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一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
★ 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .
答： ．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得
解得 ．于是
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足
（ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以
≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
解：（1） 满足条件．
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
12（A）．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
所以 ．
当 时，
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
化简得
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
的两个不相等实数根，故
所以 ．
当 时，
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
即 ．
由切割线定理得
所以， KP＝KB．
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
故 ，
即 ．
14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
从而此命题得证．
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
11（B）．已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．
解：设 ， 均为正整数，则
所以，mn＝1，2，3．
（1）当mn＝1时， ， ，此时 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，于是△ 是等边三角形．
（2）当mn＝2时， ， ，此时 ，或 ，所以点 与点 重合，或点 与点 重合．故 ，或 ，于是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时， ， ，此时 ，或 ．于是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，于是△ 是顶角为 的等腰三角形．
12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程
证法1：原方程可以写为
于是
是完全平方数．
设 ，其中k是任意一个正整数，则 ．
于是
，或 ．
所以，存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程．
证法2：原方程可写为
所以可设
（x是正整数）， ①
取 ． ②
① －②得
令 （y是任意正整数），则 ．
于是
所以，存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程．
13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证： ．
证明：设AX与⊙O相交于点 ，连结OB，OC， ．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．
因为 ，所以
． ①
又由切割线定理得
． ②
由①，②得
于是
△XMA∽△ ，
所以
又 ，所以 ，于是
14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为 ，n个课外小组为 ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 的人数不超过5n，故
≥ ，
所以 ≥ ．
下面构造一个例子说明 是可以的．
， ， ，
， ， ．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6． http://www.zhongkao.com/200903/49bc64a917719.shtml
已知Y-2与X+4成正比例，当X=3时，Y=5，则X与Y的关系式是？
在等腰三角形ABCD中，AB‖CD，对角线AC、BD所对的角∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA，BC，OD的中点
求证：△PQR是等腰三角形
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 ，深为 ，如果池底每 的造价为 元，池壁每 的造价为 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元，（1）把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
一段长为L 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
已知直角三角形两条直角边的和等于 10，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
某单位建造一间地面面积为12m2 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为 1200元/m2 ，房屋侧面的造价为 800元 /m2，屋顶的造价为 5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元
、把一个_________________________化成_______________________的形式叫因式分解。
2、我们学过的判定两个全等三角形的各公理和推论简写为：__________________________________
3、把0.002078保留两个有效数字为________________________________。
4、计算0.13+(1/10)0-10-3=______________________。
5、三角形的一个外角等于110°，它的一个内角40°，这个三角形的另外两个内角是__________________。
6、(a-b)n=_______(b-a)n（n是奇数）。
7、三角形的一条边是9，另一条边是4，那么第三边取值范围是____________，如果第三边长是一个整数，它可能是_________________。
8、多项式2πr+2πR各项都含有一个公共的因式______________，这时，我们要把因式______________叫做这个多项式的________________________。
9、如图所示，己知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE：则∠ABD=__________。
（抱歉，缺图。望谅解！）
10、己知：有理数x、y、z，满足(x2-xy+y2)2+(z+3)2=0，那么x3+y3+z3=______________。
二、选择题（每题3分，共30分）
1、下列各式可以分解因式的是（ ）
A、x2-y3 B、a2+b2 C、mx-ny D、-x2+y2
2、根据定义，三角形的角平分线，中线和高线都是（ ）
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
3、9×108-109等于（ ）
A、108 B、10-1 C、-108 D、-1
4、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
5、把0.0169a4b6化为某单项式的平方，这个单项式为（ ）
A、1.3a2b3 B、0.13a2b2 C、0.13a2b3 D、0.13a2b4
6、如图所示：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（ ）
A、480° B、360° C、240° D、180°
（抱歉，缺图。望谅解！）
7、如果，(m+n)(m-n)2-mn(m+n)=(m+n)N，则N是（ ）
A、m2+n2 B、m2-mn+n2 C、m3+mn+n2 D、m2-3mn+n2
8、下列说法中正确的是（ ）
A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理
C、真命题的逆命题是真命题 D、假命题的逆命题是假命题
9、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2-2ab-c2+b2的值（ ）
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
10、下列定理中，有逆定理的是（ ）
A、凡直角都相等 B、对顶角相等 C、全等三角形的对应角相等
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三、分解因式：（24分）
（1）x4y-xy4 （2）ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （3）10x2-23xy+12y2
（4）(x2+2x)2-7(x2+2x)-8 （5）4x6-31x3-8 （6）x4+4
四、己知线段a、c（a └————————————┘a └———————————————————┘b 五、己知△ABC，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F。求证：EB＝FC（5分） （抱歉，缺图。望谅解！） 六、己知：a、b、c均为正有理数，且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0求证：a=c（4分） 七、己知：AB=AE,∠B=∠E,BC=ED.点F是CD的中点。求证：AF⊥CD（5分） （抱歉，缺图。望谅解！） 八、求证；三角形一边的两个端点到这个边上的中线的距离相等。（5分） 九、己知：a2+2a+b2-4b+5=0，求ab的值？（3分） 5个矩形，短边与长边之比都是1：2，且这5个矩形能拼成一个大矩形；记它们的短边为 a1，a2，a3，a4，a5 （a1＜a2＜a3＜a4＜a5）。 （1）已知一组矩形为（1，2，5，a4，a5），求所有的可能。 （2）在第一小题的条件下，拼成的大矩形面积最大 意思一下 活动规则 仅限于俱乐部会员，每支队伍由6名队员组成。本着自愿的原则，可以自由组 队，也可以由俱乐部会员单位分配组队。所有报名者均参加个人精英战和团队 竞技战，晋级队伍有资格参加“巅峰对决”。（注：不足6人的队伍也可选择由 俱乐部组委会分配补充，分配原则依次为从本单位，本城市，本省，其它地区 会员中匹配） 第一轮：个人精英战 + 团队竞技战 （每人挑战30关，共90分钟，每关5分，总分150分，每关不限时，可回溯，前 25关随机顺序出现） 个人精英战——每人的前25关，问题相同。 团队竞技战——每人的后5关，按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题，6 位队员的问题各不相同，一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 个人精英战：以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队竞技战：以6位队员的第一轮（个人25关+团队5关）闯关结果的总和计算。如果两队总分相同，则6位队员后5关总分更高者胜出。如果两队后5关总分也相同，则按顺序比较A-F每位队员的分数， 先出现分数更高者胜出。（各年级取各城市团队竞技战第一名参加全国排名，前十支战队代表城市晋级国 家十强） 第二轮：巅峰对决 晋级战队分别进入各自直播间，共同作答10道闯关题目，可以讨论。最终由本 队决定提交时记录答卷提交时间。每道题目10分，按每队获得的总分值排名。得分相同的战队，按照提交时间排名，用时短的战队排名靠前。 希望杯数学比赛的个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则如下： 个人赛： 1. 第一轮：个人精英战，共90分钟。每人挑战30关，每关5分，总分150分。每关不限时，可回溯。前25关随机顺序出现。 2. 个人精英战：以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队赛： 1. 第一轮：团队竞技战，共90分钟。每人的后5关，按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题，6位队员的问题各不相同，一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 2. 团队竞技战：以6位队员的第一轮个人成绩总和计算。 以上是希望杯数学比赛个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则。 AB的平均分比BC的平均分多2.5+1.5=4分 A与C相差4×2=8分，即A比C多8分 (C+8+93+C)÷3=（C+8+93)÷2-2.5 4C+202=3C+303-15 C=86 设b得了x分,A得了y分 (y+x)/2=(93+x+y)/3-1.5 (1) (93+y)/2=(93+x+y)/3+2.5 (2) 解二元一次方程，y抵消.x=85 解： 当p=2时，p2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件． 当p>3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数， 从而p2+71是24的倍数． 设p2+71=24×m，m≥4． 若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10； 若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10； 所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3.新希望杯数学竞赛
六年级希望杯数学竞赛真题
高二数学竞赛试题及答案
这是06年的，你做参考
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
★ 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得
＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .
答： ．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得
解得 ．于是
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足
（ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以
≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
解：（1） 满足条件．
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
12（A）．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
所以 ．
当 时，
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
化简得
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
的两个不相等实数根，故
所以 ．
当 时，
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
即 ．
由切割线定理得
所以， KP＝KB．
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
故 ，
即 ．
14（A）．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
从而此命题得证．
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
11（B）．已知△ 中， 是锐角．从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ；从顶点 向 边或其延长线作垂线，垂足为 ．当 和 均为正整数时，△ 是什么三角形？并证明你的结论．
解：设 ， 均为正整数，则
所以，mn＝1，2，3．
（1）当mn＝1时， ， ，此时 ．所以 垂直平分 ， 垂直平分 ，于是△ 是等边三角形．
（2）当mn＝2时， ， ，此时 ，或 ，所以点 与点 重合，或点 与点 重合．故 ，或 ，于是△ 是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时， ， ，此时 ，或 ．于是 垂直平分 ，或 垂直平分 ．故 ，或 ，于是△ 是顶角为 的等腰三角形．
12（B）．证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程
证法1：原方程可以写为
于是
是完全平方数．
设 ，其中k是任意一个正整数，则 ．
于是
，或 ．
所以，存在无穷多对正整数 （其中k是正整数）满足题设方程．
证法2：原方程可写为
所以可设
（x是正整数）， ①
取 ． ②
① －②得
令 （y是任意正整数），则 ．
于是
所以，存在无穷多对正整数 （其中y是任意正整数）满足题设方程．
13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证： ．
证明：设AX与⊙O相交于点 ，连结OB，OC， ．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．
因为 ，所以
． ①
又由切割线定理得
． ②
由①，②得
于是
△XMA∽△ ，
所以
又 ，所以 ，于是
14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为 ，n个课外小组为 ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组 的人数之和不小于 ＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 的人数不超过5n，故
≥ ，
所以 ≥ ．
下面构造一个例子说明 是可以的．
， ， ，
， ， ．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6． http://www.zhongkao.com/200903/49bc64a917719.shtml
已知Y-2与X+4成正比例，当X=3时，Y=5，则X与Y的关系式是？
在等腰三角形ABCD中，AB‖CD，对角线AC、BD所对的角∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA，BC，OD的中点
求证：△PQR是等腰三角形
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 ，深为 ，如果池底每 的造价为 元，池壁每 的造价为 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元，（1）把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米/时）的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
一段长为L 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
已知直角三角形两条直角边的和等于 10，求面积最大时斜边的长，最大面积是多少？
某单位建造一间地面面积为12m2 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为 1200元/m2 ，房屋侧面的造价为 800元 /m2，屋顶的造价为 5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元
、把一个_________________________化成_______________________的形式叫因式分解。
2、我们学过的判定两个全等三角形的各公理和推论简写为：__________________________________
3、把0.002078保留两个有效数字为________________________________。
4、计算0.13+(1/10)0-10-3=______________________。
5、三角形的一个外角等于110°，它的一个内角40°，这个三角形的另外两个内角是__________________。
6、(a-b)n=_______(b-a)n（n是奇数）。
7、三角形的一条边是9，另一条边是4，那么第三边取值范围是____________，如果第三边长是一个整数，它可能是_________________。
8、多项式2πr+2πR各项都含有一个公共的因式______________，这时，我们要把因式______________叫做这个多项式的________________________。
9、如图所示，己知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE：则∠ABD=__________。
（抱歉，缺图。望谅解！）
10、己知：有理数x、y、z，满足(x2-xy+y2)2+(z+3)2=0，那么x3+y3+z3=______________。
二、选择题（每题3分，共30分）
1、下列各式可以分解因式的是（ ）
A、x2-y3 B、a2+b2 C、mx-ny D、-x2+y2
2、根据定义，三角形的角平分线，中线和高线都是（ ）
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
3、9×108-109等于（ ）
A、108 B、10-1 C、-108 D、-1
4、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
5、把0.0169a4b6化为某单项式的平方，这个单项式为（ ）
A、1.3a2b3 B、0.13a2b2 C、0.13a2b3 D、0.13a2b4
6、如图所示：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（ ）
A、480° B、360° C、240° D、180°
（抱歉，缺图。望谅解！）
7、如果，(m+n)(m-n)2-mn(m+n)=(m+n)N，则N是（ ）
A、m2+n2 B、m2-mn+n2 C、m3+mn+n2 D、m2-3mn+n2
8、下列说法中正确的是（ ）
A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理
C、真命题的逆命题是真命题 D、假命题的逆命题是假命题
9、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2-2ab-c2+b2的值（ ）
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
10、下列定理中，有逆定理的是（ ）
A、凡直角都相等 B、对顶角相等 C、全等三角形的对应角相等
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三、分解因式：（24分）
（1）x4y-xy4 （2）ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （3）10x2-23xy+12y2
（4）(x2+2x)2-7(x2+2x)-8 （5）4x6-31x3-8 （6）x4+4
四、己知线段a、c（a └————————————┘a └———————————————————┘b 五、己知△ABC，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F。求证：EB＝FC（5分） （抱歉，缺图。望谅解！） 六、己知：a、b、c均为正有理数，且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0求证：a=c（4分） 七、己知：AB=AE,∠B=∠E,BC=ED.点F是CD的中点。求证：AF⊥CD（5分） （抱歉，缺图。望谅解！） 八、求证；三角形一边的两个端点到这个边上的中线的距离相等。（5分） 九、己知：a2+2a+b2-4b+5=0，求ab的值？（3分） 5个矩形，短边与长边之比都是1：2，且这5个矩形能拼成一个大矩形；记它们的短边为 a1，a2，a3，a4，a5 （a1＜a2＜a3＜a4＜a5）。 （1）已知一组矩形为（1，2，5，a4，a5），求所有的可能。 （2）在第一小题的条件下，拼成的大矩形面积最大 意思一下 活动规则 仅限于俱乐部会员，每支队伍由6名队员组成。本着自愿的原则，可以自由组 队，也可以由俱乐部会员单位分配组队。所有报名者均参加个人精英战和团队 竞技战，晋级队伍有资格参加“巅峰对决”。（注：不足6人的队伍也可选择由 俱乐部组委会分配补充，分配原则依次为从本单位，本城市，本省，其它地区 会员中匹配） 第一轮：个人精英战 + 团队竞技战 （每人挑战30关，共90分钟，每关5分，总分150分，每关不限时，可回溯，前 25关随机顺序出现） 个人精英战——每人的前25关，问题相同。 团队竞技战——每人的后5关，按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题，6 位队员的问题各不相同，一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 个人精英战：以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队竞技战：以6位队员的第一轮（个人25关+团队5关）闯关结果的总和计算。如果两队总分相同，则6位队员后5关总分更高者胜出。如果两队后5关总分也相同，则按顺序比较A-F每位队员的分数， 先出现分数更高者胜出。（各年级取各城市团队竞技战第一名参加全国排名，前十支战队代表城市晋级国 家十强） 第二轮：巅峰对决 晋级战队分别进入各自直播间，共同作答10道闯关题目，可以讨论。最终由本 队决定提交时记录答卷提交时间。每道题目10分，按每队获得的总分值排名。得分相同的战队，按照提交时间排名，用时短的战队排名靠前。 希望杯数学比赛的个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则如下： 个人赛： 1. 第一轮：个人精英战，共90分钟。每人挑战30关，每关5分，总分150分。每关不限时，可回溯。前25关随机顺序出现。 2. 个人精英战：以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队赛： 1. 第一轮：团队竞技战，共90分钟。每人的后5关，按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题，6位队员的问题各不相同，一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 2. 团队竞技战：以6位队员的第一轮个人成绩总和计算。 以上是希望杯数学比赛个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则。 AB的平均分比BC的平均分多2.5+1.5=4分 A与C相差4×2=8分，即A比C多8分 (C+8+93+C)÷3=（C+8+93)÷2-2.5 4C+202=3C+303-15 C=86 设b得了x分,A得了y分 (y+x)/2=(93+x+y)/3-1.5 (1) (93+y)/2=(93+x+y)/3+2.5 (2) 解二元一次方程，y抵消.x=85 解： 当p=2时，p2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件． 当p>3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数， 从而p2+71是24的倍数． 设p2+71=24×m，m≥4． 若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10； 若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10； 所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3.新希望杯数学竞赛
六年级希望杯数学竞赛真题
高二数学竞赛试题及答案
