初三数学难题

二、填空题

1、（2008山西太原）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为 。

2、（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个"赵爽弦图"（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么= 。

3、（2008江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．

4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．

无答案

5、（2008佛山）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．

6、（2008佳木斯市）下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号）

7、(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 ．

8、（2008年陕西省）如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．

9、（2008年陕西省）如图，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ．

10、（2008年山东省青岛市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝4cm，则AC的长为________cm．

11、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．

12、（08海南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AE‖DC，AB=6cm，则AE= cm.

13、(2008 青海)已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm；等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是 cm．

14、（2008 山东 临沂）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC

于点E、F，连接CE，则CE的长________.

15、（2008齐齐哈尔）如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．

16、（2008江苏镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．

17、 (2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。

18、（2008四川凉山州）菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．

19、（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ．

20、（2008山西太原）在梯形ABCD中，，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为 。

四、答案

一、选择题

1、5

2、0.6

3、平行四边形（或矩形或菱形）

4、（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．

5、22.5

6、③

7、（结果保留根号的形式）．

8、

9、

10、8cm

11、8

12、6

13、；4

14、

15、

16、

17、 2或

18、8

19、6

20、15；

21、5

22、90°

23、6

24、答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．

25、 1

26、①②③④

27、

28、

29、10㎝2

30、9

31、20

32、48

33、矩形

34、

35、60

三、解答题

1、解：（1）BG=DE

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）

∴△BCG≌△DCE

∴BG=DE

（2）存在. △BCG和△DCE

△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合

2、证明：在正方形ABCD中，取AB=2

∵N为BC的中点，

∴NC=

在中，

又∵NE=ND，

∴CE=NE-NC=,

故矩形DCEF为黄金矩形。

3、解：(1) 内.

(2) 证法一：连接CD，

∵ DE‖AC，DF‖BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形，

又∵ 点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，

又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC

∴ FC＝FD，

∴ □DECF为菱形．

证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，

∴DI=DG，

DG=DH．

∴DH=DI．

∵DE‖AC，DF‖BC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，

∴CE=CF．

∴□DECF为菱形．

4、（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。

由∠D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠AEC。

（2）①∵CE‖BF，∴== ∴BF=2CE。

∵AB=2CE，∴点B平分线段AF

②能

证明：∵CP=，CE=1，∠C=900 ，∴EP=。

在Rt △ADE中，AE= =2，∴AE=BF，

又∵PB=，∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为1200

5、（1）四边形BECF是菱形。·

证明：EF垂直平分BC，

∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠4=90°

∠3+∠2=90°

∴∠3=∠4

∴EC=AE

∴BE=AE

∵CF=AE

∴BE=EC=CF=BF

∴四边形BECF是菱形

（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形

证明：∵∠A=45。, ∠ACB=90。

∴∠1=45。

∴∠EBF=2∠A=90。

∴菱形BECF是正方形

6、（1）证明：四边形是矩形，

（矩形的对角线互相平分），

（矩形的对边平行）．

，．

（A．A．S）．

（2）当时，四边形是菱形．

证明：四边形是矩形，

（矩形的对角线互相平分）．

又由（1）得，

四边形是平行四边形（对角线互相平分的

四边形是平行四边形）

又，

四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四

边形是菱形）．

7、（1）证明：∵AE‖BD, ∴∠E＝∠BDC

∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC

又∵∠C＝2∠E

∴∠ADC＝∠BCD

∴梯形ABCD是等腰梯形

（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5

∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°

∴∠DBC＝90°

∴DC＝2BC＝10

8、解：解：当cm时，的面积是；

当cm时，的面积是；

当cm时，的面积是．

（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）

9、证明: 过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵ 在梯形ABCD中，AB‖CD，∠A=90°，

∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°．

∴四边形AFCD是矩形．

AD=CF, BF=AB-AF=1．

在Rt△BCF中，

CF2=BC2-BF2=8，

∴ CF=．

∴ AD=CF=．

∵ E是AD中点，

∴ DE=AE=AD=．

在Rt△ABE和 Rt△DEC中，

EB2=AE2+AB2=6，

EC2= DE2+CD2=3，

EB2+ EC2=9=BC2．

∴ ∠CEB＝90°．

∴ EB⊥EC．

10、（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ..................2分

∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. ..................4分

（2）答：四边形E′BGD是平行四边形

理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB‖CD，

∴BE′＝DG，BE′‖DG，..................6分

∴四边形E′BGD是平行四边形 ..................8分

11、解法一：矩形中，，，

，，．

解法二：矩形中，．

，，．

12、（1），即，又，四边形是平行四边形．

平分，，

又，，，，

四边形是菱形．

（2）证法一：是中点，．

又，，，

，）

，．

即，是直角三角形．）

证法二：连，则，且平分，

设交于．

是的中点，．

，是直角三角形． （7分）

13、解：（1）36；（2）秒；

（3）当三点构成直角三角形时，有两种情况：

①当时，设点离开点秒，

作于，．

，，．

当时，点离开点秒．

②当时，设点离开点秒，

，．

．．．

当时，点离开点秒．

由①②知，当三点构成直角三角形时，点离开点秒或秒．

14、证明：（1），，．

由沿折叠后与重合，知，．

四边形是矩形，且邻边相等．

四边形是正方形．

（2），且，四边形是梯形．

四边形是正方形，，．

又点为的中点，．连接．

在与中，，，，

，．

，，四边形是平行四边形．

．．．

四边形是等腰梯形．

注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证

15、解（1）证明： ∵CE平分，∴，

又∵MN‖BC，∴，∴，∴．

同理，．∴ ．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

∵，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.

又∵，．∴，即．∴四边形AECF是矩形．

16、（1）解法一：如图25-1

过A作AE⊥CD，垂足为E .

依题意，DE=.

在Rt△ADE中，AD=.

解法二：如图25-2

过点A作AE‖BC交CD于点E，则CE=AB=4 .

∠AED=∠C=60°.

又∵∠D=∠C=60°，

∴△AED是等边三角形 .

∴AD=DE=9－4=5 .

（2）解：如图25-1

∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：

S=PD·h

=(9－x)·x·sin60°

=(9x－x2)

=－(x－)2＋.

由题意，知0≤x≤5 .

当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.

（3）证法一：如图25-3

假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .

于是9－x=x，x=.

此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .

△PDQ恰为等边三角形 .

过点Q作QM‖DC，交BC于M，点M即为所求.

连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .

易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD

∴MP‖QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .

又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .

所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.

证法二：如图25-4

假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .

于是9－x=x，x=.

此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .

过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .

易知∠1=∠C .

∴PQ‖BC .

又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD

∴MP= CD=PD

即MP=PD=DQ=QM

∴四边形PDQM是菱形

所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=

17、（1）证明：，

是的中点，

又，

．）

即是的中点．

（2）解：四边形是矩形，

证明：，，

四边形是平行四边形．

，是的中点，

即．

四边形是矩形．

18、 (1）添加条件：BE=DF或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE等

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD

∠B =∠D

在△ABE和ADF中

AB=AD

∠B =∠D

BE=DF

∴△ABE≌ADF

∴AE=AF

19、解:（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．

∵E，F分别为AB，CD的中点

∴AE=CF

在和中，

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：，

是，且是斜边（或）

是的中点，

由题意可知且，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形．

20、解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900

又∵DF⊥DE，

∴∠1+∠3=∠2+∠3

∴∠1=∠2

在Rt△DAE和Rt△DCE中，

∠1=∠2

AD=CD

∠A=∠DCF

∴Rt△DAERt△DCE

∴DE=DF．

21、解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°

∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°

∵PQ‖BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB

∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP

过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM

∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ

∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ

（2）解：由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE

∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4

当点P在线段ED上时（如图1）

过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x

由（1）得PD=BE-PQ=4-x

∴y=PD·QH=

当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H' ∴QH'=x

过点E作EM'⊥PQ于点M' 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD

∴PD=x-4 y=PD·QH'=

（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点

∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=

∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°

∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°

∵PQ‖BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1

QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC

∴∠PCN=∠PCF...............1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC

∴ ∴PG==

22、 解：当cm时，的面积是；当cm时，的面积是；

当cm时，的面积是．（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）

23、（1）证明：当时，，

又，

四边形为平行四边形．

（2）证明：四边形为平行四边形，

（3）四边形可以是菱形．

理由：如图，连接，

由（2）知，得，

与互相平分．

当时，四边形为菱形．

在中，，

，又，，

绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．

24、（1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.

∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）.

∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD.

② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，

∵ PB=PE，

∴ ∠PBE=∠PEB， 要“难题”肯定得学习高手才有！而那些学习高手现正努力钻研之中！所以－－我劝LZ亲自到书店，掏钱买本难度大的练习。

一到初三数学难题,请高手探讨,30分

（1）解：因为角C=90度

AC=BC=3倍根号2

所以三角形ACB是等腰直角三角形

所以角B=角BAC=45度

由勾股定理得：

AB^2=AC^2+BC^2

所以AB=6

因为DK垂直AB于K

所以角DKB=角DKA=90度

由勾股定理得：

BD^2=BK^2+DK^2

因为角B+角BDK+角DKB=180度

所I以角B=角BDK=45度

所以DK=BK

因为CD=根号2

BC=BD+DC

所以BD=2倍根号2

所以DK=BK=2

因为AB=AK+BK

所以AK=6-2=4

解：因为三角形PEF是等腰直角三角形

所以角FEP=90度

PE=EF=m

因为角FPE+角DKA=180度

所以PE平行DK

所以PE/DK=AE/AK

所以AE=2m

因为KF=AK-AE-EF

所以KF=4-3m

因为PE=1/2BQ=m

所以BQ=2m

因为QK=BK-BQ

所以QK=2-2m

因为QF=QK+KF

所以QF=6-5m

(2)因为DQF是直角三角形

所以点Q与点K重合

所以BK=BQ

所以2m=2

m=1 给你提示：

三角形的相似性、勾股定理的运用（或可解三角形）！

(AB-BK)/(BC-CD)=BC/AB

PE/DK=AE/AK

AB=6

AD=2√5

DK=BK=2

EF=PE=m

QF=AB-(AE+EF)-BQ

若△DQF是Rt△，则Q、K重合

PE是△ADK的中位线，m=1

九上数学最难题目

苏教版九上数学哪个单元是最难的部分是函数部分这个单元。在中考中，函数往往作为压轴题，也是选拔题，落分题。往往与三角形知识相联系，形成动点题。难度系数很大，考查学生的思维能力和各章节的整合能力。数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。数学的发展历史可以追溯到古埃及、美索不达米亚及古印度等古代文明，而在古希腊时期，数学得到了更为严谨的处理。

初三数学压轴题大全及答案

31、（辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，点 ．

（1）以 为一边在第一象限内作等边 及 的外接圆 （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）若 与 轴的另一个交点为点 ，求 ， ， ， 四点的坐标；

（3）求经过 ， ， 三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹

（2）由直线 ，求得点 的坐标为 ，点 的坐标为

在 中， ，

是等边三角形

点 的坐标为 ，连结

是等边三角形

直线 是 的切线

点 的坐标为

（3）设经过 ， ， 三点的抛物线的解析式是

把 代入上式得

抛物线的解析式是

存在点 ，使 的面积等于 的面积

点 的坐标分别为 ， ．

[点评]本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

32、（山东滨州卷）已知：抛物线 与 轴相交于 两点，且 ．

（Ⅰ）若 ，且 为正整数，求抛物线 的解析式；

（Ⅱ）若 ，求 的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在 ，使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线 过点 ，与（Ⅰ）中的抛物线 相交于 两点，且使 ，求直线 的解析式．

[解] （Ⅰ）解法一：由题意得， ．

解得， ．

为正整数， ． ．

解法二：由题意知，当 时， ．

（以下同解法一）

解法三： ，

又 ．

（以下同解法一．）

解法四：令 ，即 ，

（以下同解法三．）

（Ⅱ）解法一： ．

，即 ．

解得 ．

的取值范围是 ．

解法二：由题意知，当 时，

解得： ．

的取值范围是 ．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知， ．

的取值范围是 ．

（Ⅲ）存在．

解法一：因为过 两点的圆与 轴相切于点 ，所以 两点在 轴的同侧，

由切割线定理知， ，

即 ． ，

解法二：连接 ．圆心所在直线 ，

设直线 与 轴交于点 ，圆心为 ，

则 ．

在 中，

即 ．

解得 ．

（Ⅳ）设 ，则 ．

过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ．

则 ．

所以由平行线分线段成比例定理知， ．

因此， ，即 ．

过 分别向 轴引垂线，垂足分别为 ，

则 ．所以 ． ．

． ．

，或 ．

当 时，点 ． 直线 过 ，

解得

当 时，点 ． 直线 过 ，

解得

故所求直线 的解析式为： ，或 ．

[点评]本题对学生有一定的能力要求，涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识，是一道选拔功能卓越的好题。

33、（山东济宁卷）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

[解] （1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，

∴四边形OBNM为矩形。

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

∵ ，AO=BO=1，

∴AM=PM。

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM

∴OM=PN

∵∠OPC=900

∴∠OPM+CPN=900

又∵∠OPM+∠POM=900

∴∠CPN=∠POM

∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin450=

∴NC=PM=

∴BN=OM=PN=1-

∴BC=BN-NC=1- - =

（3）△PBC可能为等腰三角形。

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

②当点C在第四象限，且PB=CB时，

有BN=PN=1－

∴BC=PB= PN= -m

∴NC=BN+BC=1－ + -m

由⑵知：NC=PM=

∴1－ + -m=

∴m=1

∴PM= = ，BN=1－ =1－

∴P（ ,1－ ）

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（ ,1－ ）

[点评]此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案。 34、（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．

（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；

（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；

（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．

设抛物线 的解析式是

解得

所以所求抛物线的解析式是 ．

（2）由（1）可计算得点 ．

过点 作 ，垂足为 ．

当运动到时刻 时， ， ．

根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．

所以 ．

所以，四边形 的面积 ．

因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．

所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．

（3） ，（ ）．

所以 时， 有最大值 ．

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形 能形成矩形．

由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．

所以 ．所以 ．

所以 ．解之得 （舍）．

所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

35、（四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以 为边在 轴下方作正方形 ，点 是线段 与正方形 的外接圆除点 以外的另一个交点，连结 与 相交于点 ．

（1）求证： ；

（2）设直线 是 的边 的垂直平分线，且与 相交于点 ．若 是 的外心，试求经过 三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 ，使该点关于直线 的对称点在 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）在 和 中，

四边形 是正方形， ．

又 ，

（2）由（1），有 ， ． 点 ．

是 的外心， 点 在 的垂直平分线上．

点 也在 的垂直平分线上．

为等腰三角形， ．

而 ，

设经过 三点的抛物线的解析表达式为 ．

抛物线过点 ， ． ．　　 ①

把点 ，点 的坐标代入①中，得

即 　　解得

抛物线的解析表达式为 ． ②

（3）假定在抛物线上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 轴上．

是 的平分线，

轴上的点 关于直线 的对称点 必在直线 上，

即点 是抛物线与直线 的交点．

设直线 的解析表达式为 ，并设直线 与 轴交于点 ，则由 是等腰直角三角形．

． ．

把点 ，点 代入 中，得

直线 的解析表达式为 ．

设点 ，则有 ．　　 ③

把③代入②，得 ，

，即 ．

解得 或 ．

当 时， ；

当 时， ．

在抛物线上存在点 ，它们关于直线 的对称点都在 轴上．

[点评]本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难。

36、（浙江卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0， )，直线l2的函数表达式为 ，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．

(1)　填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，∠FPB的度数是 ；

(2)　当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R= 时a的值.

(3)　当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R= ，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

[解] (1)

P(1， )

60�0�2

(2)　设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．

过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30�0�2，CP=PC)， 所以PG=CD=R．

当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．

取R= 时，a=1+R= ，

或a=-(R-1) ．

(3) 当⊙C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当0≤a≤ 时，

当 时，（满足a≤ ），S有最大值．此时

（或 ）．

② 当 ≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即 时，S最大．此时

综合以上①和②，当 或 时，存在S的最大值，其最大面积为

[点评]此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间。

37、（广东课改卷）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 = ，求这时点P的坐标。

[解] （1）作BQ⊥x轴于Q.

∵ 四边形ABCD是等腰梯形,

∴∠BAQ＝∠COA＝60°

在RtΔBQA中,BA=4,

∴BQ=AB�6�1sin∠BAO=4×sin60°=

AQ=AB�6�1cos∠BAO=4×cos60°=2,

∴OQ=OA-AQ=7-2=5

∵点B在第一象限内,

∴点B的的坐标为(5, )

（2）若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,

此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形

若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,

∴点P的坐标为(4,0)

若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4

∴点P的坐标为(-4,0)

∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)

（3）若∠CPD=∠OAB

∵∠CPA=∠OCP+∠COP

而∠OAB=∠COP=60°,

∴∠OCP=∠DPA

此时ΔOCP∽ΔADP

∴ ,

AD=AB-BD=4- =

AP=OA-OP=7-OP

得OP=1或6

∴点P坐标为(1,0)或(6,0).

[点评]本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错区分度较好的压轴题。

38、（广东肇庆卷）已知两个关于 的二次函数 与 ；当 时， ；且二次函数 的图象的对称轴是直线 ．

（1）求 的值；

（2）求函数 的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数 的图象与 的图象是否有交点？请说明理由．

[解] （1）由

得 ．

又因为当 时， ，即 ，

解得 ，或 （舍去），故 的值为 ．

（2）由 ，得 ，

所以函数 的图象的对称轴为 ，

于是，有 ，解得 ，

所以 ．

（3）由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为 ；

由 ，得函数 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为 ；

故在同一直角坐标系内，函数 的图象与 的图象没有交点．

[点评]本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、方程等知识，因该说难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，在予以说明。

初三上册数学必考难题

三、解答题（22～26题每题6分，27题7分，共37分）

22、如图，矩形 中，点 是 与 的交点，过点 的直线与 、 的延长线分别交于点 、 。

⑴求证： ；

⑵当 与 满足什么条件时，四边形 是菱形？并证明你的结论。

23、如图， 是 的弦， 切 于点 ， ， 交 于点 ，点 为弧 的中点，连结 ，在不添加辅助线的情况下，

⑴找出图中存在的全等三角形，并给出证明；

⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明。

24、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 上，并使它的直角顶点 在对角线 上滑动，直角的一边始终经过点 ，另一边与射线 相交于点 。

探究：设 、 两点间的距离为 。

⑴当点 在 上时，线段 与线段 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图⑴）。

⑵当点 在边 上时，设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图⑵）。

⑶当点 在线段 上滑动时， 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置，并求出相应的 的值；如果不可能，试说明理由（如图⑶）。（图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用）

25、如图，已知四边形 中，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，并且点 、 、 、 有在同一条直线上。

求证： 和 互相平分。

26、已知：抛物线 与 轴的一个交点为 。

⑴求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标。

⑵点 是抛物线与 轴的交点，点 是抛物线上的一点，且以 为一底的梯形 的面积为9，求此抛物线的解析式。

⑶点 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为5：2的点，如果点 在⑵中的抛物线上，且它与点 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。

27、在平面直角坐标系中（单位长度：1cm）， 、 两点的坐标分别为 ， ，点 从点 开始以2cm/s的速度沿折线 运动，同时点 从点 开始以1cm/s的速度沿折线 运动。

⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似吗？以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由。

⑵试判断 时，以点 为圆心， 为半径的圆与以点 为圆心、 半径的圆的位置关系；除此之外 与 还有其他位置关系吗？如果有，请求出 的取值范围。

⑶请你选定某一时刻，求出经过三点 、 、 的抛物线的解析式。