怎样用复数证明余弦定理

余弦定理的三次推导（高中数学）lt;/Bgt;2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。

教学片段：余弦定理的第一次推导

提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？

教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

y B C（b，0） B（ccosA，csinA）

∴ a2= b2+c2 -2bccosA

Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理

c2= a2+b2 –2abcosC

这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。

从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。

教学片段：余弦定理的第二次推导

一、创设情境，提出问题

教师活动：某工程师设计一条现代化铁路

通过某座山，要预算开凿隧道BC的长， 测量人员

所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。

如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？

二、探索解法，提升认识

学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个

直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。

师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。

若∠A是直角 若∠A是锐角 若∠A是钝角

BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA

通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，

都有a2=b2+c2 -2bccosA

教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？

学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。

学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

y B C（b，0） B（ccosA，csinA）

∴ a2= b2+c2 -2bccosA

A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理

c2= a2+b2 –2abcosC

教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。

首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。

其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。

再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。

然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2= b2+c2，则∠A是直角；若a2gt;b2+c2，则∠A是钝角；若a2lt; b2+c2，则∠A是锐角”。这个学生显见的结论，它的证明与余弦定理的关系，三个条件式变化的背后，不正是笔者所要找的吗？因此，笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试。

教学片段：余弦定理的第三次推导

一、引导学生，发现余弦定理的存在

教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？

学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。

教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。

学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。

教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？

二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式

教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C 的变化而变化），

这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？

学生活动：AB应为∠C的函数

教师活动：（几何画板的数据演示：

当∠C=90°时，c2=a2+b2；

当∠Clt;90°时，c2lt;a2+b2；

当∠Cgt;90°时，c2gt;a2+b2；）

师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。

学生活动：猜想c2=a2+b2+f( )

师生共同活动：师生共同探究f( )的具体形式。

（1）f( )=？（2）f( )与 的哪个三角函数有关？

学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：

（1）f( )与 的余弦值有关；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos

（4）f( )= kcos

学生经过交流、讨论、探究，一致认为f( )= kcos

即c2=a2+b2+kcos （kgt;0）

教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？

学生活动：（学生分组讨论，探求k）

有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°， c2=a2+b2- bc

（2）当C=60°， c2=a2+b2-bc

（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc

（4）当C=150°，c2=a2+b2+ bc

有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab

学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC

三、鼓励学生，探究余弦定理的证明

教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。

学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）

师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。

教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？

学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。

学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：

y B C（b，0） B（ccosA，csinA）

∴ a2= b2+c2 -2bccosA

A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理

c2= a2+b2 –2abcosC

教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。

从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。

首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。

其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。

再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。

余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。

作者：王 静 单位：天山中学

两角差的余弦公式导学案

两角差的余弦公式导学案如下：

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两

角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的

推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1、引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2、通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3、在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会

合作交流的能力。

正弦定理的应用教案

正弦定理教案_正弦定理教案全 1.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习引入： 复习引入 1.在任意三角形行中有大边对大角， 小边对小角的边角关系？是否可以把边、 角关系准确量 化？ 2.在 ABC 中，角 A、B、C 的正弦对边分别是 a, b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？ 。

结论★： 二、讲授新课： 讲授新课： 探究一： 探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ 直角三角形中的正弦定理： sinA =a csinB =a b c b = = sinC=1 即 c= . c sin A sin B sin C探究二： 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当 ABC 是 锐角三角 形时， 设边 AB 上的高是 CD ， 根据三角 函数的定 义，有 a b a c CD = a sin B = b sin A ,则 = . 同理， = （思考如何作高？） ，从而 sin A sin B sin A sin C a b c = = . sin A sin B sin C 探究三： 探究三：你能用其他方法证明吗？ C 1． 证明一： （等积法）在任意斜△ABC 当中 a 1 1 1 S△ABC= ab sin C = ac sin B = bc sin A . O b B 2 2 2 c 1 a b c = = . 两边同除以 abc 即得： A D 2 sin A sin B sin C a a 2．证明二： （外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴ = = CD = 2 R ， sin A sin D b c 同理 =2R， ＝2R. sin B sin C r uuur uuur uuu uuu r r r 3．证明三： （向量法）过 A 作单位向量 j 垂直于 AC ，由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量 j 得….. 正弦定理： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A[理解定理] 理解定理] 1 公式的变形：=bsin B=csin C=2R(1)a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C( 3 ) a : b : c = sin A : sin B : sin C(2) sin A = ( 4)a b c , sin B = , sin C = , 2R 2R 2Ra b a c c b = , = , = sin A sin B sin A sin C sin C sin B1 2.正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a =b sin A ； sin B a b②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A = sin B 。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到: ① A + B + C = π ② sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = sin C ③ S abc = 教学例题： 三、 教学例题：1 ab sin C 2例 1 已知在 ABC中，c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 , 求a, b和B . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结： 已知两角一边 解：Q c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 ∴ B = 180 0 ( A + C ) = 105 0 由 a c = 得 sin A sin Cb c 得 = sin B sin Ca=c sin A 10 × sin 45 0 = = 10 2 sin C sin 30 0c sin B 10 × sin 1050 = = 20 sin 750 = 5 6 + 5 2 sin C sin 30 0由b=评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先 利用内角和 180°求出第三角，再利用正弦定理.例 2 ABC中，c = 6 , A = 45 0 , a = 2, 求b和B, C解：Qa c c sin A = ,∴ sin C = = sin A sin C a6 × sin 45 0 3 = 2 20° < C < 180°,∴ C = 60 0 或120 0 ∴当C = 60 0 时，B = 75 0 , b = c sin B 6 sin 75 0 = = 3 + 1， sin C sin 60 0c sin B 6 sin 15 0 ∴当C = 120 时，B = 15 , b = = = 3 1 sin C sin 60 00 0∴ b = 3 + 1, B = 75 0 , C = 60 0 或 b = 3 1, B = 15 0 , C = 120 0 练习：P4 —— 1.2 题 例 3 在 ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C2 解：∵b c c sin B 1 × sin 60 0 1 = ,∴ sin C = = = sin B sin C b 2 3Q b > c, B = 60 0 ,∴ C < B, C为锐角， C = 30 0 , B = 90 0 ∴∴ a = b2 + c2 = 2 【变式】ABC中，a = 2, A = 1350 , b = 3, 求B小结： 四、 小结：五、课后作业1 在△ABC 中，新疆 王新敞奎屯A 2R新疆 王新敞 奎屯a b c = = = k ,则 k 为( 2A ) sin A sin B sin C 1 BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯2 在 ABC 中，已知角 B = 45 o ，c = 2 2 , b =新疆 王新敞 奎屯4 3 ，则角 A 的值是 3D. 75 或 15o oA. 15oB. 75oC. 105o3、在△ABC 中, 若A = 30°, B = 60°, 则a : b : c =1: 3 : 24、在 ABC 中，若 B = 60 o ，b = 7 6 , a = 14 ，则 A=。5、在△ABC 中， AB = 6, A = 30°, B = 120° ,则三角形 ABC 的面积为 9 3 5、在 ABC 中，已知 a =3 , b = 2 , B = 45 o ，解三角形。六、心得反思3 1.1.1 正弦定理学案学习目标： 学习目标： ①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

预习自测 1. 正弦定理的数学表达式 叫做三角形的元素.已知三角形 2. 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2) 问题引入： 问题引入： 1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量 化？ 2、在 ABC 中，角 A、B、C 的正弦对边分别是 a, b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？ 。

结论★： 合作探究： 二 合作探究： 1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ 探究一： 探究一2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 探究二： 探究二3、探究三：你能用其他方法证明吗？ 探究三： 探究三4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题） ：4 三例题讲解例 1 已知在 ABC中，c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 , 求a, b和B例 2 ABC中，c = 6 , A = 45 0 , a = 2, 求b和B, C例 3 在 ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C【变式】 ABC中，a = 2, A = 1350 , b = 3, 求B思考： 思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？ 课堂练习： 四 课堂练习：必修 5 课本 P4 T1、2 课后作业 作业： 五 课后作业：a b c = = = k ,则 k 为( ) sin A sin B sin C 1 A 2R BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2 2 2 2 2 △ABC 中，sin A = sin B +sin C，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形1 在△ABC 中，新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯3 在 ABC 中，已知角 B = 45 ，c = 2 2 , b =oo o o4 3 ，则角 A 的值是 3D. 75 或 15 。o oA. 15B. 75C. 1054、在 ABC 中，若 B = 60 o ，b = 7 6 , a = 14 ，则 A= 5、在 ABC 中，已知 a =3 , b = 2 , B = 45 o ，解三角形。六 心得反思5 1．1．2 解三角形的进一步讨论教学目标 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无解等情形； 三角 形各种类型的判定方法。

教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。

教学过程 Ⅰ.课题导入 创设情景] [创设情景] 思考：在 ABC 中，已知 a = 22cm ， b = 25cm ， A = 1330 ，解三角形。

（由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条 件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课 探索研究] [探索研究] b 探究一．在 ABC 中，已知 a, ,A ，讨论三角形解的情况 探究一．b sin A 可进一步求出 B； a a sin C 则 C = 1800 (A + B ) ，从而 c = sin A 1．当 A 为钝角或直角时，必须 a > b 才能有且只有一解；否则无解。

2．当 A 为锐角时，如果 a ≥ b ，那么只有一解； 3.如果 a < b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 a > b sin A ，则有两解； （2）若 a = b sin A ，则只有一解； （3）若 a < b sin A ，则无解。分析：先由 sin B = （以上解答过程详见课本第 9 10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 b sin A < a < b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？6 三例题讲解 例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解 [随堂练习 1] （1）在 ABC 中，已知 a = 80 ， b = 100 ， ∠A = 450 ，试判断此三角形的解的情况。

（2）在 ABC 中，若 a = 1 ， c =1 ， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有_____个。

2（3）在 ABC 中， a = xcm ， b = 2cm ， ∠B = 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。

（答案： （1）有两解； （2）0； （3） 2 < x < 2 2 ） 例 2.在 ABC 中,已知 解：令a b c = = , 判断 ABC 的形状． cos A cos B cos Ca = k ，由正弦定理，得 a = k sin A ，b = k sin B ，c = k sin C ．代入已知条件， sin A sin A sin B sin C 得 ，即 tan A = tan B = tan C ．又 A ， B ， C ∈ (0, π ) ，所以 = = cos A cos B cos C A = B = C ，从而 ABC 为正三角形．说明： （1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边 说明： 相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示 出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． [随堂练习 2] 1.△ABC 中， sin A = sin B + sin C ，则△ABC 为（ A2 2 2）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2. 已知 ABC 满足条件 a cos A = b cos B ，判断 ABC 的类型。

答案： ABC 是等腰或直角三角形 Ⅳ.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； Ⅴ.课后作业 课后作业 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1 )、 a = 14 , b = 16 , A = 45 ° ( 2 )、 a = 12 , c = 15 , A = 120 ( 3 )、 a = 8 , b = 16 , A = 30 ° ( 4 ) 、 b = 18 , c = 20 , B = 607°° 2 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cosB= A －2 2 36 B 2 2 C － D 3 36 3A+C=2B,则3 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 , sinC= .4 根据条件解三角形： （ 1） c = 10 , A = 45 ° , C = 30 ° , 求边 a , b . ( 2 ) A = 30 ° , B = 120 ° , b = 12 , 求边 a , c . ( 3 ) a = 16 , b = 16 3 , A = 30 ° , 求角 B ， C 和边 c . ( 4 ) b = 13 , a = 26 , B = 30 ° , 解这个三角形。

（ 5） b = 40 , c = 20 , C = 45 ° , 解这个三角形 ( 6 ) c = 1， b =六心得反思3， B = 60 ° ，求 a , A ， C 。8 1.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 学习目标】 2.三角形各种形状的判断方法； 学习重难点】 1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 三角形各种形状 【学习重难点】 的判断方法。

情景问题： 一、情景问题： 我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题： 在 ABC 中，已知 a = 22cm, b = 25cm, A = 133 ，解三角形。o二、探索研究： 探索研究： 探究一． b 探究一．在 ABC 中，已知 a, ,A ，讨论三角形解的情况结论： 结论：探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解 例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解[变式练习 1] （1）在 ABC 中，已知 a = 80 ， b = 100 ， ∠A = 450 ，试判断此三角形的解的情况。9 （2）在 ABC 中，若 a = 1 ， c =1 ， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有_____个。

2（3）在 ABC 中， a = xcm ， b = 2cm ， ∠B = 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。例 2.在 ABC 中,已知a b c = = , 判断 ABC 的形状． cos A cos B cos C[变式练习 2] 1.△ABC 中， sin A = sin B + sin C ，则△ABC 为（2 2 2）A.直角三角形 C.等边三角形B.等腰直角三角形 D.等腰三角形2. 已知 ABC 满足条件 a cos A = b cos B ，判断 ABC 的类型。四. 尝试小结五.课后作业 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)、 a = 14 , b = 16 , A = 45 ° ( 2 )、 a = 12 , c = 15 , A = 120 ° ( 3 )、 a = 8 , b = 16 , A = 30 ° ( 4 )、 b = 18 , c = 20 , B = 60 °2 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cosB= A －2 2 36 B 2 2 C － D 3 36 3A+C=2B,则3 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 ,10 sinC=.4 根据条件解三角形： （ 1） c = 10 , A = 45 ° , C = 30 ° , 求边 a , b . ( 2 ) A = 30 ° , B = 120 ° , b = 12 , 求边 a , c . ( 3 ) a = 16 , b = 16 3 , A = 30 ° , 求角 B ， C 和边 c . ( 4 ) b = 13 , a = 26 , B = 30 ° , 解这个三角形。

（ 5） b = 40 , c = 20 , C = 45 ° , 解这个三角形 ( 6 ) c = 1， b = 3， B = 60 ° ，求 a , A ， C 。六、心得反思11

正弦定理教案_正弦定理 教学设计

《正弦定理》教学设计一、 教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是 三角形理论中的一个重要内容， 与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切 的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工 具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际 应用中灵活变通。二、教学目标根据上述教材内容分析， 考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水 平，制定如下教学目标： 知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方 法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的 实际应用价值。三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断 解的个数。四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以 学生为主体的指导思想， 采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模 式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思 维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，且 运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜 想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习 方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。五、教学过程1、问题情境 有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建 一条观光索道。已知一座山 A 到山脚 C 的上面斜距离是 1500 米，在山脚测得两 座山顶之间的夹角是 450， 在另一座山顶 B 测得山脚与 A 山顶之间的夹角是 300。

求需要建多长的索道？ 可将问题数学符号化， 抽象成数学图形。

即已知 AC=1500m， ∠C=450， ∠B=300。

求 AB=？ 此题可运用做辅助线 BC 边上的高来间接求解得出。1 提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？ 思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我 们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？ 2、归纳命题 我们从特殊的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系：在如图 Rt 三角形 ABC 中，根据正弦函数的定义 Aa ? sin A, cb ? sin B. c所以，bca b ? ? c. sin A sin B又 sin C ? 1, 所以C aBa b c ? ? . sin A sin B sin C在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍 然成立呢？ 3、命题证明 首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构 造出直角三角形——作高线。CabBDA作 AB 上的高 CD ,根据三角函数的定义，CD ? a sin B,2 CD ? b sin A,所以， a sin B ? b sin A.b c ? . sin B sin C a b c ? ? 于是在锐角三角形中， 也成立。

sin A sin B sin C 当 ?ABC 是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？同理，在 ?ABC 中，Ca bDAcB由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。

于是，从以上的讨论和探究，得出定理： 正弦定理（laws of sines） 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 a b c ? ? sin A sin B sin C 分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去 感受数学的间接美和对称美。

正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

我们把三角形的三边和三 个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，如果已知三角形的两角和一边，或者 已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。

4、命题应用 讲解书本上两个例题： 例1 在△ABC 中，已知 A=32° ，B=81.8° ，a=42.9cm.解三角形。

例2 在△ABC 中，已知 a=20cm，b=28cm，A=40° ，解三角形（角精确到 10， 边长精确到 1cm） 。

例 1 简单，结果为唯一解。

总结：如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都 可利用正弦定理来解三角形。3 例 2 较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。

要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。

接着回到课堂引入未解决的实际问题。

在△ABC 中，已知 AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求 AB=？BAC在已经学习过正弦定理和例 1 例 2 的运用之后，此题就显得非常简单。

接着，课堂练习，让学习自己运用正弦定理解题。

1.在△ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm） ： （1）A=45° ，C=30° ，c=10cm （2）A=60° ，B=45° ，c=20cm 2. 在△ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm） ： （1）a=20cm，b=11cm，B=30° （2）c=54cm，b=39cm，C=115° 学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

5、形成命题域、命题系 开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。

那么正弦定 理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。

学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法 （1）几何法，作三角形的外接圆； （2）向量法。

先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一 方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出 a b c ? ? ? 2 R 。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的 2 倍的结 sin A sin B sin C 论， 让学生能更深刻地理解到这一定理的， 也方便以后的解题。

而提到的向量法， 则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。六、课堂小结与反思这节课我们学到了什么？ （正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定 理的证明方法？）4 1、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、 a b c ? ? 证明得到了正弦定理 ，它揭示了任意三角形边和其所对的角 sin A sin B sin C 的正弦值的关系。

2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知 两角和一边， 或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第 二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。

3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通 a b c ? ? ? 2 R. 这是对正弦定理的补充。

过作外接圆可以得到 sin A sin B sin C七、作业布置教材第 10 页，习题 1.1，A 组第一题、第二题。5

正弦定理教案_正弦定理教案

教学目标：课题：§2.1.1 正弦定理1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本 应用的实践操作。3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教材版本：北师大必修 5教学课时：1教学过程：一、新课引入：如 左 图 ， 在 Rt?ABC 中 ， 有As i nA ? a , sBi n? b ,Cs ?i n 1cc。cbc ? a ,c ? b ,c ? c 经过变形有 sin A sin B sin C ，aCBa ? b ? c ?? sin A sin B sin Ca ? b ? c ?c 所以在 Rt?ABC 中有： sin A sin B sin C思考：在其他任意三角形中是否也有a ? b? c s i An s Bi n Cs等i n式 成 立 呢 ， 这 个 时 候观察下图，无论怎么移动 B’,都会有角b B’=B,所以在 ?AB'C 中， sin B'?b sin B?c， C 是 Rt?ABC ， ?AB'C 外 接 圆 的 直 径 。

所 以 对 任 意 ?ABC ， 均 有a ? b ? c ? 2Rs i An s i Bn s i Cn(R 为 ?ABC外接圆的半径)B'cBa AbC这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理二、新课讲解(一)正弦定理及变形： a ? b ? c ? 2Rsin A sin B sin C 定理变形：⑴ a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B, c ? 2Rsin Csin A ? a ,sin B ? b ,sin C ? c⑵2R2R2R⑶ a : b ? sin A : sin B, a : c ? sin A : sin C,b : c ? sin B : sin C(二)定理应用例 1、在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45°，B＝60°，求 AC，AB,c解：【分析】 由三角形内角和定理得 C ? 1800 ? A ? BAB ? AC ? BC 由正弦定理 sin C sin B sin AAC ? BCsin B AB ? BCsin C得sin A ,sin A【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。例 2、已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C 及 c. 解：【分析】 根据正弦定理，得sin A＝asibn B＝3sin 45°＝ 223，∵b

余弦定理第一课时教案

“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容。本节在有关三角形、三角函数和解直角三角形知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系。本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，现总结如下。

一、解三角形与判定三角形全等之间的关系

解三角形讨论的是三角形中的各种几何量之间的关系，如边、角、面积、外接圆半径和内切圆半径等之间的关系，而正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具。平面几何主要是从定性的角度研究三角形，解三角形主要是从定量的角度研究三角形中的各种几何量之间的关系，是用解析的方法研究三角形。两种研究角度不同，可以互补，相得益彰。

判定三角形全等的公理有：边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)。其中至少有一个元素是边，仅有三个角(AAA)对应相等的两个三角形相似但不全等。判定三角形全等条件的几何意义是三角形的其它变量可以用所给的一组变量表达。如，SSS公理判定三角形全等的几何意义是：△ABC三边的长可以唯一地确定它的三个内角，如已知△ABC的三边，可用余弦定理的推论，求得三角。SAS公理判定三角形全等的几何意义是：△ABC的两条边的长及其夹角唯一地确定了第三边的长，进而唯一地确定了它的其余两条边长。如已知△ABC的两边及其夹角C，可以用余弦定理求出第三边。这时，三边已知，可用余弦定理的推论求出其余两角。这正是余弦定理可以解决的两类问题：已知三边，求三角(SSS)；已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(SAS)。

角边角(ASA)公理和角角边公理(AAS)借助三角形内角和定理，可以认为是实质相同的，其几何意义是△ABC的两角和任一边可以唯一确定其余的角和边，如已知△ABC的两角A，B和夹边c，可以求出这是正弦定理所能解决的一类问题：已知两角和任一边，求其余的边和角(ASA，AAS)。正弦定理还能解决一类问题：已知两边和其中一边的对角，求第三边和其余两角(SSA)。从几何意义上讲，SSA不能判定三角形全等，也就不能唯一确定一个三角形，表现在用正弦定理解三角形时会出现两解、一解和无解的情况。

从正弦定理和余弦定理的角度看，判定三角形全等的边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)是相互等价的。

由上可见，研读教材时，要从整体和全局的高度把握教材，了解教材的结构、地位作用和相互联系，使之相互诠释补充，产生新的见解。教学中，剖析透彻三角形全等的判定公理与解三角形之间的关系，可以完善学生的认知结构，将初中知识升华。

二、数学思想方法

数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分，有利于加深学生对数学知识的理解和掌握，提高学生解决数学问题的能力。本节的两个主要结论是正弦定理和余弦定理，教学中应重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

在正弦定理部分，考虑到不容易直接得出一般三角形中边和角的关系，可以先引导学生在直角三角形中，考虑与边角有关的三角函数知识来发现这一规律，接着猜想这一规律的一般性，然后在锐角三角形和钝角三角形中进行证明，从而得出正弦定理，这一过程体现了由特殊到一般和分类讨论的数学思想。在锐角三角形和钝角三角形中证明结论时，也是通过作高将其转化为直角三角形进行证明，体现了转化与化归的数学思想。

在余弦定理部分，得出余弦定理后，分析余弦定理的形式并提出已知三边求角的问题，结合方程的思想得出余弦定理的推论，从数量化的角度刻画了判定三角形全等的“边、边、边”结论。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中。提出了一个思考问题：“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。如何看这两个定理之间的关系?”进而结合余弦函数的性质分析得出：余弦定理是勾股定理的推广，把勾股定理纳入到余弦定理的知识系统中，体现了从一般到特殊的思想。

正弦定理和余弦定理的应用，都通过两种不同类型的例题介绍。正弦定理主要介绍“角角边”和“边边角”两种类型，余弦定理主要介绍“边角边”和“边边边”两种类型，体现了分类讨论的思想。

三、数学知识之间的联系

正弦定理和余弦定理的证明和应用中涉及诸多数学知识，如向量、三角函数、解析几何等，教学时应予以注意。

正弦定理和余弦定理刻画了三角形中边角的数量化关系，与初中学过的三角形中边角的基本关系和判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，从初中所学的三角形全等出发，定性说明已知三角形两边及夹角则该三角形完全确定，从而提出问题：已知三角形两边及夹角能否定量计算第三边呢?最后，正弦定理和余弦定理落脚于解三角形，使初中学习的判定三角形全等的公理得到了理性化的解释。是定性到定量的升华，也可以说二者在这里找到了共鸣，融为一体。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《义务教育数学课程标准》把“正弦定理和余弦定理”这部分内容安排在必修5，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、解析几何等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，例如正弦定理的证明，教材采用的是借助直角三角形中边角的三角函数关系，事实上，还可以借助三角形外接圆和向量进行证明。余弦定理的证明，除了教材中采用的向量法，还可以运用坐标法，借助两点间距离公式和三角知识证明。教学中，注意多种证明方法的运用，既可以巩固各部分知识，体会数学知识之间的内在联系，体现数学知识的作用和威力，如向量、三角函数，又可通过多种方法的比较，开阔思路，汲取精华，提炼最优解题方法。

因此，进行正弦定理和余弦定理教学时，要注意与前后各章内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节内容做好准备。这样，能使整套教科书成为—个有机整体，提高教学效果，并有利于学生对数学知识的学习和巩固。

勾股定理教案

一 、 学情分析

学生经历一年的初中学习，已具备一定的归纳、总结、类比、转化及数学表达能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究兴趣，并能在老师的指导下通过小组成员的互助合作，发表自己的见解。另外，在学习本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。

二、教材分析

（一）教材地位与作用

勾股定理是在学生已经掌握直角三角形有关性质的基础上进行学习的。在教材中起到承上启下的过度作用，为下面学习勾股定理逆定理做了铺垫，也为以后学习“四边形”、“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它在数学发展过程中起着重要作用。勾股定理以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系，是数形结合的优美典范。

（二）教学目标

1.知识技能： 理解并掌握勾股定理，运用勾股定理进项简单的计算。

2.数学思考： 经历探索勾股定理的过程，提高学生的推理能力，体会数形结合的思想。

3.解决问题： 在探究活动中，通过合作和交流获取探究结果。

4. 情感态度： 通过勾股定理的历史介绍，让学生体会数学的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。

在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神。

（三）教学重难点

1.教学重点：掌握勾股定理，让学生深刻感悟到直角三角形三边所具备的特殊关系。

2.教学难点：勾股定理的探索过程及勾股定理的证明。

（四）教具准备： 三角板，纸若干，多媒体、洋葱微课等

三、教法与学法分析

1教法分析： 以学生目前在初中阶段所学和掌握的知识，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生“思维能力、动手能力、探究能力”为重点的教学思想。尽量创设“做数学、玩数学”的情景，让学生从“学会”到“会学”，使学生成为学习的主人。

2.学法分析： 该阶段的学生缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探勾股定理时，主要通过洋葱微课导入情景，再用直观的，易于接受的等面积法去验证勾股定理。“操作+思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征，让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索过程中领悟、在领悟过程中理解，让他们学会学习。

四 、教学过程

新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习的过程，是教师和学生互动共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：

（一）观看洋葱微课，引入新课

[活动一] 问题与情境：认真观看洋葱微课，了解东西方对勾股定理的研究。

课程导入运用洋葱微课，激发学生学习和探究的热情、积极性。

（二）师生互动，探究新知

[活动二] 问题与情境：2500年以前， 古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

（1）现在也请你观察一下，你能有什么发现吗？

以斜边为边的正方形面积怎么求？ 等腰直角三角形三边长有何关系》

（2）等腰三角形是特殊的三角形，一般的三角形是否也具有这样的特点呢？

（3）你有新的结论吗？请大胆提出你的猜想。

（ 三 ） 动手推理 ， 证明定理

[活动三] 问题与情境： 是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？下面，我们就来探索我国数学家赵爽弦图。

（1）以直角三角形的两条直角为边做两个正方形，通过剪、拼把它拼成如图所示。

（2）三角形和四边形面积分别怎样表示？它们有怎样的关系呢？

由此可得：　【勾股定理】如果直角三角形的两直角边分别为长 a 、 b ， 斜边长为 c， 那么， a 2 ＋b 2 ＝c 2 .

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

（五）课堂小结，完善知识

Ⅰ提问回顾复习

1、你这节课的主要收获是什么？

2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？

3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？

4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？

（六）布置作业，加深思考

1． 收集有关勾股定理的证明方法，尝试不同的方法证明勾股定理（常见16种证明方法），下节课展示交流。

教师提示：拼图法、邹远治证法、赵爽证法、总统证法、梅文鼎证法、欧几里得证法、直角三角形内接圆证法、反证法等。