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第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.6函数模型及其应用

重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．

考纲要求：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；

②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

经典例题：1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿．

当堂练习：

1．某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（ ）

A．8 　　　　　 　B．112 　　　　　　 C．58 　　　　　　D．18

2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（ ）

A．多赚5.92元 　　　B．少赚5.92元 　　　C．多赚28.92元 　　　D．盈利相同

3．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（ ）件(即生产多少件以上自产合算)

A．1000 　　　 B．1200 　 C．1400 　 D．1600

4．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据．

x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00

y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02

则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （ ）

A．y=a+bX 　　　　　 B．y=a+bx 　　　 C．y=a+logbx 　　　　 D．y=a+b/x

5．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0

A．100台 　　B．120台 　C．150台 　　 D．180台

6．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．

7．某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。试求y与x之间的关系式 ．

在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为 时，才能时每月获得最大利润．

每月的最大利润是 　　 ．

8．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入 　　 广告费,才能获得最大的广告效应．

9．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数 　　 时, 按（2）方法更省钱．

10．一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是 　　 ．

11．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．

12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．

13．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元， 统计其销售数量为b个．

(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．

(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．

14．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为l万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好．并说明理由．

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必修1 第一章 集合测试

一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)

1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ）

A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木

C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市

2．方程组的解构成的集合是 （ ）

A． B． C．（1，1） D．

3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ）

A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d}

4．下列图形中，表示的是 （ ）

5．下列表述正确的是 （ ）

A. B. C. D.

6、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参

加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为　 ( )

A.A∩B　　 B.AB　 C.A∪B　　 D.AB

7.集合A={x} ,B={} ,C={}

又则有 （ ）

A.（a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（ ）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

9.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，

6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

A. B. C. D.

11.设集合， ( )

A． B． C． D．

12. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 （ ）

A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定

二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)

13．用描述法表示被3除余1的集合 ．

14．用适当的符号填空：

（1） ； （2）{1，2，3} N；

（3）{1} ； （4）0 ．

15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 .

16.已知集合，，那么集合 ， ， .

三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合．

18. 已知集合，集合，若满足 ，求实数a的值．

19. 已知方程．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；

（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值

20. 已知集合，，，若满足，求实数a的取值范围．

必修1 函数的性质

一、选择题：

1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）

A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y= D．y=2x2＋x＋1

2.函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函

数，则f(1)等于 （ ）

A．－7 B．1 C．17 D．25

3.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）

A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)

4.函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ）

A．(0，) B．( ，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5.函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内 （ ）

A．至少有一实根 B．至多有一实根

C．没有实根 D．必有唯一的实根

6.若满足，则的值是 （ ）

5 6

7.若集合，且，则实数的集合（ ）

8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)

＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

9．函数的递增区间依次是 （ ）

A． B．

C． D

10．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围 （ ）

A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3

11. 函数，则 （　 ）

12．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数则 （ ）

A． B．

C． D．

.二、填空题：

13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．

14．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈－2，＋时是增函数，当x∈－，－2时是减函

数，则f（1）＝ 。

15. 若函数是偶函数，则的递减区间是_____________.

16．函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．证明函数f（x）＝在（－2，＋）上是增函数。

18.证明函数f（x）＝在［3,5］上单调递减，并求函数在［3,5］的最大值和最小值。

19. 已知函数

⑴ 判断函数的单调性，并证明；

⑵ 求函数的最大值和最小值．

20．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足

的的集合．

必修1 函数测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.函数的定义域为 （ ）

A B C D

2．下列各组函数表示同一函数的是 （ ）

A． B．

C． D．

3．函数的值域是 （ ）

A 0，2，3 B 　　 C 　 　D

4.已知，则f(3)为 （ ）

A 2 B 3 C 4 D 5

5.二次函数中，，则函数的零点个数是 （ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定

6.函数在区间上是减少的，则实数的取值范（ ）

A B C D

7.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，

若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生

走法的是 （ ）

8.函数f(x)=|x|+1的图象是 （ ）

9.已知函数定义域是，则的定义域是 （ ）

A. B. C. D.

10．函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

11.若函数为偶函数，则的值是 （ ）

A. B. C. D.

12.函数的值域是 （ ）

A. B. C. D.

二、填空题(共4小题，每题4分，共16分,把答案填在题中横线上)

13.函数的定义域为 ;

14.若

15.若函数，则=

16.函数上的最大值是 ，最小值是 .

三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．求下列函数的定义域：

（1）y＝ （2）y＝＋＋

（3）y＝ （4）y＝＋(5x－4)0

18．指出下列函数的定义域、值域、单调区间及在单调区间上的单调性。

（1）y＝ （2）y＝x＋

19.对于二次函数，

（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；

（2）求函数的最大值或最小值；

（3）分析函数的单调性。

20.已知A=，B＝．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

必修1 第二章 基本初等函数(1)

一、选择题:

1.的值 （　　　　）

A B 8 C －24 D －8

2.函数的定义域为 （　　　　）

A B 　 　 C D

3.下列函数中，在上单调递增的是 （ ）

A B C D

4.函数与的图象 （ ）

A 关于轴对称 B 关于轴对称

C 关于原点对称 D 关于直线对称

5.已知，那么用表示为 （ ）

A B C D

6.已知，，则 （ ）

A B C D

7.已知函数f(x)=2x,则f(1—x)的图象为 （ ）

A B C D

8.有以下四个结论 ① lg(lg10)=0 ② lg(lne)=0 ③若10=lgx,则x=10 ④ 若e=lnx,则

x=e2, 其中正确的是 （ ）

A. ① ③ B.② ④ C. ① ② D. ③ ④

9.若y=log56·log67·log78·log89·log910,则有 （ ）

A. y(0 , 1) B . y(1 , 2 ) C. y(2 , 3 ) D. y=1

10.已知f(x)=|lgx|,则f()、f()、f(2) 大小关系为 （ ）

A. f(2)> f()>f() B. f()>f()>f(2)

C. f(2)> f()>f() D. f()>f()>f(2)

11.若f(x)是偶函数，它在上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ ）

A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)

12.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ ）

A. a2>b2 B. <1 C. >0 D.<

二、填空题:

13. 当x[-1,1]时，函数f(x)=3x-2的值域为

14.已知函数则_________.

15.已知在上是减函数，则的取值范围是_________

16．若定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则不等式

f（log4x）＞0的解集是______________．

三、解答题:

17.已知函数

（1）作出其图象；

（2）由图象指出单调区间；

（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？

18. 已知f(x)=log a (a>0, 且a≠1）

（1）求f(x)的定义域

（2）求使 f(x)>0的x的取值范围.

19. 已知函数在区间[1，7]上的最大值比最小值大，求a的值。

20.已知

（1）设，求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值；

必修1 第二章 基本初等函数(2)

一、选择题：

1、函数y＝logx＋3（x≥1）的值域是 （ ）

A. B.（3，＋∞） C. D.（－∞，＋∞）

2、已知，则= （ ）

A、100 B、 C、 D、2

3、已知，那么用表示是 （ ）

A、 B、 C、 D、

4．已知函数在区间上连续不断，且，则下列说法正

确的是 （ ）

A．函数在区间或者上有一个零点

B．函数在区间、 上各有一个零点

C．函数在区间上最多有两个零点

D．函数在区间上有可能有2006个零点

5．设,用二分法求方程内近似解的过程

中取区间中点，那么下一个有根区间为 ( )

A．（1,2） B．（2,3） C．（1,2）或（2,3） D．不能确定

6. 函数的图象过定点 （ ）

A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）

7. 设，则a、b的大小关系是 （ ）

A.b＜a＜1 B. a＜b＜1 C. 1＜b＜a D. 1＜a＜b

8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是 （ ）

A. B. C. D.

9．方程 的三根 ,,，其中<<，则所在的区间为 （ ）

A ． B ． ( 0 , 1 ) C ． ( 1 , ) D ． ( , 2 )

10.值域是（0，＋∞）的函数是 （ ）

A、 B、 C、 D、

11．函数y= | lg（x-1）| 的图象是 （ ）

12.函数的单调递增区间是 ( )

A、 B、 C、（0，+∞） D、

二、填空题：

13.计算： ＝ ．

14．已知幂函数的图像经过点（2，32）则它的解析式是 .

15．函数的定义域是 ．

16．函数的单调递减区间是_______________．

三、解答题

17．求下列函数的定义域：

（1） （2）

18. 已知函数，（1）求的定义域；

（2）使 的的取值范围.

19. 求函数y=3的定义域、值域和单调区间．

20． 若0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值

必修1 高一数学基础知识试题选

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷60分，共120分,

答题时间90分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有 ( ) 现在高中也是自己出题自己做？

高中数学经典题型60道

.今有人共买鸡,人出九,盈十一,人出六,不足十六,问人数,鸡几何?

答案:

设鸡的数目为x,成本为y,则

9x-11=y

6x+16=y

解得x=9 y=70

2.有井不知深，先将绳三折入井，井外绳长四尺，后将绳四折入井，井外绳长一尺。问：井深绳长各几何？

答案:

井深x

绳长y

x+4=y/3

x+1=y/4

x=8

y=36

井深8尺

绳长36尺

3.今有物，不知其数．三三之数，剩二．五五之数，剩三．七七之数，剩二．问物几何？

答案:被3除的余数2乘上五和七的公倍数中除3余1的70得140

被5除的余数3乘上三和七的公倍数中除5余1的21得63

被7除的余数2乘上五和三的公倍数中除7余1的15得30

三个数相加得233，加上或减去105的整倍数即可

这是传说中的中国剩余定理的特例……

百鸡问题

《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。

秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。

物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"

这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？

变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。

这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。

我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？

这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。

例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。

要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+ 15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，

五树梅花甘一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：

70×2+21×3+15×4=263，

263=2×105+53，

所以，这队士兵至少有53人。

在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：

70是5与7的倍数，而用3除余1；

21是3与7的倍数，而用5除余1；

15是3与5的倍数，而用7除余1。

因而

70×2是5与7的倍数，用3除余2；

21×3是3与7的倍数，用5除余3；

15×4是3与5的倍数，用7除余4。

如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，

70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)

能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。

我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？

为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。

为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。

为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。

3、5、7的最小公倍数是105，所以"除百零五便得知"。

例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。

解：我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。

我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。

最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。

利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：

105×3+196×2+120×5=1307。

由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。

一般地，

105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)

是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。

上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

35+196×2+120×5=1027

就是符合题意的数。

1027=7×140+47，

由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。

《算法统宗》中把在以3、5、7为除数"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。

凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。

上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。

高中数学大题及答案

解：

f(x)

=cos²x-sin²x+2√3sinxcosx

=cos2x+√3sin2x

=2[(1/2)cos2x+(√3/2)sin2x]

=2sin(2x+π/6)

1、函数f(x)的最小正周期为π，

2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+3π/2

单调递减区间是[kπ+π/6，kπ+2π/3]；

2、现将纵坐标缩小为原来的1/2倍，横坐标不变

再将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变

最后向左平移π/3个单位即可

3、f(A)=1

sin(2x+π/6)=1/2

2x+π/6=π/6+2kπ

x=kπ

2x+π/6=5π/6+2kπ

2x=2π/3+2kπ

x=π/3+kπ

∵A为三角形的内角

∴A=π/3 （1）f(x)=cos²x-sin²x+2√3sinxcosx

=cos2x+√3sin2x

=2sin(2x+π/6)

最小正周期为π

单调递增区间2kπ-2/π≤2x+π/6≤2kπ+2/π自己把x解出来，写成区间形式

（3）因为f(A)=1

所以f(A)=2sin(2A+π/6)=1

A=60度

a/sina=b/sinb=c/sinc=2

b=2sinb c=2sinc

b+c=2sinb+2sinc=2sin(a+c)+2sinc=2sinacosc+2cosasinc+2sinc=√3cosc+3sinc=2√3sin（c+π/6）

0度≤c≤120度

30度≤c+π/6≤150度

所以b+c最大2√3