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如图：CD∥AB，∠O=∠ABO，∠BAC=∠BCA，∠BCD=40°，求∠O的度数．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：由AB∥CD，可得∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）；又因为△ABC的内角和为180°，可得∠BAC，又因为∠O=∠ABO，∠BAC=∠O+∠ABO（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），求得∠O．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，
∵∠BAC=∠BCA，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠BAC=70°，
∵∠O=∠ABO，∠BAC=∠O+∠ABO，
∴∠O=35°． 解：
∵CD∥AB
∴∠DCB=∠CBA=40°
∵AB=BC
∴△ACB是等腰三角形
∴∠BCA=∠CAB=1/2（180°-∠CBA）=70°
∵∠CAB是△ABO的外角
∴∠CAB=∠ABO+∠AOB=70°
∵OA=AB
∴△ABO是等腰三角形
∴∠COD=∠ABO=∠AOB=1/2∠CAB=35°
答：∠COD=35°
【分析】
（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=3√3，DC=6，推出AB=DF=3√3，BC=3√3，求出AD=DF=3√3-3即可；
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案。
【解答】
解：
（1）
∵∠BEC=75°，∠ABC=90°
∴∠ECB=15°
∵∠ECD=45°
∴∠DCF=60°
在Rt△DFC中：
∠DCF=60°，FC=3
∴DF=3√3，DC=6
由题得：
四边形ABFD是矩形
∴AB=DF=3√3
∴ED=BE+FC （1）解：因为角ABC=90度
角BEC=75度
角BEC+角ABC+角BCE=180度
所以角BCE=30度
因为角ECD=45度
角ECD+角BCE=角DCF
所以角DCF=60度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角CDF=30度
所以CF=1/2DC
DC^2=CF^2+DF^2
因为CF=3
所以DC=6
DF=3倍根号3
因为角ABC=角DFC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AD=BF
AB=DF
因为AB=BC
所以AB=BC=3倍根号3
因为BC=BF+CF
所以AD=BF=3倍根号3-3
因为梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+DC=3*3倍根号3-3+6=9倍根号3+3
所以梯形ABCD的周长=9倍根号3+3
（2）若角BEC=75度，则结论成立
证明：延长AB，使BG=CF，连接CG
因为角ABC+角GBC=180度
因为角ABC=90度
所以角GBC=90度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角DFC=角ABC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AB=DF
因为角GBC=角DFC
BG=CF
所以直角三角形GBC和直角三角形CFD全等（SAS)
所以CG=CD
角GCB=角CDF
因为角CDF=30度（已证）
所以角GCB=30度
因为角BCE=15度（已证）
所以角GCE=角GCB+角BCE=15+30=45度
所以角GCE=角ECD=45度
因为CE=CE
所以三角形GCB和三角形DCE全等（SAS)
所以DE=GE
因为GE=BG+BE
所以ED=BE+CF
(1) 延长GFAD交于点H，易证得三角形DFH≌三角形BCF（AAS），所以BC＝DH
因为AD＝BC 所以AD＝DH 又因为∠AGH＝90度，所以GD＝AD
（2） （1）D E不是BC的三等分点 （2）尚未想出
（3）延长AE交BC于G， 延长AF交BC于H
因为CE平分角C，AE⊥CE，GE⊥EC， 所以AE＝EG（三线合一） 同理AF＝FH
所以EF∥GH 即EF∥BC
（4）（1）在AB上截取EF，使EF＝BE，在AC上截取DG使DG＝DC
∵EF＝BE，CE⊥BF∴BC＝CF 又∵EF＝BE，BM＝MC∴ME＝1/2BG（中位线） 同理可得：BC＝BG，MD＝1/2BG 又因为BC＝CF＝BG
所以MD＝EM
（2）∵MD＝EM ，EN＝ND∴MN⊥ED
（5）（1）反向延长BE至G，使BG＝地方，连结AG
∵BG⊥AB 角ADF＝90度∴角ABG＝角D 又因为AD＝AB，DF＝BG
所以三角形ABG≌三角形ADF ∴角DAF＝角BAG 因为角EAF＝45度，
所以角DAF+角EAB＝45度 所以角EAG＝角EAF 又因为AE＝AE，AF＝AG
所以三角形AFE≌三角形AEG 所以EG＝EF，所以EF＝BE+DF
（2） 因为CF+CE＝2BC-BE-DF＝2BC-EF
又因为EF恒不变，所以2BC-EF恒不变 所以C三角形CEF恒不变
看在辛苦码字即写了这么多步骤，请采纳吧 第2题明天想出再码
第二题想出来了，解答如下
2.（2）取BC中点F，连接AF
由两边之和大于第三边 ，可做如下解答
因为DF+AF＞AD①，AF+EF＞AE②，AF+CF＞AC③，AF+BF＞AB④
所以 ①+②:DE+2AF＞AD+AE⑤ ③+④:2AF+BC＞AB+AC⑥
⑤-⑥：DE-BC +2AF-2AF＞AD+AE-AB-AC
因为DE-BC＜0(由图) 所以AD+AE-(AB+AC)＜0 所以AB+AC＞AD+AE 题目一 这个可以这样的：
取AB的中点H，连接DH交AE于p点
易证得ΔDAH≌ΔABE
在正方形ABCD中，E、F是边BC、EF的中点，AE＝BF且AE⊥BF
则ΔBCF≌ΔABE
那么，DH⊥AE AE⊥BF → DH∥BF
有 H是AB中点 HP应为ΔABG的中位线
则 P平分AG DH⊥AG
ΔDAP≌ΔDGP
那么 AD=DG
第5题 可以的
过A作AG⊥EF交EF于G
易证 ΔADF≌ΔAGF ΔABE≌ΔAGE
则 DF=GF BE=GE
那么 EF=BE+DF 得证
ΔCEF的周长 l=CF+FE+EC=(CF+DF)+(BE+EC)=DC+BC
所以 周长是不变的
几何图形八大模型是指在平面几何中，常用的、基本的、重要的八种几何模型。
1、平行模型：包括平行线、平行四边形、菱形、梯形等。这些图形在位置关系上具有平行性质，可以借助平行线的性质解决相关问题。
2、垂直模型：包括正方形、矩形、等腰直角三角形等。这些图形在位置关系上具有垂直性质，可以借助垂直线的性质解决相关问题。
3、角平分线模型：角平分线上的点到角两边的距离相等。这个性质可以用于证明线段相等，也可以用于在两个三角形中寻找相等的角。
4、三角形模型：三角形是几何学中最基本的图形之一，许多其他图形都可以看作是三角形的组合。在解决几何问题时，三角形模型的应用非常广泛。
5、等腰三角形模型：等腰三角形是特殊的三角形，具有两边相等、两角相等的性质。这个模型可以用于证明角相等、线段相等等问题。
如图：CD∥AB，∠O=∠ABO，∠BAC=∠BCA，∠BCD=40°，求∠O的度数．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：由AB∥CD，可得∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）；又因为△ABC的内角和为180°，可得∠BAC，又因为∠O=∠ABO，∠BAC=∠O+∠ABO（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），求得∠O．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，
∵∠BAC=∠BCA，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠BAC=70°，
∵∠O=∠ABO，∠BAC=∠O+∠ABO，
∴∠O=35°． 解：
∵CD∥AB
∴∠DCB=∠CBA=40°
∵AB=BC
∴△ACB是等腰三角形
∴∠BCA=∠CAB=1/2（180°-∠CBA）=70°
∵∠CAB是△ABO的外角
∴∠CAB=∠ABO+∠AOB=70°
∵OA=AB
∴△ABO是等腰三角形
∴∠COD=∠ABO=∠AOB=1/2∠CAB=35°
答：∠COD=35°
【分析】
（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=3√3，DC=6，推出AB=DF=3√3，BC=3√3，求出AD=DF=3√3-3即可；
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案。
【解答】
解：
（1）
∵∠BEC=75°，∠ABC=90°
∴∠ECB=15°
∵∠ECD=45°
∴∠DCF=60°
在Rt△DFC中：
∠DCF=60°，FC=3
∴DF=3√3，DC=6
由题得：
四边形ABFD是矩形
∴AB=DF=3√3
∴ED=BE+FC （1）解：因为角ABC=90度
角BEC=75度
角BEC+角ABC+角BCE=180度
所以角BCE=30度
因为角ECD=45度
角ECD+角BCE=角DCF
所以角DCF=60度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角CDF=30度
所以CF=1/2DC
DC^2=CF^2+DF^2
因为CF=3
所以DC=6
DF=3倍根号3
因为角ABC=角DFC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AD=BF
AB=DF
因为AB=BC
所以AB=BC=3倍根号3
因为BC=BF+CF
所以AD=BF=3倍根号3-3
因为梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+DC=3*3倍根号3-3+6=9倍根号3+3
所以梯形ABCD的周长=9倍根号3+3
（2）若角BEC=75度，则结论成立
证明：延长AB，使BG=CF，连接CG
因为角ABC+角GBC=180度
因为角ABC=90度
所以角GBC=90度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角DFC=角ABC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AB=DF
因为角GBC=角DFC
BG=CF
所以直角三角形GBC和直角三角形CFD全等（SAS)
所以CG=CD
角GCB=角CDF
因为角CDF=30度（已证）
所以角GCB=30度
因为角BCE=15度（已证）
所以角GCE=角GCB+角BCE=15+30=45度
所以角GCE=角ECD=45度
因为CE=CE
所以三角形GCB和三角形DCE全等（SAS)
所以DE=GE
因为GE=BG+BE
所以ED=BE+CF
(1) 延长GFAD交于点H，易证得三角形DFH≌三角形BCF（AAS），所以BC＝DH
因为AD＝BC 所以AD＝DH 又因为∠AGH＝90度，所以GD＝AD
（2） （1）D E不是BC的三等分点 （2）尚未想出
（3）延长AE交BC于G， 延长AF交BC于H
因为CE平分角C，AE⊥CE，GE⊥EC， 所以AE＝EG（三线合一） 同理AF＝FH
所以EF∥GH 即EF∥BC
（4）（1）在AB上截取EF，使EF＝BE，在AC上截取DG使DG＝DC
∵EF＝BE，CE⊥BF∴BC＝CF 又∵EF＝BE，BM＝MC∴ME＝1/2BG（中位线） 同理可得：BC＝BG，MD＝1/2BG 又因为BC＝CF＝BG
所以MD＝EM
（2）∵MD＝EM ，EN＝ND∴MN⊥ED
（5）（1）反向延长BE至G，使BG＝地方，连结AG
∵BG⊥AB 角ADF＝90度∴角ABG＝角D 又因为AD＝AB，DF＝BG
所以三角形ABG≌三角形ADF ∴角DAF＝角BAG 因为角EAF＝45度，
所以角DAF+角EAB＝45度 所以角EAG＝角EAF 又因为AE＝AE，AF＝AG
所以三角形AFE≌三角形AEG 所以EG＝EF，所以EF＝BE+DF
（2） 因为CF+CE＝2BC-BE-DF＝2BC-EF
又因为EF恒不变，所以2BC-EF恒不变 所以C三角形CEF恒不变
看在辛苦码字即写了这么多步骤，请采纳吧 第2题明天想出再码
第二题想出来了，解答如下
2.（2）取BC中点F，连接AF
由两边之和大于第三边 ，可做如下解答
因为DF+AF＞AD①，AF+EF＞AE②，AF+CF＞AC③，AF+BF＞AB④
所以 ①+②:DE+2AF＞AD+AE⑤ ③+④:2AF+BC＞AB+AC⑥
⑤-⑥：DE-BC +2AF-2AF＞AD+AE-AB-AC
因为DE-BC＜0(由图) 所以AD+AE-(AB+AC)＜0 所以AB+AC＞AD+AE 题目一 这个可以这样的：
取AB的中点H，连接DH交AE于p点
易证得ΔDAH≌ΔABE
在正方形ABCD中，E、F是边BC、EF的中点，AE＝BF且AE⊥BF
则ΔBCF≌ΔABE
那么，DH⊥AE AE⊥BF → DH∥BF
有 H是AB中点 HP应为ΔABG的中位线
则 P平分AG DH⊥AG
ΔDAP≌ΔDGP
那么 AD=DG
第5题 可以的
过A作AG⊥EF交EF于G
易证 ΔADF≌ΔAGF ΔABE≌ΔAGE
则 DF=GF BE=GE
那么 EF=BE+DF 得证
ΔCEF的周长 l=CF+FE+EC=(CF+DF)+(BE+EC)=DC+BC
所以 周长是不变的
几何图形八大模型是指在平面几何中，常用的、基本的、重要的八种几何模型。
1、平行模型：包括平行线、平行四边形、菱形、梯形等。这些图形在位置关系上具有平行性质，可以借助平行线的性质解决相关问题。
2、垂直模型：包括正方形、矩形、等腰直角三角形等。这些图形在位置关系上具有垂直性质，可以借助垂直线的性质解决相关问题。
3、角平分线模型：角平分线上的点到角两边的距离相等。这个性质可以用于证明线段相等，也可以用于在两个三角形中寻找相等的角。
4、三角形模型：三角形是几何学中最基本的图形之一，许多其他图形都可以看作是三角形的组合。在解决几何问题时，三角形模型的应用非常广泛。
5、等腰三角形模型：等腰三角形是特殊的三角形，具有两边相等、两角相等的性质。这个模型可以用于证明角相等、线段相等等问题。
