赚现金
初中数学几何竞赛题目录
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,最大的高为ha,最小的高为hc.求证 hc≤R+r≤ha.命题不正确，在锐角三角形中成立.证明 设I,O分别是非钝角△ABC的内心和外心.令I在高AD上的投影为E,熟知AI平分∠QAE,BI在AB上的射影≤AB/2.∴∠AOI≥90°.AO2sinA*sinB
答：BC与MN的长度之比是4：3.
证明：因三角形AMN周长等于四边形MBCN的周长，可列式
AM+MN+AN=MN+MB+BC+NC
化简，得 AM+AN=MB+BC+NC
又因为 AB=BC=AC,且MN平行于BC,则MB=NC
把AM,AN都用BC-MB来代替，NC用MB来代替，得
BC-MB+BC-MB=MB+BC+MB
解得 BC=4MB
在BC上取四等分点，从左向右依次为D,E,F。
连接 MD，可知，三角形BDM是等边三角形，角BDM=60度=角C
则四边形 CDMN为平行四边形
由此可知 MN=3/4BC 即BC:MN=4:3
如图，做CN⊥AB交DE于点M，则S△ABD=DE*MN、S△BDE=AB*MN，因为D为AC上一点，所以DE<AB，所以S△BDE<S△ABD，所以Y只能是△DCE或△BDE点面积！
又因为S△DCE=DE*MC，S△BDE=DE*MN，且MN+MC=NC为定长！设DE:AB=X（X<1），则S△DCE=S=X*X，S△DEB=(1-X)*X*X，可以看出S△DEB=S△DCE-X*X*X，所以Y只能是S△DEB=(1-X)*X*X
接下来点问题就是求(X*X-X*X*X)的最大值点问题了！
求(X*X-X*X*X)的最大值时记得使用均值不等式！
X*X-X*X*X=X*X*(1-X)=(1/2)*X*X*(2-2X)然后对X*X*(2-2X)用均值不等式就行了！
结果是当且仅当X=2/3时，Y有最大值，最大值为 4/27
明白了吗？
初中数学几何竞赛题目录
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,最大的高为ha,最小的高为hc.求证 hc≤R+r≤ha.命题不正确，在锐角三角形中成立.证明 设I,O分别是非钝角△ABC的内心和外心.令I在高AD上的投影为E,熟知AI平分∠QAE,BI在AB上的射影≤AB/2.∴∠AOI≥90°.AO2sinA*sinB
答：BC与MN的长度之比是4：3.
证明：因三角形AMN周长等于四边形MBCN的周长，可列式
AM+MN+AN=MN+MB+BC+NC
化简，得 AM+AN=MB+BC+NC
又因为 AB=BC=AC,且MN平行于BC,则MB=NC
把AM,AN都用BC-MB来代替，NC用MB来代替，得
BC-MB+BC-MB=MB+BC+MB
解得 BC=4MB
在BC上取四等分点，从左向右依次为D,E,F。
连接 MD，可知，三角形BDM是等边三角形，角BDM=60度=角C
则四边形 CDMN为平行四边形
由此可知 MN=3/4BC 即BC:MN=4:3
如图，做CN⊥AB交DE于点M，则S△ABD=DE*MN、S△BDE=AB*MN，因为D为AC上一点，所以DE<AB，所以S△BDE<S△ABD，所以Y只能是△DCE或△BDE点面积！
又因为S△DCE=DE*MC，S△BDE=DE*MN，且MN+MC=NC为定长！设DE:AB=X（X<1），则S△DCE=S=X*X，S△DEB=(1-X)*X*X，可以看出S△DEB=S△DCE-X*X*X，所以Y只能是S△DEB=(1-X)*X*X
接下来点问题就是求(X*X-X*X*X)的最大值点问题了！
求(X*X-X*X*X)的最大值时记得使用均值不等式！
X*X-X*X*X=X*X*(1-X)=(1/2)*X*X*(2-2X)然后对X*X*(2-2X)用均值不等式就行了！
结果是当且仅当X=2/3时，Y有最大值，最大值为 4/27
明白了吗？
