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反比例函数是数学中一类非常有特殊的函数，它与我们日常生活息息相关。在此，我们将深入探讨其图像及性质，以彰显其引人之处。
1. 反比例函数的图像
反比例函数的图像非常简单而有规律，在直角坐标系中它表现为一条双曲线。虽然每一条双曲线都具有类似的形状，但它们却具有不同的斜率和截距，因此在二维坐标系中可以利用不同的位置来表示不同的函数图像。另外，反比例函数图像还有一些特殊的性质，比如它右侧总是有一条渐近线。
2. 反比例函数的定义和性质
反比例函数的定义为y=k/x，其中k通常为实数。它的一个重要性质是其定义域为x≠0，值域为y≠0。它在直角坐标系中也没有对称轴和奇偶性等一般函数的特征。此外，反比例函数有以下重要性质：
当x增大时，y会逐渐减小。
当x趋于0时，y的值趋近于无穷大或负无穷大。
反比例函数具有对称性，即在其图像上的任意一点(x,y)，都存在另外一点(y,x)也在该图像上。
3. 反比例函数在生活中的应用
反比例函数在生活中有着非常广泛的应用。我们最熟悉的可能就是比例尺，在地图上我们可以看到不同的比例尺来表示不同比例尺的图像。此外，在加工业中，我们也常用反比例函数来控制机床的速度、加工质量等参数。同时，反比例函数在生物学和化学领域中也有着重要的应用，如酸碱度等pH值的数值计算就与反比例函数联系密切。
4. 总结
综上所述，反比例函数是一类特殊而广泛应用的函数，其图像简单、性质独特，可以用来描述不同对象之间的关系，利用在生活中得到了广泛的应用。对于学习反比例函数的人来说，只有深入理解其图像及性质，才能真正掌握该函数的运用。
1.反比例函数Y=x/k(k≠0）的图象是双曲线。
2.（1)k>时，图像是位于一、三象限，在每个象限双曲线内，Y随X的增大而减小。
（2）k<0时，图像是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，Y随X的增大而增大。
（3）注：a.y=x/k中，x≠0，故双曲线的两支是不相连的。
b.由于函数中x,y的值均不为0，所以双曲线的两个分支都无限的接近坐标轴，但永远不能和x轴、y轴相交。 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
9.2反比例函数的图象与性质
一、设计思路
本节课是在学习上节课初步感知反比例函数的图象特点基础上，进一步探索反比例函数的性质，形成数学能力．
本节课通过学生对一次函数的图象与性质复习，教者展示上节课学生所做书中练习的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据，从而使学生在对照正比例函数的性质的基础上，总结、归纳、揭示反比例函数的性质，并了解反比例函数的图象不可能与坐标轴相交的原因．运用类比的方法，使学生感受到学习反比例函数图象和性质与学习其它函数一样，要善于形数结合，由函数关系式联想到图象的位置及其性质，由图象和性质联想到比例系数K的符号，通过探究加深对反比例函数图象及性质的理解与领悟，提高了学生分析问题、解决问题的能力．
二、目标设计
1．认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用．
2．结合反比例函数的图象，揭示与其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义．
3．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
三、活动设计
活动内容 师生互动思考与安排
情境 展示学生上节课所做练习：y= ，y=－ ，y= ，y=－ ，y= ，y=－ 6个反比例函数的图象。
问题1：以前所学的正比例函数的图象是什么？展示的反比例函数的图象是什么？
问题2：你能将展示的6个反比例函数图象进行分类吗？并说明这样分类的依据。
问题3：反比例函数图象在形象、位置、增减性方面有哪些特征呢？
问题4：对照正比例函数的性质，讨论反比例函数的性质。
填表：
正比例函数y=kx 反比例函数y=
k>0 k<0 k>0 k<0
图象所在象限
增减性
说明：问题1是适当回顾正比例函数的图象名称及上节课所学反比例函数的图象名称。问题2引导学生分析探索6个反比例函数图象的分类与K值的关系．问题3鼓励学生积极思考、交流，不要求学生能说出所有特征，通过互相协作，探索，加深对反比例图象及性质的认识和理解．问题4通过类比，使学生自己总结得出反比例函数的性质，从而体会类比思想在研究数学问题上的重要作用．
四、例题设计
活动内容 师生互动思考与安排
例1 已知反比例函数y= 的图象经过A（2，－4）.
(1) 求K的值。
(2) 这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3) 画出函数的图象。
(4) 点B（ ，－16），C（－3，5）在这个函数的图象上吗？
说明：问题(1)中根据学习一次函数的经验，学生认识到在反比例函数y= 中只要常数k的值确定，反比例函数就确定，因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可。问题(2)中引导学生注意反比例函数的图象在两个象限，在描述反比例函数的性质时“在每个象限内”不可缺少，否则将出现错误。问题(4)中让学生会判断一个点是否在函数图象上的方法，即代入函数解析式中去看是否符合解析式。
例2 一次函数y=kx－k 与反比例函数y= 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
说明：解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象这一类题目的方法一般有两种：一是根据图象确定所含字母的取值范围，看字母系数的取在不同函数中是否一致；二是先假设字母系数的取值，确定不同函数的图象的位置，再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应。
例3 已知反比例函数 y= 的图象上有两点P(1,a), Q(b,2.5).
(1) 求a、b的值；
(2) 过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积；
(3) 过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积；
(4)过双曲线上任意一点A（m, n）作x轴(或y轴)的垂线，垂足为B，求△ABO的面积；
（5）你发现了什么规律？
说明：本题的重点的是第4小题“规律”的探究与揭示，通过对第2、3小题个案的探究，学生计算出了三角形的面积，并发现了面积值与反比例函数比例系数的关系，展示了数学研究的一个重要方法：从个案到规律，从特殊到一般，激发了学生探究的热情和学习数学的兴趣．
五、拓展练习
活动内容 师生互动思考与安排
1．举出2个具有下列特征的反比例函数
（1）图象分布在第一三象限.
（2）图象在每一个象限内，y随x增大而增大.
2．如图，P1、P2、P3、是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到△P1A1O1、△P2A2O、△P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3 . 则（ ）
A．S1﹤ S2﹤S3
B．S2﹤ S1﹤S3
C．S1﹤ S3﹤S2
D．S1 =S1、= S1
3．函数y= 与y=ax的图象的一个交点A的坐标是（－1，－3），
(1) 求这两个函数的解析式；
（2）在同一直角坐标系内，画出它们的图象；
（3）你能求出两个图象的另一个交点B的坐标吗？怎样求？
小学数学六年级下册《反比例》教学反思范文（精选6篇）
作为一位到岗不久的教师，课堂教学是我们的工作之一，借助教学反思可以快速提升我们的教学能力，那要怎么写好教学反思呢？下面是我帮大家整理的小学数学六年级下册《反比例》教学反思范文（精选6篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
以下是反比例函数的图像与性质：
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)。其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数是数学中一类非常有特殊的函数，它与我们日常生活息息相关。在此，我们将深入探讨其图像及性质，以彰显其引人之处。
1. 反比例函数的图像
反比例函数的图像非常简单而有规律，在直角坐标系中它表现为一条双曲线。虽然每一条双曲线都具有类似的形状，但它们却具有不同的斜率和截距，因此在二维坐标系中可以利用不同的位置来表示不同的函数图像。另外，反比例函数图像还有一些特殊的性质，比如它右侧总是有一条渐近线。
2. 反比例函数的定义和性质
反比例函数的定义为y=k/x，其中k通常为实数。它的一个重要性质是其定义域为x≠0，值域为y≠0。它在直角坐标系中也没有对称轴和奇偶性等一般函数的特征。此外，反比例函数有以下重要性质：
当x增大时，y会逐渐减小。
当x趋于0时，y的值趋近于无穷大或负无穷大。
反比例函数具有对称性，即在其图像上的任意一点(x,y)，都存在另外一点(y,x)也在该图像上。
3. 反比例函数在生活中的应用
反比例函数在生活中有着非常广泛的应用。我们最熟悉的可能就是比例尺，在地图上我们可以看到不同的比例尺来表示不同比例尺的图像。此外，在加工业中，我们也常用反比例函数来控制机床的速度、加工质量等参数。同时，反比例函数在生物学和化学领域中也有着重要的应用，如酸碱度等pH值的数值计算就与反比例函数联系密切。
4. 总结
综上所述，反比例函数是一类特殊而广泛应用的函数，其图像简单、性质独特，可以用来描述不同对象之间的关系，利用在生活中得到了广泛的应用。对于学习反比例函数的人来说，只有深入理解其图像及性质，才能真正掌握该函数的运用。
1.反比例函数Y=x/k(k≠0）的图象是双曲线。
2.（1)k>时，图像是位于一、三象限，在每个象限双曲线内，Y随X的增大而减小。
（2）k<0时，图像是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，Y随X的增大而增大。
（3）注：a.y=x/k中，x≠0，故双曲线的两支是不相连的。
b.由于函数中x,y的值均不为0，所以双曲线的两个分支都无限的接近坐标轴，但永远不能和x轴、y轴相交。 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
9.2反比例函数的图象与性质
一、设计思路
本节课是在学习上节课初步感知反比例函数的图象特点基础上，进一步探索反比例函数的性质，形成数学能力．
本节课通过学生对一次函数的图象与性质复习，教者展示上节课学生所做书中练习的6个反比例函数图象，引导学生进行分类并说明分类的依据，从而使学生在对照正比例函数的性质的基础上，总结、归纳、揭示反比例函数的性质，并了解反比例函数的图象不可能与坐标轴相交的原因．运用类比的方法，使学生感受到学习反比例函数图象和性质与学习其它函数一样，要善于形数结合，由函数关系式联想到图象的位置及其性质，由图象和性质联想到比例系数K的符号，通过探究加深对反比例函数图象及性质的理解与领悟，提高了学生分析问题、解决问题的能力．
二、目标设计
1．认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用．
2．结合反比例函数的图象，揭示与其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义．
3．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
三、活动设计
活动内容 师生互动思考与安排
情境 展示学生上节课所做练习：y= ，y=－ ，y= ，y=－ ，y= ，y=－ 6个反比例函数的图象。
问题1：以前所学的正比例函数的图象是什么？展示的反比例函数的图象是什么？
问题2：你能将展示的6个反比例函数图象进行分类吗？并说明这样分类的依据。
问题3：反比例函数图象在形象、位置、增减性方面有哪些特征呢？
问题4：对照正比例函数的性质，讨论反比例函数的性质。
填表：
正比例函数y=kx 反比例函数y=
k>0 k<0 k>0 k<0
图象所在象限
增减性
说明：问题1是适当回顾正比例函数的图象名称及上节课所学反比例函数的图象名称。问题2引导学生分析探索6个反比例函数图象的分类与K值的关系．问题3鼓励学生积极思考、交流，不要求学生能说出所有特征，通过互相协作，探索，加深对反比例图象及性质的认识和理解．问题4通过类比，使学生自己总结得出反比例函数的性质，从而体会类比思想在研究数学问题上的重要作用．
四、例题设计
活动内容 师生互动思考与安排
例1 已知反比例函数y= 的图象经过A（2，－4）.
(1) 求K的值。
(2) 这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3) 画出函数的图象。
(4) 点B（ ，－16），C（－3，5）在这个函数的图象上吗？
说明：问题(1)中根据学习一次函数的经验，学生认识到在反比例函数y= 中只要常数k的值确定，反比例函数就确定，因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可。问题(2)中引导学生注意反比例函数的图象在两个象限，在描述反比例函数的性质时“在每个象限内”不可缺少，否则将出现错误。问题(4)中让学生会判断一个点是否在函数图象上的方法，即代入函数解析式中去看是否符合解析式。
例2 一次函数y=kx－k 与反比例函数y= 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
说明：解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象这一类题目的方法一般有两种：一是根据图象确定所含字母的取值范围，看字母系数的取在不同函数中是否一致；二是先假设字母系数的取值，确定不同函数的图象的位置，再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应。
例3 已知反比例函数 y= 的图象上有两点P(1,a), Q(b,2.5).
(1) 求a、b的值；
(2) 过点P作y轴的垂线交于点M，求△PMO的面积；
(3) 过点Q作x轴的垂线交于点N，求△QNO的面积；
(4)过双曲线上任意一点A（m, n）作x轴(或y轴)的垂线，垂足为B，求△ABO的面积；
（5）你发现了什么规律？
说明：本题的重点的是第4小题“规律”的探究与揭示，通过对第2、3小题个案的探究，学生计算出了三角形的面积，并发现了面积值与反比例函数比例系数的关系，展示了数学研究的一个重要方法：从个案到规律，从特殊到一般，激发了学生探究的热情和学习数学的兴趣．
五、拓展练习
活动内容 师生互动思考与安排
1．举出2个具有下列特征的反比例函数
（1）图象分布在第一三象限.
（2）图象在每一个象限内，y随x增大而增大.
2．如图，P1、P2、P3、是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到△P1A1O1、△P2A2O、△P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3 . 则（ ）
A．S1﹤ S2﹤S3
B．S2﹤ S1﹤S3
C．S1﹤ S3﹤S2
D．S1 =S1、= S1
3．函数y= 与y=ax的图象的一个交点A的坐标是（－1，－3），
(1) 求这两个函数的解析式；
（2）在同一直角坐标系内，画出它们的图象；
（3）你能求出两个图象的另一个交点B的坐标吗？怎样求？
小学数学六年级下册《反比例》教学反思范文（精选6篇）
作为一位到岗不久的教师，课堂教学是我们的工作之一，借助教学反思可以快速提升我们的教学能力，那要怎么写好教学反思呢？下面是我帮大家整理的小学数学六年级下册《反比例》教学反思范文（精选6篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
以下是反比例函数的图像与性质：
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)。其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
