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循环小数、有限小数、无限小数
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页
教学目标：
1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。
4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。
教学重难点：
重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义
难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。
教学准备：多媒体课件、实物投影台
教学过程：
一、创设情境，激趣导入
谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图）
现在请看本节课的学习目标
1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。
认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考：
1.仔细观察185÷75,你发现了什么？
2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？
3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？
（5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）
二、自主探索，获取新知
（一）根据算式得出循环小数的概念
1．解决问题 发现规律
教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？
学生口答算式：185÷75
让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。
学生汇报：185÷75=2.4666……（板书）
生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。
师：真棒，观察的很仔细。
@天道酬勤1136
现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？
自主计算：8.05÷3.7
生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书）
2．小组讨论 汇报交流
整理出示：185÷33=5.606060……
185÷75=2.4666……
8.05÷3.7=2.1756756……
根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。）
学生汇报：
（1）怎么除都除不尽
（2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666……（数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。
师生小结：都有数字依次不断地重复出现。
（3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……
师生小结：小数的循环一定是从小数部分的某一位开始的
（4）重复的数字的个数不一样，引导学生分析：5.606060……（6、0两个数字重复）2.4666……（6一个数字重复）8.05÷3.7=2.1756756……（7、5、6重复的）
师生小结：一个或者几个数字重复出现
（5）重复的数字都是从小数部分的某一位起开始重复的，5.606060……（从小数部分的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数部分的第二位开始依次 重复的）2.1756756……（从小数部分的第二位开始依次重复的）教师举个反例： 10÷3=3.333……（解释循环是从十分位上的3开始重复的）
师生小结：小数的循环一定是从小数部分的某一位起开始的重复的
（教师对学生的总结给予充分的肯定，对孩子的观察能力提出表扬）
@天道酬勤1136
3．得出循环小数的概念
经过上面的分析，先让学生自己说说循环小数的概念，有不当的地方教师加以引导。
总结得出：像5.606060……，2,34666……，2.1756756……，小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4．判断：
1.332÷4=0.333，是不是循环小数？加深对循环小数意义的理解
5.循环小数的写法：
2.1756756……不能写成：2.175675……
5.606060……不能写成：5.606……
第一种写法：强调一定要把循环的数字写完整，并且一定要把循环的部分写至少两遍然后再写省略号。
第二种写法：找出循环出现的数字在第一个和最后一个数字上点上圆点。
（并且解释每一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节）
（二）判断循环小数的方法
引导学生思考：在计算小数的除法的时候，怎么能知道它的商是循环小数呢？
生回答：因为商出现了两个或者两个以上重复的数字，所以我们就知道循环；或因为当除了很多位之后就能根据循环小数的概念看出是循环小数。
（教师对于这些答案要给与充分的肯定，并且鼓励学生善于观察。）
教师引导学生去观察每除完一步之后的余数，学生会恍然大悟：当相同的余数时，商也就循环了。
教师小结（判断循环小数的方法）：因为在小数的除法中每次除完只要有余数重复出现商也就重复出现，所以得出的商也就循环。
（三）认识有限小数、无限小数
谈话：咱们认识了循环小数之后再来观察这两组小数：
（1）5.606060…… （2）0.333
2.4666…… 7.875668
2.1756756…… 3.567
3.146890…… 658.35
谁能发现它们的区别？
学生很容易发现：第一组小数是写不完的不知道它的小数部分是几位数字，第二组小数能写完也能读完，能具体的知道它们是几位小数。（引导学生得出：它们的小数位数是不同的，第一组小数部分的位数是无限的，第二组小数部分是有限的）（对学生的回答进行鼓励）
@天道酬勤1136
师：在数学上对这样的小数有了一种分类（讲解有限小数和无限小数的概念）： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
（四）小结三个概念
结合几个例子，再次加深认识。举几个例子大家来试试大家的眼力。
89.67（有限小数） 3.7864……（无限小数）
0.333……（循环小数，有的学生说是无限小数）
679．786786……（循环小数，无限小数）
734.65454……（循环小数，无限小数）
教师引导学生观察这几个是循环小数的例子会发现：循环小数一定是无限小数。小结：
1. 都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
循环小数 3.从小数部分的某一位起
小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数：3.1415926……（补充）
三、巩固练习、提高能力
（一）基础题
判断下列各题哪些是有限小数，哪些是无限小数，哪些是循环小数？
3.333…… 3.33 0.333…… 46.567567……
5.44…… 0.1234589…… 56.6768……
（二）综合题
1. 自主练习第5题
用计算器计算。（得数保留两位小数）
10.4÷6 2.772÷2.1 3.95÷0.27
10÷7 16.65÷3.3 1.792÷0.14
独立计算，集体订正，有错误的要说说错误原因。
2.自主练习第7题
（三）提高题
1.找规律，填得数。（可用计算器计算）
@天道酬勤1136
1÷9=0.1111…… 2÷9=0.2222……
3÷9=0.3333…… 4÷9=0.4444……
5÷9= 6÷9=
7÷9= 8÷9=
可以根据规律填数，再用计算器检验。
2.火眼金睛辩对错
（1）循环小数一定是无限小数（ ）
（2）无限小数一定是循环小数（ ）
（3）一个小数不是有限小数就是循环小数（ ）
（4）989898.9898是循环小数（ ）
（5）3.1415926……是循环小数（ ）
（6）■. ●●▲●●▲●●▲……循环节是▲●●▲（ ）
四、课堂小结
谈谈通过本课学习自己有哪些收获？（汇报时即要关注学生知识的掌握情况，更要关注学生学习数学的兴趣。）
板书：
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
循环小数一定是无限小数。
1. 都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
循环小数 3.从小数部分的某一位起
小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数 例如：3.1415926……
使用说明：
1．教学反思：回顾本课教学我感到有以下亮点：
（1）循环小数是本单元教学的一个重点，这部分内容概念多，又比较抽象，为此教材创设了继续以三峡大坝知识为研究点，让学生在计算中发现循环小数的一些特点，并通过另外的两道除法式题，呈现了除不尽的两种情况：一种是从某一位起重复出现某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。并对小数概念的内涵进一步扩展了，除了认识循环小数，还有有限小数、无限小数，循环小数就是一种无限小数。
@天道酬勤1136
（2）我通过挑选出几个判断题目，继续加深学生对循环小数的理解和认识。这几个判断题渗透了对概念的理解，我认为非常好。
（3）给予学生充分的时间和空间让学生讨论与思考，自学指导的设计中包括了学生举例的这一要求，也是为了让学生在初步看书理解的基础上先尝试举例，在学习中利用这些例子形成更多的表象，为概念的形成打好基础。
不足之处：
（1）学生板演较少。应该让学生将几道有典型代表的题目让差生用高清展台展示一下，这样不仅更充分的体现了学生的作用，而且更能看到学生在自学之后，对于循环小数的两种表示方法是否理解和掌握，省去更能看到学生的学习成果。
(2) 练习量较少。由于本课涉及的概念较多，也较抽象，所以给理解带来一定的难度，理解需要时间，计算也需要时间，区分概括更需要时间，所以留给练习的时间就很有限了（这在备课时就感觉到了），但我觉得让学生学会一点知识是重要的，系统而深刻地把握知识更为重要。
基于以上两点，我觉得离高效仍有一定的距离，理论上的理解如何演变为教学中真正的高效，我们还需不懈的努力探求。
2．使用建议：
本教案是按照新授课的形式来讲解，首先提出问题、分析问题、自主探究、然后得出结论的形式，学生能在学习中得到结论的同时，对学习产生了兴趣。
3．需破解的问题：
本节课从我对学生学习的掌握情况来看，学生出现了两极分化，大部分学生掌握较好，少部分学生掌握太差，特别是不会找一个循环小数的循环节。想让他们掌握还是一个比较长期的过程
关于5年级上册详细方程式怎么解青岛版分享如下：
在5年级上册的数学课程中，方程式的解法是一个重要的内容。下面将详细介绍如何解方程式，并以青岛版教材为例进行说明。
一、一元一次方程式的解法
一元一次方程式是最简单的方程式形式，可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。解方程的步骤如下：
1、将方程式转化为等价的形式。例如，如果方程式是2x+3=7，则可以通过减去3来得到2x =4。
2、消去未知数前的系数。继续以上面的例子，可以将方程式除以2，得到x=2。
3、验证解的正确性。将求得的解代入原方程式中，验证等式是否成立。对于前面的例子，将x =2代入方程式2x+3=7，两边都等于7，所以解是正确的。
五年级上册青岛版数学第五单元数学书答案
循环小数、有限小数、无限小数
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页
教学目标：
1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。
4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。
教学重难点：
重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义
难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。
教学准备：多媒体课件、实物投影台
教学过程：
一、创设情境，激趣导入
谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图）
现在请看本节课的学习目标
1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。
认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考：
1.仔细观察185÷75,你发现了什么？
2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？
3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？
（5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）
二、自主探索，获取新知
（一）根据算式得出循环小数的概念
1．解决问题 发现规律
教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？
学生口答算式：185÷75
让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。
学生汇报：185÷75=2.4666……（板书）
生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。
师：真棒，观察的很仔细。
@天道酬勤1136
现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？
自主计算：8.05÷3.7
生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书）
2．小组讨论 汇报交流
整理出示：185÷33=5.606060……
185÷75=2.4666……
8.05÷3.7=2.1756756……
根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。）
学生汇报：
（1）怎么除都除不尽
（2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666……（数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。
师生小结：都有数字依次不断地重复出现。
（3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……
师生小结：小数的循环一定是从小数部分的某一位开始的
（4）重复的数字的个数不一样，引导学生分析：5.606060……（6、0两个数字重复）2.4666……（6一个数字重复）8.05÷3.7=2.1756756……（7、5、6重复的）
师生小结：一个或者几个数字重复出现
（5）重复的数字都是从小数部分的某一位起开始重复的，5.606060……（从小数部分的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数部分的第二位开始依次 重复的）2.1756756……（从小数部分的第二位开始依次重复的）教师举个反例： 10÷3=3.333……（解释循环是从十分位上的3开始重复的）
师生小结：小数的循环一定是从小数部分的某一位起开始的重复的
（教师对学生的总结给予充分的肯定，对孩子的观察能力提出表扬）
@天道酬勤1136
3．得出循环小数的概念
经过上面的分析，先让学生自己说说循环小数的概念，有不当的地方教师加以引导。
总结得出：像5.606060……，2,34666……，2.1756756……，小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4．判断：
1.332÷4=0.333，是不是循环小数？加深对循环小数意义的理解
5.循环小数的写法：
2.1756756……不能写成：2.175675……
5.606060……不能写成：5.606……
第一种写法：强调一定要把循环的数字写完整，并且一定要把循环的部分写至少两遍然后再写省略号。
第二种写法：找出循环出现的数字在第一个和最后一个数字上点上圆点。
（并且解释每一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节）
（二）判断循环小数的方法
引导学生思考：在计算小数的除法的时候，怎么能知道它的商是循环小数呢？
生回答：因为商出现了两个或者两个以上重复的数字，所以我们就知道循环；或因为当除了很多位之后就能根据循环小数的概念看出是循环小数。
（教师对于这些答案要给与充分的肯定，并且鼓励学生善于观察。）
教师引导学生去观察每除完一步之后的余数，学生会恍然大悟：当相同的余数时，商也就循环了。
教师小结（判断循环小数的方法）：因为在小数的除法中每次除完只要有余数重复出现商也就重复出现，所以得出的商也就循环。
（三）认识有限小数、无限小数
谈话：咱们认识了循环小数之后再来观察这两组小数：
（1）5.606060…… （2）0.333
2.4666…… 7.875668
2.1756756…… 3.567
3.146890…… 658.35
谁能发现它们的区别？
学生很容易发现：第一组小数是写不完的不知道它的小数部分是几位数字，第二组小数能写完也能读完，能具体的知道它们是几位小数。（引导学生得出：它们的小数位数是不同的，第一组小数部分的位数是无限的，第二组小数部分是有限的）（对学生的回答进行鼓励）
@天道酬勤1136
师：在数学上对这样的小数有了一种分类（讲解有限小数和无限小数的概念）： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
（四）小结三个概念
结合几个例子，再次加深认识。举几个例子大家来试试大家的眼力。
89.67（有限小数） 3.7864……（无限小数）
0.333……（循环小数，有的学生说是无限小数）
679．786786……（循环小数，无限小数）
734.65454……（循环小数，无限小数）
教师引导学生观察这几个是循环小数的例子会发现：循环小数一定是无限小数。小结：
1. 都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
循环小数 3.从小数部分的某一位起
小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数：3.1415926……（补充）
三、巩固练习、提高能力
（一）基础题
判断下列各题哪些是有限小数，哪些是无限小数，哪些是循环小数？
3.333…… 3.33 0.333…… 46.567567……
5.44…… 0.1234589…… 56.6768……
（二）综合题
1. 自主练习第5题
用计算器计算。（得数保留两位小数）
10.4÷6 2.772÷2.1 3.95÷0.27
10÷7 16.65÷3.3 1.792÷0.14
独立计算，集体订正，有错误的要说说错误原因。
2.自主练习第7题
（三）提高题
1.找规律，填得数。（可用计算器计算）
@天道酬勤1136
1÷9=0.1111…… 2÷9=0.2222……
3÷9=0.3333…… 4÷9=0.4444……
5÷9= 6÷9=
7÷9= 8÷9=
可以根据规律填数，再用计算器检验。
2.火眼金睛辩对错
（1）循环小数一定是无限小数（ ）
（2）无限小数一定是循环小数（ ）
（3）一个小数不是有限小数就是循环小数（ ）
（4）989898.9898是循环小数（ ）
（5）3.1415926……是循环小数（ ）
（6）■. ●●▲●●▲●●▲……循环节是▲●●▲（ ）
四、课堂小结
谈谈通过本课学习自己有哪些收获？（汇报时即要关注学生知识的掌握情况，更要关注学生学习数学的兴趣。）
板书：
小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
循环小数一定是无限小数。
1. 都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
循环小数 3.从小数部分的某一位起
小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数 例如：3.1415926……
使用说明：
1．教学反思：回顾本课教学我感到有以下亮点：
（1）循环小数是本单元教学的一个重点，这部分内容概念多，又比较抽象，为此教材创设了继续以三峡大坝知识为研究点，让学生在计算中发现循环小数的一些特点，并通过另外的两道除法式题，呈现了除不尽的两种情况：一种是从某一位起重复出现某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。并对小数概念的内涵进一步扩展了，除了认识循环小数，还有有限小数、无限小数，循环小数就是一种无限小数。
@天道酬勤1136
（2）我通过挑选出几个判断题目，继续加深学生对循环小数的理解和认识。这几个判断题渗透了对概念的理解，我认为非常好。
（3）给予学生充分的时间和空间让学生讨论与思考，自学指导的设计中包括了学生举例的这一要求，也是为了让学生在初步看书理解的基础上先尝试举例，在学习中利用这些例子形成更多的表象，为概念的形成打好基础。
不足之处：
（1）学生板演较少。应该让学生将几道有典型代表的题目让差生用高清展台展示一下，这样不仅更充分的体现了学生的作用，而且更能看到学生在自学之后，对于循环小数的两种表示方法是否理解和掌握，省去更能看到学生的学习成果。
(2) 练习量较少。由于本课涉及的概念较多，也较抽象，所以给理解带来一定的难度，理解需要时间，计算也需要时间，区分概括更需要时间，所以留给练习的时间就很有限了（这在备课时就感觉到了），但我觉得让学生学会一点知识是重要的，系统而深刻地把握知识更为重要。
基于以上两点，我觉得离高效仍有一定的距离，理论上的理解如何演变为教学中真正的高效，我们还需不懈的努力探求。
2．使用建议：
本教案是按照新授课的形式来讲解，首先提出问题、分析问题、自主探究、然后得出结论的形式，学生能在学习中得到结论的同时，对学习产生了兴趣。
3．需破解的问题：
本节课从我对学生学习的掌握情况来看，学生出现了两极分化，大部分学生掌握较好，少部分学生掌握太差，特别是不会找一个循环小数的循环节。想让他们掌握还是一个比较长期的过程
关于5年级上册详细方程式怎么解青岛版分享如下：
在5年级上册的数学课程中，方程式的解法是一个重要的内容。下面将详细介绍如何解方程式，并以青岛版教材为例进行说明。
一、一元一次方程式的解法
一元一次方程式是最简单的方程式形式，可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。解方程的步骤如下：
1、将方程式转化为等价的形式。例如，如果方程式是2x+3=7，则可以通过减去3来得到2x =4。
2、消去未知数前的系数。继续以上面的例子，可以将方程式除以2，得到x=2。
3、验证解的正确性。将求得的解代入原方程式中，验证等式是否成立。对于前面的例子，将x =2代入方程式2x+3=7，两边都等于7，所以解是正确的。
五年级上册青岛版数学第五单元数学书答案
