A处，丙选B处；甲、丙选A处，乙选B处；乙、丙选A处，甲选B处。

三人都选A处，则三人都不选B处，计1种情况。

所有可能情况计8种情况，甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的情况计2种情况：都选A处或都选B处。因此甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率为

(2)甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的情况计4种情况：三人中有二人选B处和三人都选B处。因此甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率为。

【考点】概率。

【分析】列举出所有情况，分析出符合条件的情况，求出概率。

26．(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，

OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针

旋转角得到△E1OF1(如图2)．

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；

(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．

【答案】解：(1)AE1＝BF1，证明如下：

∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF

∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE1＝OF1。

∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB

OE1＝OF1

在△E1OA和△F1OB中， ∠E1OA＝∠F1OB，∴△E1OA≌△F1OB （SAS）

OA＝OB

∴ AE1＝BF1。

(2)取OE1中点G，连接AG。

∵∠AOD＝900，＝30° ， ∴ ∠E1OA＝900－＝60°。

∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。

∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°。∴ ∠E1AO＝90°。

∴△AOE1为直角三角形。

【考点】正方形的性质和判定，旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定。

【分析】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边。考察△E1OA和△F1OB，由正方形对角线互相平分的性质有OA＝OB；再看OE1和OF1，它们是OE和OF经过旋转得到，由已知易得相等；最后看夹角∠E1OA和∠GE1A，由于它们都与∠F1OA互余。从而得证。

(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°。考虑到OE1＝2OA，作辅助线AG，得∠AGO＝∠OAG，由于∠E1OA与互余，得到∠E1OA＝60°，从而得到△AOG的三个角都相等，都等于600。又由AG＝GE1得到∠GAE1＝∠GE1A＝30°。因此 ∠E1AO＝90°，从而得证。

27．(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中的三个点．

(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；

(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？

(3)求a和k的值．

【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k

(a＞0)上，联立方程 ，

解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。

∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。

(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。

因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。

(3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：

①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，

a(0－1)2＋k＝－1

联立方程 a(－1－1)2＋k＝2，

a(2－1)2＋k＝－1

解之得a＝1，k＝－2。

②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，

a(0－1)2＋k＝－1

联立方程 a(2－1)2＋k＝－1，

a(4－1)2＋k＝2

解之得a＝，k＝。

因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，

a＝，k＝。

【考点】二次函数，二元一次方程组。

【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。

(2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。

(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有 ①B、C、D， ②B、C、E， ③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D

和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。

28．如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝

(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平

行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点M、N．

(1)求m的值和直线l的解析式；

(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；?源自:中国<学考<频道?

(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若

不存在，请说明理由．

【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。

设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得

， ，解之，得

∴所求 直线l的解析式为 。

(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。

∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。

∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，

BP＝

∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。

∴△PMB∽△PNA。

(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：

当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为则有

解得

则直线MP为

当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。

则，

由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。

当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。

当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。

此时，S△AMP大于情况当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。

综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。

【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。

【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。

(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。

(3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。 南京市2011年初中毕业生学业考试

数 学

数学注意事项：

1． 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．

2． 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．

3． 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．

4． 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1． 的值等于

A．3 B．－3 C．±3 D．

2．下列运算正确的是

A．a2＋a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．(a2)3=a8

3．在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%．则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为

A．0.736×106人 B．7.36×104人 C．7.36×105人 D．7.36×106 人

4．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是

A．随机抽取该校一个班级的学生

B．随机抽取该校一个年级的学生

C．随机抽取该校一部分男生

D．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生

5．如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是

6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为 ，则a的值是

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．－2的相反数是________．

8．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=____________．

9．计算 =_______________．

10．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．

11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．

12．如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．

13．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．

14．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______．

15．设函数 与 的图象的交战坐标为（a，b），则 的值为__________．

16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．

三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．

18．（6分）计算

19．（6分）解方程x2－4x＋1=0

20．（7分）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．

⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；

⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；

⑶你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点．

21．（7分）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

22．（7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．

⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．

⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；

②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？

23．（7分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：

⑴抽取1名，恰好是女生；

⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．

24．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

25．（7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

27．（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

28．（11分）

问题情境

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为 ．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质．

① 填写下表，画出函数的图象：

x ……

1 2 3 4 ……

y …… ……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数 (x＞0)的最小值．

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

答案：

一.选择题：ACCDBB

二.填空：

7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4

17. 解：

解不等式①得：

解不等式②得：

所以，不等式组的解集是 ．

不等式组的整数解是 ，0，1．

18.

19. 解法一：移项，得 ．

配方，得 ，

由此可得

解法二：

， ．

20.解：⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是 ≈67%．

⑵不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）．

（3）本题答案不唯一，我认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大．

21.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC．

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴⊿ABF≌⊿ECF．

（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．

解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．

又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．

22. 解⑴3600，20．

⑵①当 时，设y与x的函数关系式为 ．

根据题意，当 时， ；当 ， ．

所以， 与 的函数关系式为 ．

②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（ ），

缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10（ ）．

小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（ ）．

把 代入 ，得y=55×60—800=2500．

所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（ ）．

23. 解⑴抽取1名，恰好是女生的概率是 ．

⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（记为事件A）的结果共6种，所以P（A）= ．

24.解：⑴当x=0时， ．

所以不论 为何值，函数 的图象经过 轴上的一个定点（0，1）．

⑵①当 时，函数 的图象与 轴只有一个交点；

②当 时，若函数 的图象与 轴只有一个交点，则方程 有两个相等的实数根，所以 ， ．

综上，若函数 的图象与 轴只有一个交点，则 的值为0或9．

25.在 中， ＝ ．

∴EC＝ ≈ （ ）．

在 中，∠BCA＝45°，∴

在 中， ＝ ．∴ ．∴ （ ）．

答：电视塔高度约为120 ．

26.解⑴直线 与⊙P相切．

如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴ ．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．

∴ ,即 ，∴PD =2.4(cm) ．

当 时， (cm)

∴ ，即圆心 到直线 的距离等于⊙P的半径．

∴直线 与⊙P相切．

⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴ ．

连接OP．∵P为BC的中点，∴ ．

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．

∴ 或 ，∴ =1或4．

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴ ，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略．

作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ ， ．

∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 ．

28. 解⑴① ， ， ，2， ， ， ．

函数 的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当 时， 随 增大而减小；当 时, 随 增大而增大；当 时函数 的最小值为2．

当 =0，即 时，函数 的最小值为2．

⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 ．

山东淄博2013年中考试题:数学

山东省淄博市2013年中考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题4分．

1．（4分）（2013淄博）9的算术平方根是（　　）

A． B． C．3D．±3

考点：算术平方根．

分析：根据算术平方根的定义求解即可．

解答：解：∵32=9，

∴9的算术平方根是3．

故选C．

点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（4分）（2013淄博）下列运算错误的是（　　）

A． B．

C． D．

考点：分式的基本性质．

分析：根据分式的基本性质作答，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，即可得出答案．

解答：解：A、 = =1，故本选项正确；

B、 = =﹣1，故本选项正确；

C、 = ，故本选项正确；

D、 =﹣ ，故本选项错误；

故选D．

点评：此题考查了分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．

3．（4分）（2013淄博）把一根长100cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm，则锯出的木棍的长不可能为（　　）

A．70cmB．65cmC．35cmD．35cm或65cm

考点：一元一次方程的应用．

分析：设一段为x，则另一段为2x﹣5，再由总长为100cm，可得出方程，解出即可．

解答：解：设一段为x，则另一段为2x﹣5，

由题意得，x+2x﹣5=100，

解得：x=35，2x﹣5=65．

故选A．

点评：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据总长为100cm得出方程，难度一般．

4．（4分）（2013淄博）下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中，画法错误的是（　　）

A． B． C． D．

考点：简单组合体的三视图．

分析：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

解答：解：从上面看易得俯视图为： ，

从左面看易得左视图为： ，

从正面看主视图为： ，

故选A．

点评：本题考查了几何体的三视图，解答本题的关键是掌握三视图的观察方向．

5．（4分）（2013淄博）如果分式 的值为0，则x的值是（　　）

A．1B．0C．﹣1D．±1

考点：分式的值为零的条件．

分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，2x+2≠0，

由x2﹣1=0，得x=±1，

由2x+2≠0，得x≠﹣1，

综上，得x=1．

故选A．

点评：本题考查了分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

6．（4分）（2013淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）

A．78°B．75°C．60°D．45°

考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．

专题：计算题．

分析：连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．

解答：解：连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，

∴∠PDC=90°，

∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，

在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．

故选B．

点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

7．（4分）（2013淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）

A．（ ， ）B．（2，2）C．（ ，2）D．（2， ）

考点：二次函数综合题．

专题：综合题．

分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；

解答：解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，

∴4=a×（﹣2）2，

解得：a=1

∴解析式为y=x2，

∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），

∴OB=OD=2，

∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，

∴CD∥x轴，

∴点D和点P的纵坐标均为2，

∴令y=2，得2=x2，

解得：x=± ，

∵点P在第一象限，

∴点P的坐标为：（ ，2）

故选：C．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．

8．（4分）（2013淄博）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是（　　）

A．b2=acB．b2=ceC．be=acD．bd=ae

考点：相似三角形的判定与性质；直角梯形．

分析：根据∠CDB=∠DBA，∠C=∠BDA=90°，可判定△CDB∽△DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．

解答：解：∵CD∥AB，

∴∠CDB=∠DBA，

又∵∠C=∠BDA=90°，

∴△CDB∽△DBA，

∴ = = ，即 = = ，

A、b2=ac，成立，故本选项正确；

B、b2=ac，不是b2=ce，故本选项错误；

C、be=ad，不是be=ac，故本选项错误；

D、bd=ac，不是bd=ae，故本选项错误．

故选A．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△CDB∽△DBA，注意掌握相似三角形的对应边成比例．

9．（4分）（2013淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数 的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（　　）

A． B． C． D．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

专题：计算题．

分析：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据矩形的性质得矩形OEPF的面积= 矩形AOBC的面积= ×4=1，然后根据反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义即可得到k=1．

解答：解：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图，

∵点P为矩形AOBC对角线的交点，

∴矩形OEPF的面积= 矩形AOBC的面积= ×4=1，

∴|k|=1，

而k＞0，

∴k=1，

∴过P点的反比例函数的解析式为y= ．

故选C．

点评：本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= （k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

10．（4分）（2013淄博）如果m是任意实数，则点P（m﹣4，m+1）一定不在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

考点：点的坐标．

分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．

解答：解：∵（m+1）﹣（m﹣4）=m+1﹣m+4=5，

∴点P的纵坐标一定大于横坐标，

∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，

∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，

∴点P一定不在第四象限．

故选D．

点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

11．（4分）（2013淄博）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（　　）

A． B． C． D．

考点：列表法与树状图法．

专题：计算题．

分析：画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所求的概率．

解答：解：画树状图，如图所示：

所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，

则P= ．

故选B．

点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．（4分）（2013淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

A． B． C．3D．4

考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．

解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，

∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，

∴DE=BE+CD﹣BC=6，

∴PQ= DE=3．

故选C．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．

二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．

13．（4分）（2013淄博）当实数a＜0时，6+a　＜　6﹣a（填“＜”或“＞”）．

考点：不等式的性质．

分析：a＜0时，则a＜﹣a，在不等式两边同时加上6即可得到．

解答：解：∵a＜0，

∴a＜﹣a，

在不等式两边同时加上6，得：6+a＜6﹣a．

故答案是：＜．

点评：本题考查了不等式的基本性质，理解6+a＜6﹣a是如何变化得到的是关键．

14．（4分）（2013淄博）请写出一个概率小于 的随机事件：　掷一个骰子，向上一面的点数为2　．

考点：概率公式．

专题：开放型．

分析：根据概率公式P（A）= ，再结合本题题意，写出符合要求的事件即可，答案不．

解答：解：根据题意得：

概率小于 的随机事件如：

掷一个骰子，向上一面的点数为2；

故答案为：掷一个骰子，向上一面的点数为2．

点评：此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

15．（4分）（2013淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　3　条．

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质．

专题：新定义．

分析：根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．

解答：解：当PD∥BC时，△APD∽△ABC，

当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，

连接PC，

∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，

∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，

∴∠ACP=∠PAC=36°，

∴∠PCB=36°，

∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，

∴△CPB∽△ACB，

故过点P的△ABC的相似线最多有3条．

故答案为：3．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．

16．（4分）（2013淄博）如图，AB是⊙O的直径， ，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=　 　．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义

分析：连接AD，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD，证明△DAC∽△DBA，利用对应边成比例的知识，可求出CD、AC，继而根据sin∠ECB=sin∠DCA= 即可得出答案．

解答：解：连接AD，则∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，

则AD= =3，

∵ ，

∴∠DAC=∠DBA，

∴△DAC∽△DBA，

∴ = = ，

∴CD= ，

∴AC= = ，

∴sin∠ECB=sin∠DCA= = ．

故答案为： ．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，证明△DAC∽△DBA，求出CD、AD的长度，难度一般．

17．（4分）（2013淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是　﹣2　．

﹣4abc6b﹣2…

考点：规律型：数字的变化类．

分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是﹣2可得b=﹣2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2013除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．

解答：解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，

∴﹣4+a+b=a+b+c，

解得c=﹣4，

a+b+c=b+c+6，

解得a=6，

所以，数据从左到右依次为﹣4、6、b、﹣4、6、b，

第9个数与第三个数相同，即b=﹣2，

所以，每3个数“﹣4、6、﹣2”为一个循环组依次循环，

∵2013÷3=671，

∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为﹣2．

故答案为：﹣2．

点评：此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．

三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（5分）（2013淄博）解方程组 ．

考点：解二元一次方程组．

专题：计算题．

分析：先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．

解答：解： ，

①﹣2×②得，﹣7y=7，解得y=﹣1；

把y=﹣1代入②得，x+2×（﹣1）=﹣2，解得x=0，

故此方程组的解为： ．

点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．

19．（5分）（2013淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．

考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

专题：证明题．

分析：根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．

解答：证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD．

点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．

20．（8分）（2013淄博）某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的次数，并列出了频数分布表：

次数60≤x＜8080≤x＜100100≤x＜120120≤x＜140140≤x＜160160≤x＜180

频数561494

（1）跳绳次数x在120≤x＜140范围的同学占全班同学的20%，在答题卡中完成上表；

（2）画出适当的统计图，表示上面的信息．

考点：频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．

分析：（1）根据跳绳次数x在120≤x＜140范围的同学占全班同学的20%，求出总人数，再用总人数减去各段的频数，即可求出在140≤x＜160的频数；

（2）根据表中提供的数据，从而画出直方图即可．

解答：解：（1）∵跳绳次数x在120≤x＜140范围的同学占全班同学的20%，

∴总人数是9÷20%=45（人），

∴在140≤x＜160的频数是：45﹣5﹣6﹣14﹣9﹣4=7（人），

补表如下：

次数60≤x＜8080≤x＜100100≤x＜120120≤x＜140140≤x＜160160≤x＜180

频数5614974

（2）根据表中的数据，补图如下：

点评：此题考查了频率分布直方图，解题的关键是根据频数、频率之间的关系，求出总人数，要能从统计表中获得有关信息，列出算式．

21．（8分）（2013淄博）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．

（1）求a的整数值；

（2）当a取整数值时，①求出该方程的根；②求 的值．

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法

分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤ 且a≠6，然后在次范围内找出的整数；

（2）①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0，然后利用求根公式法求解；

②由于x2﹣8x+9=0则x2﹣8x=﹣9，然后把x2﹣8x=﹣9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2﹣ =2x2﹣16x+ ，再变形得到2（x2﹣8x）+ ，再利用整体思想计算即可．

解答：解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，

解得a≤ 且a≠6，

所以a的整数值为7；

（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，

△=64﹣4×9=28，

∴x= ，

∴x1=4+ ，x2=4﹣ ；

②∵x2﹣8x+9=0，

∴x2﹣8x=﹣9，

所以原式=2x2﹣

=2x2﹣16x+

=2（x2﹣8x）+

=2×（﹣9）+

=﹣ ．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．

22．（8分）（2013淄博）分别以ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案；

（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF；

（2）GF⊥EF，GF=EF成立；

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，

∴∠EAF+∠CDF=45°，

∵∠CDF+∠GDF=45°，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出△EAF≌△GDF是解题关键．

23．（9分）（2013淄博）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；

（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C（0， ）时，求∠ODB的正切值．

考点：一次函数综合题．

分析：（1）先根据等边三角形的性质求出B点的坐标，直接运用待定系数法就可以求出直线BD的解析式；

（2）作BE⊥x轴于E，就可以得出∠AEB=90°，由圆的切线的性质就可以而出B的纵坐标，由直角三角形的性质就可以求出B点的横坐标，从而得出结论；

（3）以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE．根据等边三角形的性质圆心角与圆周角之间的关系及勾股定理就可以点B的坐标，作BQ⊥x轴于点Q，根据正切值的意义就可以求出结论．

解答：解：（1）∵A（4，0），

∴OA=4，

∴等边三角形ABC的高就为2 ，

∴B（2，﹣2 ）．

设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得

解得： ，

∴直线BD的解析式为：y= x﹣ ；

（2）作BE⊥x轴于E，

∴∠AEB=90°．

∵以AB为半径的⊙S与y轴相切于点C，

∴BC⊥y轴．

∴∠OCB=90°

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACO=30°，

∴AC=2OA．

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴AC=8，

∴由勾股定理得：OC=4 ．

作BE⊥x轴于E，

∴AE=4，

∴OE=8，

∴B（8，﹣4 ）；

（3）如图3，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点C、E，过点B作BF⊥CE于F，连接AE．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∴∠OEA= ∠ABC=30°，

∴AE=2OA．

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴AE=8．

在Rt△AOE中，由勾股定理，得

OE=4 ．

∵C（0， ），

∴OC=2 ，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得

AC=2 ．

∵CE=OE﹣OC=4 =2 ．

∵BF⊥CE，

∴CF= CE= ，

∴OF=2 + =3 ．

在Rt△CFB中，由勾股定理，得

BF2=BC2﹣CF2，

=28﹣﹣3=25，

∴BF=5，

∴B（5，﹣3 ）．

过点B作BQ⊥x轴于点Q，

∴BQ=3 ，OQ=5，

∴DQ=5，

∴tan∠ODB= = ．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，圆周角与圆心角的关系定理的运用，切线的性质的运用及直角三角形的性质的运用，解答时灵活运用勾股定理求线段的值是关键．

24．（9分）（2013淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．

（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积的正方形，面积是多少？说明理由；

（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

考点：四边形综合题．

分析：（1）设AM=x（0≤x≤4）则MD=4﹣x，根据正方形的性质就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根据正方形的面积就可以表示出解析式，由二次函数的性质就可以求出其最值；

（2）先将矩形纸片分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图，根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形．

解答：解：（1）正方形的面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4﹣x．

∵四边形MNEF是正方形，

∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．

∵∠AMN+∠ANM=90°，

∴∠ANM=∠FMD．

∵在△ANM和△DMF中

∴△ANM≌△DMF（AAS）．

∴DM=AN．

∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，

=x2+（4﹣x）2，

=2（x﹣2）2+8

∵函数 S正方形MNEF=2（x﹣2）2+8的开口向上，

对称轴是x=2，

在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，

∵0≤x≤4，

∴当x=0或x=4时，

正方形MNEF的面积．

值是16．

（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，二次函数的解析式的运用，拼图的运用，在解答本题时由正方形的性质建立二次函数是求最值的关键．

2022年陕西中考数学试卷

【数学】2022年陕西中考数学试卷难系程度0.67,全省预估平均分80.4,100-110分段学生占比最大。

中考的介绍如下：

初中学业水平考试，简称“中考”。它是检测初中在校生是否达到初中学业水平的水平性考试和建立在九年义务教育基础上的高中选拔性考试；它是初中毕业证书发放的必要条件，考试科目将国家课程方案所规定的学科全部列入初中学业水平考试的范围。

学生可根据中考成绩报考相应的高中、中专、技校等。其中以报考高中为主。中考要考虑初中毕业生升入高中后继续学习的潜在能力，高中教育还是基础教育的范畴，因此，中考既要坚持考查基础知识、基本方法和基本技能，又要坚持考查学科能力。

中考命题严格遵循义务教育课程标准的要求，充分考虑教学情况、义务教育课程改革情况、教材使用情况，最大限度地求同避异，充分体现义务教育课程改革“平稳过渡，循序渐进”的基本原则。

各地中考报名时间不同。不少地方中考1月开始报名。特别提醒考生和家长：请在规定时间内完成上网报名。下以成都为例。