求数学竞赛高中的试题什么的

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间：120分钟　满分150分)　　一、(本题满分50分)　　如图，在锐角△ABC中，AB

2. 空间四点A、B、C、D，满足 、 、 、 ，则 的取值

A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 1. 使关于x的不等式 有解的实数k的最大值是

D. 有无穷多个

3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则 的值是

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则

A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值

5. 方程 表示的曲线是

A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线

C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线

6. 记集合 ， ，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是

A. B. C. D.

二、填空题

7. 将多项式 表示为关于y的多项式 ，且 ，则 =__________。

8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若 成立，则实数a的取值范围是_____________。

求几道高中数学竞赛题

一、选择题

1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，则a、b、c、d四个数( ).

A.必全为正实数

B.至少有一个负数

C.有且只有一个负数

D.以上都不对

2.已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C，对应边长为a、b、c，记，则( ).

A.

B.

C.

D.

3.三个正实数a、b、c满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，下列说法正确的是( ).

A.以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形

B.以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形

C.以a、b、c为边长的三角形必为锐角三角形

D.不存在以a、b、c为边长的三角形

4.由不全相等的正数xi(i=1，2，…，n)形成n个数：，，…，，，关于这n个数，下列说法正确的是( ).

A.这n个数都不大于2

B.这n个数都不小于2

C.至多有n-1个数不小于2

D.至多有n-1个数不大于2

5.已知三个正实数a、b、c满足a2+b2=c2·n是大于1的正整数，记当m＞n(m为正整数)时，有( ).

A.f(m)＞f(n)

B.f(m)＜f(n)

C.f(m)=f(n)

D.f(m)≥f(n)

6.设a、b、c、d都是正实数，下列三个不等式：

a+b＜c+d， ①

(a+b)(c+d)＜ab+cd， ②

(a+b)cd＜ab(c+d). ③

其中能同时成立的不等式至多有( )个.

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

7.已知f(x)=x2+bx+c.若|f(1)|＜.|f(2)|＜，则f(3)的取值范围为_____________.

8.实数a、b、c、d同时满足下列三个条件.

①d＞c；②a+b=c+d；③a+d＜b+c.

则a、b、c、d的大小顺序为_____________.

9.已知x、y、z均为实数，且，则|xyz|的最小值为__________.

10.已知a、b、c是某三角形三边的长.记p=(a2+b2+c2)2，q=2(a4+b4+c4)，则p与q的大小关系为________________.

11.用max{a，b，c}表示a、b、c三数中的最大者.若，，，其中x、y为正实数，，则max{a，b，c}=___________.

12.设△ABC三边长为a、b、c，且a+b+c=2，则a2+b2+c2+2abc与2的大小关系为________.

三、解答题

13.已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，三个正数p、q、r满足p+q+r=1，三个实数x1、x2、x3互不相等.求证：

pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).

14.已知x，y，z∈R，且x+y+z=0.

求证：6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3.

15.记p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2)，当a=b=c＞0或a=b＞0，c=0时，都有p≥0.

求证：当a、b、c为任意三角形三边长时，有p≥0.

参考答案

一、选择题

1.由a+b=c+d=1，得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc，

∴ad+bc=1-(ac+bd)＜0.

故a、b、c、d中至少有一个负数，当a=-1，b=2，c=-2，d=3时满足题意，故选B.

2.由a＜b+c，得2a＜a+b+c.

同理，.

∴故选B.

3.由题设得

∴，

∴c＞a.

而，

∴a+b＞c.故a、b、c是某一三角形三边的长.

，故选A.

4.∵，

∴这n个数之和可写成

由于xi(i=1，2，…，n)不全相等，

因此故A错.

取xi=i(i=1，2，…，n)知B错，

取xi=i+1(i=1，2，…，n)知C错.故应选D.

事实上，取，x2=x3=…=xn=1，满足D.

5.由a2+b2=c2设a=ccosθ，b=csinθ，

则，

先比较f(n)与f(n+1)的大小；

∵[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1)

=(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n＞(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n

=(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1)

(∵，∴)，

∴f(n)＞f(n+1).

∴f(n)＞f(n+1)＞f(n+2)＞…＞f(m)，

故选B.

6.当cd≤ab时，

若①成立，则，

即③成立.

假设此时②成立，则有

(a+b)2＜(a+b)(c+d)＜ab+cd≤2ab.

∴，矛盾.

故①、③成立时，②一定不成立.

当cd＞ab时，

若③成立，则，∴①成立.

假定此时②成立，由③得

∴，矛盾.

即③成立时，②必不成立.

综上，①、②、③中至多有2个成立，故选C.

二、填空题

7.

∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8.

=f(1)+2f(2)-2f(1)+2

=2f(2)-f(1)+2.

由，

8.由③得0＜d-c＜b-a，∴a＜b.

由②得2a＜a+b=c+d＜2d，∴a＜d.

由③得b-d=c-a＞0，∴b＞d.

∴a、b、c、d四数的大小顺序为a＜c＜d＜b.

9.设，，，则a+b+c=1，且，，

∴，

当且仅当x2=y2=z2=2时，取“=”号.

∴，即|xyz|的最小值为

10.q-p=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

=(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2

=(a2+b2-c2)2-(2ab)2

=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]

=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)＜0.

∴q＜p.

11.

同理

设，当0＜t1＜t2时，

∴f(t1)＜f(t2)，

即f(t)在(0，+∞)上为增函数.

由知1＜tanθ＜tan2θ，

∴f(1)＜f(tanθ)＜f(tan2θ)，

即a＜b＜c.

∴max{a，b，c}=c.

12.a2+b2+c2+2abc-2

=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2

=2(1-ab-bc-ca+abc).

∵∴0＜a＜1.

同理，0＜b＜1，0＜c＜1，

∴(1-a)(1-b)(1-c)＞0.

∴a2+b2+c2+2abc＜2.

三、解答题

13.pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)

∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3)

=apq(x1-x2)2+apr(x1-x3)2+aqr(x2-x3)2＞0.

∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).

14.设x=rcosθ，y=rsinθ，

则z=-r(cosθ+sinθ).

当r=0时，原不等式显然成立；

当r≠0时，原不等式等价于证明

6[cos3θ+sin3θ-(cosθ+sinθ)3]2≤[cos2θ+sin2θ+(sinθ+cosθ)2]3，

即证25sin32θ+15sin22θ-24sin2θ-16≤0，

即证(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0.

此不等式显然成立，∴原不等式得证.

15.当a=b=c＞0时，；

当a=b＞0，c=0时，

(1)当λ≥0时，

p=λ(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)

(2)当λ＜0时，

p=λ(a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)

=λ[(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2]+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)

=λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2).

∴p≥0.

3、不等式>0的解集是 ( )

A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4）

[答案]C 你去买一套《天利38套》的单元专项训练，上面都是各个省份的卷子，算是好题。

或者《十年高考》，全是高考题，这上面的都是一些相当经典的方法，就连我们的老师都自愧不如，

高中数学竞赛题100道题目

设 f(x)是满足下列条 件的函数：

(1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ，则存在实数 z∈[y , x]，使得f(z) = ω - z ；

(2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解，并在该方程的解中存 在一个解不大于所有其它的解；

(3) f(0) = 1 ；

(4) f(-1999) ≤ 2000 ；

(5) f(x)f(y) = f[xf(y) + yf(x) + xy] ；

求 f(-1999) 的值

已知条件很多，直接和所求结果密切相关的只有条件(4),由于条件(4)为f(—1999)≤2000，若我们还能推导f(－1999)≥2000，则f(－1999)的值就只能为2000，这是这种构造性题目的共同点.

解： 令 F(x) = f(x) + x，则根据条件(3)有， F(0) = f(0) + 0 = 1

由条件(2)，可设 m 是f(x) = 0 的最小根，则F(m) = m ①

首先证明这里的最小值 m 是正值，证明如下：

假如m ＜ 0，则对于 ω = 0，由条件(1)及 F(0)≥ω≥F(m)

也就是： 1 = f(0) + 0 = F(0)≥ω≥F(m) = f(m) + m = m

得到

存在 z ∈[m，0]，使得 F(z) = ω = 0

根据条件(5)可知

0 = f(z)* 0 = f(z)f(m)

= f[z f(m) + m f(z) + zm]

= f[m (f(z) + z)]

= f[m F(z)]

= f[m F(z)]

= f(0)

= 1

显然0≠1，这是因为假设m ＜ 0而导致的矛盾，所以，m ＞ 0

接上面的①式继续，

对于任意实数 x，因为m 是f(x) = 0 的最小根，由条件(5)有

0 = f(x)f(m) = f[x f(m) + u f(x) + xm]

= f[m (f(x) + xm)]

所以， f(x) + xm 一定是方程f(x) = 0 的实根 ②

而上面的①中假设 m 是f(x) = 0 的最小根

所以 mf(x) + xm ≥m

从而，f(x) + x ≥ 1

即f(x)≥1 - x

所以 f(-1999)≥2000

考虑到条件(4)中的 f(－1999)≤2000

所以 f(-1999) = 2000

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一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )

A 不存在 B 存在

C 存在 D 对任意的

2、 的定义域为 ， 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )

A．3 B． C．2 D．

3、、等差数列 的通项公式是 ，其前 项和为 ，则数列 的前10项和为（ A ）

A．75 B．70 C．120 D．100

4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为 外心，动点P满足

,则P的轨迹定过 的（ D ）

A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点

5、若 是偶函数，则点( )的轨迹方程( B )

6、定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 在 上是减函数．下面五个关于 的命题中，命题正确的个数有( C )

① 是周期函数；② 的图像关于 对称；③ 在 上是减函数；

④ 在 上为增函数；⑤ ．

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）

7、已知集合A={—1，3，m}，B={3，4}，若B A，则实数m的值是 4 ．

8、在三角形ABC中，若 ，则该三角形的最大内角等于 .

9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .

10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量 ，若 则角C的大小为

11、若 为 的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ， ，则 11 .

12、若数列{an}的通项公式an＝ ，记 ，试通过计算 ， ， 的值，推测出 ＝ ．

13、对于函数 ，在使 ≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的“上确界”，则函数 的“上确界”为 2 .

14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点，且截直线 所得的弦长为 ，则满足条件的一组参数 和 的值可以是 .

15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .

16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 c ．（填入 中的某个字母）

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（本题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数 在 的值域为 ．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围.

解：由 得 ………………………………………………3分

，在 上的值域为 得 …………… 7分

且 为假， 或 为真 得 、 中一真一假．

若 真 假得， ……………………………9分

若 假 真得， ． ………………………………………………11分

综上， 或 ． ………………………………………………12分.

18（本小题满分12分）在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .

(1) 求函数 的解析式和定义域；

(2) 求 的最大值.

解：（1） 的内角和

………………………1分

……………4分

…………………6分

（2） ……………8分

…………11分

当 即 时，y取得最大值 ………………………12分

19（本小题满分13分）已知函数 的定义域为 ，值域为[5,4]；函数 .

(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;

(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.

解：f(x)=a(1－cos2x)－ sin2x＋b

=－a(cos2x＋ sin2x)＋a＋b=－2a sin(2x＋ )＋a＋b . ----------------------------2分

∵x∈ ，∴2x＋ ，sin(2x＋ ) . 显然a=0不合题意.--------3分

(1) 当a＞0时,值域为 ,即 -----------------------------5分

(2) 当a＜0时,值域为 ,即 6分

(Ⅰ) 当a＞0时，g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5;

当a＜0时，g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),

∴ T=, g(x)max= . 8分

(Ⅱ)由上可知，

当a＞0时, 由g(x)=5sin(x1)，且tan1= , g(x)max=5，此时x1＝2k + (k∈Z).

则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, )，∴tanx=cot 1＝ . 10分

当a<0时, g(x)max= <5，所以不存在符合题意的x. 12分

综上，tan x=－ . ------------------------------------------------------------------------------------13分

20（本题满分13分）已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ，且m•n ．

（1）求向量n；

（2）若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ，向量b =（ ），其中A，C是△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求｜n+ b｜的取值范围．

（1）解：设 ，由 ，得 ----------------------------------------2分

∵向量 与向量 的夹角为 ，

又∵ ∴ ，则 ---------------------4分

解得 或 ∴ 或 ----------6分

（2）解：由向量 与向量 的夹角为 ，可知

由2B=A+C知B= ，A+C= ，0＜A＜ --------------------8分

若 ，则

--------------------10分

∵0＜A＜ ， ＜2A＜

∴ ， ， ----------------12分

∴ ----------------13分

21（本题满分15分）某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① 与 和 的乘积成正比；②当 ， ；③ 其中 为常数，且 ．

(1)设 ，求出 的表达式，并求出 的定义域；

(2)求出附加值 的最大值，并求出此时的技术改造投入的 的值

解：(1)设 ．

由 ， ，得：k=4．

于是， ．---- ------3分

解关于x的不等式： ，得0≤x≤ ．---- ------5分

∴函数的定义域为 ， 为常数， ．---- ------7分

(2) ．

当 ；---- ------9分

当 上为增函数，故当 ．---- ------11分

故 时，投入 时，附加值 最大为 万元；---- ------13分

当 时，投入 时，附加值 最大为 万元---- ------15分

22（本题满分15分）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）

（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且

①求{an}通项公式。

②当a＞1时，不等式 对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。

解：（Ⅰ） 时，f（x）＞1

令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1

∴f（0）=1 …………………………2分

若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故

故x∈R f（x）＞0 …………………………………4分

任取x1＜x2

故f（x）在R上减函数 …………………………6分

（Ⅱ）①

由f（x）单调性知，an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分

是递增数列 …………13分

当n≥2时，

…………………14分

而a＞1，∴x＞1

故x的取值范围（1，+∞） ……………………15分