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分析：这是一个很典型的不等式问题，下面介绍两种思路自然、简洁明了的证法．两种证法都源于对变元地位的分析．由于已知条件实质是两个约束条件，因此自由变元为两个，于是左右两边可看作是自由变元的函数，实现问题的转换．
解答一：把左右两边均看作x3、x4的函数，因此左边关于x3、x4的最大值为(x1＋3x2)2，右边关于x3、x4的最小值为16x1x2，因此问题转化为证明不等式(x1＋3x2)2≤16x1x2．
而上式的证明是十分容易的．事实上
16x1x2－(x1＋3x2)2==(9x2－x1)( x1－x2)
≥(9x2－x2－x3－x4)( x1－x2)≥0．
解答二：令x1=k(x2＋x3＋x4)，则
这时原不等式变形为
上式左边是关于x3、x4的方程，其最大值为右边关于x3、x4的方程，其最小值为4x2，因此要证上式成立，只需证明
这里只要注意到上是减函数立得
得证．
因此，(x1＋x2＋x3＋x4)2≤4 x1x2x3x4． 证：
1)∵x1-x2≤x3+x4且两边均大于0
∴两边平方后整理得：x1^2+x2^2-x3^2-x4^2≤2x1x2+2x3x4＜4x1x2＜x1x2x3x4
∴x1^2+x2^2-x3^2-x4^2＜x1x2x3x4......*1
2)∵x4^2＜x3^2＜x2x3＜x1x3＜x1x2
∴2(x3^2)+x4^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜9x1x2＜3x1x2x3x4
∴2(x3^2)+x4^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜3x1x2x3x4......*2
3)*1式和*2式相加，得：
x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜4x1x2x3x4即得证.
以[a,b],(a,b)分别表示a,b的最小公倍数和最大公因数.
解：
利用[a,b](a,b)=ab转化条件：
1/a+1/b+n/[a,b]=1/(a,b)
(a+b)/ab+n(a,b)/ab=1/(a,b)
a+b+n(a,b)=[a,b]
记(a,b)=d，则
a/d+b/d+n=(a/d)*(b/d)，
(a/d-1)(b/d-1)=n+1,
对于n=2007上式成为：
(a/d-1)(b/d-1)=2008=8*251=1*2008
故a/d=2,b/d=2009或者a/d=2009,b/d=2以及
a/d=9,b/d=252或者a/d=252,b/d=9（此二组舍去，因为a/d,b/d互质）
所以a,b的全部值为：
a=2d,b=2009d或者a=2009d,b=2d，其中d是任意正整数.
对于n=2010可得
(a/d-1)(b/d-1)=2011，2011是质数.
故a/d=2,b/d=2012或a/d=2012,b/d=2均不符合互质要求.此时无解。 a=xd,b=yd,d为a与b的最大公约数，(x,y)=1
1/xd+1/yd+N/xyd=1/d
1/x+1/y+N/xy=1
两边同乘以xy可得
y+x+N=xy
即(x-1)(y-1)=N+1
剩下的只是就具体情况对N+1进行因式分解了。
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？
分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？
我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？
已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。 我接着说：还是抽屉原理，（关键是不要走进单种颜色的数量的死胡同里。因为3双同色的只需要6只就够了，所以单种颜色的数量可看着足够大。）5个抽屉里要保证其中一抽屉最少有2要6件，这是1双，要3双，同理取3次得（6-2）+2+2+2=10。答最少要摸10只袜子才保证最少有3双同色袜子（当然有可能正好是同色5双——10只，也没大于15只，全题没矛盾）。抽屉原理有三个关键点，1、抽屉；2物件、3根据抽屉与物件的数量判断结论。意思就是只要告诉2个关键点，就能求出第三个关键点，就和时间、速度、路程的关系一样，只是这题里知道的是抽屉和结论求物件。
每当小学生进入到小学六年级的时候，都会经历一场奥林匹克数学竞赛的过程，我们一定要重视这场数学考试。下面是我网络整理的六年级奥林匹克数学竞赛试题卷以供大家学习参考。
六年级奥林匹克数学竞赛试题卷
一、认真思考，我能填。(20分)
⑴2 吨=( )吨( )千克。 6800毫升=( )升
⑵用1、2、3、6这四个数写出两道不同的比例式是( )
⑶ =( )÷60=2:5=( )%=( )小数
⑷比40米多25%是( )米。40米比( )米少20%。
⑸ ： 化成最简单的整数比是( )。
⑹大小两个圆的周长比是5：3，则两圆的面积比是( )。
⑺ =c，若a一定，b和c成( )比例;若b一定，a和c成( )比例。
⑻一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。
⑼在比例尺是20：1的图纸上，量得图上零件是20厘米，零件的实际长度是( )厘米。
⑽一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是9.42立方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
二、仔细推敲，我能辨。正确的在括号里打“√”，错误的打“×”。(5分)
1、圆锥的体积是圆柱体积的 。 ( )
2、周长相等的两个长方形，面积也一定相等。 ( )
3、在比例中，两个内项的积除以两个外项的积，商是1。 ( )
4、图上1厘米相当于地面上实际距离100米，这幅图的比例尺是1100 。( )
5、把10克的农药溶入90克的水中，农药与农药水的比是1:9。 ( )
三、反复比较，我能选。(10分)
1、圆锥的侧面展开后是一个( )。
A.圆 B.扇形 C.三角形 D.梯形
2、一个圆柱与圆锥体的体积相等，圆柱的底面积是圆锥体的底面积的3倍，圆锥体的高与圆柱的高的比为( )。
A. 3：1 B. 1：3 C.9：1 D.1：9
3、下列图形中对称轴最多的是( )。
A.圆形 B.正方形 C.长方形
4、甲乙两地相距170千米，在地图上量得的距离是3.4厘米，这幅地图的比例尺是( )。
A、1：500 B、1：5000000 C、1：50000
5、一个长方形的面积是12平方厘米，按1:4的比例尺放大后它的面积是( )。
A、48平方厘米 B、96平方厘米 C、192平方厘米
四、想清 方法 ，我能算。(28分)
1、直接写出得数。(8分)
- = 6-3.75= 6- = 0.32=
÷6= 7× ÷7× = ( + )×4= ÷ =
2、用你喜欢的方法计算。(12分)
①3.6+2.8+7.4+7.2 ②(14 +16 +512 )×36
③2-815 ×916 ④( + )÷ -
3、解方程(8分)
x÷ = 4∶x=3∶2.4
五、求阴影部分的体积。(单位：㎝)(3分)
六、操作题(4分)
1、把图A按2∶1的比放大。
2、把图B绕O点顺时针旋转90°。
六年级奥数应用题
1、某校有男生630人，男、女生人数的比是7∶8，这个学校女生有多少人?
2、在一幅比例尺是1:4000000的地图上，量得甲乙两地的距离是6厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，需要几小时?
3、一个圆锥形小麦堆，底面周长为18.84米，高1.5米。如果每立方米小麦重0.75吨，这堆小麦约重多少吨?(得数保留整数)
4、给一间房子铺地，如果用边长6分米的方砖，需要80块。如果改用边长8分米的方砖，需要多少块?
5、把一段长20分米的圆柱形木头截成5段后，表面积增加了80平方分米，那么这段圆木的体积是多少?
6、有一个高8厘米，容积50毫升的圆柱形容器，装满水，将一个圆柱形棒全部浸入容器水中，有水溢出。把棒从水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的体积。
六年级数学 复习重点
(一)分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。(第一个因数是什么都可以)
(二)分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数)。
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。(分子乘分子，分母乘分母)
(1)如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
(2)分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(3)在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数)。
(4)分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
(三)积与因数的关系：
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。
一个数(0除外)乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c 一个数(0除外)乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a 。 在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 (四)分数乘法混合运算 1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c (五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。 1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数) 2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：a×b=1则a、b互为倒数。 3、求倒数的方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。 ②求整数的倒数：整数分之1。 ③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。 ④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。 4、1的倒数是它本身，因为1×1=1 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。 5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。 假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。 (六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题 1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法) 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 2、巧找单位“1”的量：在含有分数(分率)的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。 3、什么是速度? 速度是单位时间内行驶的路程。 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间 单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。 4、求甲比乙多(少)几分之几? 多：(甲-乙)÷乙 少：(乙-甲)÷乙
分析：这是一个很典型的不等式问题，下面介绍两种思路自然、简洁明了的证法．两种证法都源于对变元地位的分析．由于已知条件实质是两个约束条件，因此自由变元为两个，于是左右两边可看作是自由变元的函数，实现问题的转换．
解答一：把左右两边均看作x3、x4的函数，因此左边关于x3、x4的最大值为(x1＋3x2)2，右边关于x3、x4的最小值为16x1x2，因此问题转化为证明不等式(x1＋3x2)2≤16x1x2．
而上式的证明是十分容易的．事实上
16x1x2－(x1＋3x2)2==(9x2－x1)( x1－x2)
≥(9x2－x2－x3－x4)( x1－x2)≥0．
解答二：令x1=k(x2＋x3＋x4)，则
这时原不等式变形为
上式左边是关于x3、x4的方程，其最大值为右边关于x3、x4的方程，其最小值为4x2，因此要证上式成立，只需证明
这里只要注意到上是减函数立得
得证．
因此，(x1＋x2＋x3＋x4)2≤4 x1x2x3x4． 证：
1)∵x1-x2≤x3+x4且两边均大于0
∴两边平方后整理得：x1^2+x2^2-x3^2-x4^2≤2x1x2+2x3x4＜4x1x2＜x1x2x3x4
∴x1^2+x2^2-x3^2-x4^2＜x1x2x3x4......*1
2)∵x4^2＜x3^2＜x2x3＜x1x3＜x1x2
∴2(x3^2)+x4^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜9x1x2＜3x1x2x3x4
∴2(x3^2)+x4^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜3x1x2x3x4......*2
3)*1式和*2式相加，得：
x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3＜4x1x2x3x4即得证.
以[a,b],(a,b)分别表示a,b的最小公倍数和最大公因数.
解：
利用[a,b](a,b)=ab转化条件：
1/a+1/b+n/[a,b]=1/(a,b)
(a+b)/ab+n(a,b)/ab=1/(a,b)
a+b+n(a,b)=[a,b]
记(a,b)=d，则
a/d+b/d+n=(a/d)*(b/d)，
(a/d-1)(b/d-1)=n+1,
对于n=2007上式成为：
(a/d-1)(b/d-1)=2008=8*251=1*2008
故a/d=2,b/d=2009或者a/d=2009,b/d=2以及
a/d=9,b/d=252或者a/d=252,b/d=9（此二组舍去，因为a/d,b/d互质）
所以a,b的全部值为：
a=2d,b=2009d或者a=2009d,b=2d，其中d是任意正整数.
对于n=2010可得
(a/d-1)(b/d-1)=2011，2011是质数.
故a/d=2,b/d=2012或a/d=2012,b/d=2均不符合互质要求.此时无解。 a=xd,b=yd,d为a与b的最大公约数，(x,y)=1
1/xd+1/yd+N/xyd=1/d
1/x+1/y+N/xy=1
两边同乘以xy可得
y+x+N=xy
即(x-1)(y-1)=N+1
剩下的只是就具体情况对N+1进行因式分解了。
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？
分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？
我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？
已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。 我接着说：还是抽屉原理，（关键是不要走进单种颜色的数量的死胡同里。因为3双同色的只需要6只就够了，所以单种颜色的数量可看着足够大。）5个抽屉里要保证其中一抽屉最少有2要6件，这是1双，要3双，同理取3次得（6-2）+2+2+2=10。答最少要摸10只袜子才保证最少有3双同色袜子（当然有可能正好是同色5双——10只，也没大于15只，全题没矛盾）。抽屉原理有三个关键点，1、抽屉；2物件、3根据抽屉与物件的数量判断结论。意思就是只要告诉2个关键点，就能求出第三个关键点，就和时间、速度、路程的关系一样，只是这题里知道的是抽屉和结论求物件。
每当小学生进入到小学六年级的时候，都会经历一场奥林匹克数学竞赛的过程，我们一定要重视这场数学考试。下面是我网络整理的六年级奥林匹克数学竞赛试题卷以供大家学习参考。
六年级奥林匹克数学竞赛试题卷
一、认真思考，我能填。(20分)
⑴2 吨=( )吨( )千克。 6800毫升=( )升
⑵用1、2、3、6这四个数写出两道不同的比例式是( )
⑶ =( )÷60=2:5=( )%=( )小数
⑷比40米多25%是( )米。40米比( )米少20%。
⑸ ： 化成最简单的整数比是( )。
⑹大小两个圆的周长比是5：3，则两圆的面积比是( )。
⑺ =c，若a一定，b和c成( )比例;若b一定，a和c成( )比例。
⑻一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。
⑼在比例尺是20：1的图纸上，量得图上零件是20厘米，零件的实际长度是( )厘米。
⑽一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是9.42立方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
二、仔细推敲，我能辨。正确的在括号里打“√”，错误的打“×”。(5分)
1、圆锥的体积是圆柱体积的 。 ( )
2、周长相等的两个长方形，面积也一定相等。 ( )
3、在比例中，两个内项的积除以两个外项的积，商是1。 ( )
4、图上1厘米相当于地面上实际距离100米，这幅图的比例尺是1100 。( )
5、把10克的农药溶入90克的水中，农药与农药水的比是1:9。 ( )
三、反复比较，我能选。(10分)
1、圆锥的侧面展开后是一个( )。
A.圆 B.扇形 C.三角形 D.梯形
2、一个圆柱与圆锥体的体积相等，圆柱的底面积是圆锥体的底面积的3倍，圆锥体的高与圆柱的高的比为( )。
A. 3：1 B. 1：3 C.9：1 D.1：9
3、下列图形中对称轴最多的是( )。
A.圆形 B.正方形 C.长方形
4、甲乙两地相距170千米，在地图上量得的距离是3.4厘米，这幅地图的比例尺是( )。
A、1：500 B、1：5000000 C、1：50000
5、一个长方形的面积是12平方厘米，按1:4的比例尺放大后它的面积是( )。
A、48平方厘米 B、96平方厘米 C、192平方厘米
四、想清 方法 ，我能算。(28分)
1、直接写出得数。(8分)
- = 6-3.75= 6- = 0.32=
÷6= 7× ÷7× = ( + )×4= ÷ =
2、用你喜欢的方法计算。(12分)
①3.6+2.8+7.4+7.2 ②(14 +16 +512 )×36
③2-815 ×916 ④( + )÷ -
3、解方程(8分)
x÷ = 4∶x=3∶2.4
五、求阴影部分的体积。(单位：㎝)(3分)
六、操作题(4分)
1、把图A按2∶1的比放大。
2、把图B绕O点顺时针旋转90°。
六年级奥数应用题
1、某校有男生630人，男、女生人数的比是7∶8，这个学校女生有多少人?
2、在一幅比例尺是1:4000000的地图上，量得甲乙两地的距离是6厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，需要几小时?
3、一个圆锥形小麦堆，底面周长为18.84米，高1.5米。如果每立方米小麦重0.75吨，这堆小麦约重多少吨?(得数保留整数)
4、给一间房子铺地，如果用边长6分米的方砖，需要80块。如果改用边长8分米的方砖，需要多少块?
5、把一段长20分米的圆柱形木头截成5段后，表面积增加了80平方分米，那么这段圆木的体积是多少?
6、有一个高8厘米，容积50毫升的圆柱形容器，装满水，将一个圆柱形棒全部浸入容器水中，有水溢出。把棒从水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的体积。
六年级数学 复习重点
(一)分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。(第一个因数是什么都可以)
(二)分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数)。
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。(分子乘分子，分母乘分母)
(1)如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
(2)分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(3)在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数)。
(4)分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
(三)积与因数的关系：
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。
一个数(0除外)乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c 一个数(0除外)乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a 。 在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 (四)分数乘法混合运算 1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c (五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。 1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数) 2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：a×b=1则a、b互为倒数。 3、求倒数的方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。 ②求整数的倒数：整数分之1。 ③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。 ④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。 4、1的倒数是它本身，因为1×1=1 0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。 5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。 假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。 (六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题 1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法) 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 2、巧找单位“1”的量：在含有分数(分率)的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。 3、什么是速度? 速度是单位时间内行驶的路程。 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间 单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。 4、求甲比乙多(少)几分之几? 多：(甲-乙)÷乙 少：(乙-甲)÷乙
