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2、打开WPS,点击插入标签，把纸质试卷的照片插入进来，最后点击“输出为PDF"图标即可，保存到桌面。
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高中数学合集百度网盘下载
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简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。 2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)
本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位，则=
A.- B.-1 C. D.1
2.已知,则=
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则x的取值范围为
A. B.
C. D.
4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n 3
试卷类型：A
5．已知随机变量服从正态分布，且P（＜4）＝，则P（0＜＜2）＝
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(＞0,且).若，则=
A．2 B. C. D.
7.如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
8.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a⊥ b.若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A..[-2，2] B.[-2，3] C.[-3，2] D.[-3，3]
9.若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A.5太贝克 B.75In2太贝克
C.150In2太贝克 D.150太贝克
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。
11. 的展开式中含的项的系数为
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为 。（结果用最简分数表示）
13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
试卷类型A
14.如图，直角坐标系所在平面为，直角坐标系（其中与轴重合）所在的平面为，。
（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。
15. 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分10分）
设的内角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）求的周长
（Ⅱ）求的值
17. （本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流速度x 的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/每小时）
18. （本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合.
（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值.
19.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足：， N*，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.
20. （本小题满分14分）
平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；
（Ⅱ）设…，均为正数，证明：
（1）若……，则…；
（2）若…=1，则……。
基础巩固
1.用分数指数幂表示 为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为 .
2.有下列四个命题:
(1)正数的偶次方根是一个正数;(2)正数的奇次方根是一个正数;(3)负数的'偶次方根是一个负数;(4)负数的奇次方根是一个负数.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：其中(1)(3)错误,(2)(4)正确.
3.化简 (x )的结果是( )
A.1-2x B.0
C.2x-1 D.(1-2x)2
答案：C
解析： =|2x-1|,而x ,
=2x-1.
4.计算7 +3 -7 -5 的结果是( )
A.0 B.54 C.-6 D.40
答案：A
解析：原式=73 +32 -7 -54 =27 -27 =0.
5. =___________________.
答案：
解析：原式=
= .
6.已知2x-2-x=3,则4x+4-x=__________________.
答案：11
解析：(2x-2-x)2=9,即4x+4-x-2=9,则4x+4-x=11.
7.计算下列各式:
(1) (- )0+80.25 +()6- ;
(2) (1-2 ) .
解：(1)原式= =21+427=110.
(2)原式= =a.
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8.化简(-3 )( )( )得( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
答案：C
解析：原式= =-9a.
9.式子 的化简结果为( )
A.1 B.10 C.100 D.
答案：D
解析：( + )2=3+ +2 +3-
=6+2 =10.
+ = .
10.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是________________.
答案：ac
解析：化为同根指数幂再比较.
11.若10x=3,10y=4,则10x-y=_________________.
答案：
解析：10x-y= = .
12.已知 =3,求 的值.
解：∵ =3,
( )2=9.
x+2+x-1=9,
即x+x-1=7.
(x+x-1)2=49.
x2+2+x-2=49,
即x2+x-2=47.
13.已知 =4,x=a+3 ,y=b+3 ,求证 为定值.
证明：因为x+y=a+3 +b=( )3,
所以(x+y =( )2= + .
类似可得(x-y =( )2= ,
所以原式=2( )=24=8(定值).
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14.a、bR,下列各式总能成立的是( )
A.( )6=a-b B. =a2+b2
C. =a-b D. =a+b
答案：B
解析：A中( )6
B中 =a2+b2;
C中 =|a|-|b|;
D中 =|a+b|.
选B.
15.已知a2x= +1,则 的值为_________________.
答案：2 -1
解析： =a2x-1+a-2x.
由已知a2x= +1得a-2x= -1.
-1.
16.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a0且a1).
(1)求［f(x)］2-［g(x)］2的值.
(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 的值.
解：(1)∵f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x,
［f(x)］2-［g(x)］2=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2
=a2x-2axa-x+a-2x-(a2x+2axa-x+a-2x)
=-4.
(2)∵f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题
1．下列积分正确的是( )
[答案] A
A.214 B.54
C.338 D.218
[答案] A
[解析] 2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx
＝13x32－2＋－13x－32－2
＝13(x3－x－3)2－2
＝138－18－13－8＋18＝214.
故应选A.
3.1－1|x|dx等于( )
A.1－1xdx B.1－1dx
C.0－1(－x)dx＋01xdx D.0－1xdx＋01(－x)dx
[答案] C
[解析] ∵|x|＝x (x≥0)－x (x<0)
∴1－1|x|dx＝0－1|x|dx＋01|x|dx
＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C.
4．设f(x)＝x2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D．不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx
取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.
5.abf′(3x)dx＝( )
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.13[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x)
∴取F(x)＝13f(3x)，则
abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C.
6.03|x2－4|dx＝( )
A.213 B.223
C.233 D.253
[答案] C
[解析] 03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx
＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233.
A．－32 B．－12
C.12 D.32
[答案] D
[解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ
8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是( )
A．cosx B．sinx
C．－cosx D．－sinx
[答案] A
[解析] F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故应选A.
9．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，
∴k＝0或1.
10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－323
C．有最小值－323，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)
F′(x) ＋ 0 － 0 ＋
F(x) 极大值 极小值
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.
又F(－1)＝－73，F(5)＝－253
∴最大值为0，最小值为－323.
二、填空题
11．计算定积分：
①1－1x2dx＝________
②233x－2x2dx＝________
③02|x2－1|dx＝________
④0－π2|sinx|dx＝________
[答案] 23；436；2；1
[解析] ①1－1x2dx＝13x31－1＝23.
②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436.
③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx
＝x－13x310＋13x3－x21＝2.
[答案] 1＋π2
13．(2010•陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案] 13
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝13.
14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案] －1或13
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.
三、解答题
15．计算下列定积分：
(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；
(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.
[解析] (1)052xdx＝x250＝25－0＝25.
(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx
＝13x310－x210＝13－1＝－23.
(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝16x－4x2－43x3＋12x420
＝32－16－323＋8＝403.
(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx
＝12x2＋2x－3lnx21＝72－3ln2.
16．计算下列定积分：
[解析] (1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x
＝121－32＝14(2－3)．
(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则
F′(x)＝x＋1x＋2.
∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx
＝F(3)－F(2)
＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4
＝92＋ln32.
(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx
17．计算下列定积分：
(1)0－4|x＋2|dx；
(2)已知f(x)＝ ，求3－1f(x)dx的值．
[解析] (1)∵f(x)＝|x＋2|＝
∴0－4|x＋2|dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx
＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2
＝2＋2＝4.
(2)∵f(x)＝
∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx
＝x－x2210＋x22－x21
＝12＋12＝1.
18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)取F(x)＝23ax3－12a2x2
则F′(x)＝2ax2－a2x
∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx
＝F(1)－F(0)＝23a－12a2
＝－12a－232＋29
∴当a＝23时，f(a)有最大值29.
(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx
取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx
则F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
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本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位，则=
A.- B.-1 C. D.1
2.已知,则=
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则x的取值范围为
A. B.
C. D.
4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n 3
试卷类型：A
5．已知随机变量服从正态分布，且P（＜4）＝，则P（0＜＜2）＝
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(＞0,且).若，则=
A．2 B. C. D.
7.如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
8.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a⊥ b.若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A..[-2，2] B.[-2，3] C.[-3，2] D.[-3，3]
9.若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A.5太贝克 B.75In2太贝克
C.150In2太贝克 D.150太贝克
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。
11. 的展开式中含的项的系数为
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为 。（结果用最简分数表示）
13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
试卷类型A
14.如图，直角坐标系所在平面为，直角坐标系（其中与轴重合）所在的平面为，。
（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。
15. 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分10分）
设的内角所对的边分别为，已知
（Ⅰ）求的周长
（Ⅱ）求的值
17. （本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流速度x 的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/每小时）
18. （本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合.
（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值.
19.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足：， N*，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.
20. （本小题满分14分）
平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；
（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；
（Ⅱ）设…，均为正数，证明：
（1）若……，则…；
（2）若…=1，则……。
基础巩固
1.用分数指数幂表示 为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为 .
2.有下列四个命题:
(1)正数的偶次方根是一个正数;(2)正数的奇次方根是一个正数;(3)负数的'偶次方根是一个负数;(4)负数的奇次方根是一个负数.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：其中(1)(3)错误,(2)(4)正确.
3.化简 (x )的结果是( )
A.1-2x B.0
C.2x-1 D.(1-2x)2
答案：C
解析： =|2x-1|,而x ,
=2x-1.
4.计算7 +3 -7 -5 的结果是( )
A.0 B.54 C.-6 D.40
答案：A
解析：原式=73 +32 -7 -54 =27 -27 =0.
5. =___________________.
答案：
解析：原式=
= .
6.已知2x-2-x=3,则4x+4-x=__________________.
答案：11
解析：(2x-2-x)2=9,即4x+4-x-2=9,则4x+4-x=11.
7.计算下列各式:
(1) (- )0+80.25 +()6- ;
(2) (1-2 ) .
解：(1)原式= =21+427=110.
(2)原式= =a.
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8.化简(-3 )( )( )得( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
答案：C
解析：原式= =-9a.
9.式子 的化简结果为( )
A.1 B.10 C.100 D.
答案：D
解析：( + )2=3+ +2 +3-
=6+2 =10.
+ = .
10.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是________________.
答案：ac
解析：化为同根指数幂再比较.
11.若10x=3,10y=4,则10x-y=_________________.
答案：
解析：10x-y= = .
12.已知 =3,求 的值.
解：∵ =3,
( )2=9.
x+2+x-1=9,
即x+x-1=7.
(x+x-1)2=49.
x2+2+x-2=49,
即x2+x-2=47.
13.已知 =4,x=a+3 ,y=b+3 ,求证 为定值.
证明：因为x+y=a+3 +b=( )3,
所以(x+y =( )2= + .
类似可得(x-y =( )2= ,
所以原式=2( )=24=8(定值).
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14.a、bR,下列各式总能成立的是( )
A.( )6=a-b B. =a2+b2
C. =a-b D. =a+b
答案：B
解析：A中( )6
B中 =a2+b2;
C中 =|a|-|b|;
D中 =|a+b|.
选B.
15.已知a2x= +1,则 的值为_________________.
答案：2 -1
解析： =a2x-1+a-2x.
由已知a2x= +1得a-2x= -1.
-1.
16.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a0且a1).
(1)求［f(x)］2-［g(x)］2的值.
(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 的值.
解：(1)∵f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x,
［f(x)］2-［g(x)］2=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2
=a2x-2axa-x+a-2x-(a2x+2axa-x+a-2x)
=-4.
(2)∵f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题
1．下列积分正确的是( )
[答案] A
A.214 B.54
C.338 D.218
[答案] A
[解析] 2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx
＝13x32－2＋－13x－32－2
＝13(x3－x－3)2－2
＝138－18－13－8＋18＝214.
故应选A.
3.1－1|x|dx等于( )
A.1－1xdx B.1－1dx
C.0－1(－x)dx＋01xdx D.0－1xdx＋01(－x)dx
[答案] C
[解析] ∵|x|＝x (x≥0)－x (x<0)
∴1－1|x|dx＝0－1|x|dx＋01|x|dx
＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C.
4．设f(x)＝x2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D．不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx
取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.
5.abf′(3x)dx＝( )
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.13[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x)
∴取F(x)＝13f(3x)，则
abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C.
6.03|x2－4|dx＝( )
A.213 B.223
C.233 D.253
[答案] C
[解析] 03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx
＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233.
A．－32 B．－12
C.12 D.32
[答案] D
[解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ
8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是( )
A．cosx B．sinx
C．－cosx D．－sinx
[答案] A
[解析] F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故应选A.
9．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，
∴k＝0或1.
10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－323
C．有最小值－323，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)
F′(x) ＋ 0 － 0 ＋
F(x) 极大值 极小值
可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.
又F(－1)＝－73，F(5)＝－253
∴最大值为0，最小值为－323.
二、填空题
11．计算定积分：
①1－1x2dx＝________
②233x－2x2dx＝________
③02|x2－1|dx＝________
④0－π2|sinx|dx＝________
[答案] 23；436；2；1
[解析] ①1－1x2dx＝13x31－1＝23.
②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436.
③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx
＝x－13x310＋13x3－x21＝2.
[答案] 1＋π2
13．(2010•陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案] 13
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝13.
14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案] －1或13
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.
三、解答题
15．计算下列定积分：
(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；
(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.
[解析] (1)052xdx＝x250＝25－0＝25.
(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx
＝13x310－x210＝13－1＝－23.
(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝16x－4x2－43x3＋12x420
＝32－16－323＋8＝403.
(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx
＝12x2＋2x－3lnx21＝72－3ln2.
16．计算下列定积分：
[解析] (1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x
＝121－32＝14(2－3)．
(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则
F′(x)＝x＋1x＋2.
∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx
＝F(3)－F(2)
＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4
＝92＋ln32.
(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx
17．计算下列定积分：
(1)0－4|x＋2|dx；
(2)已知f(x)＝ ，求3－1f(x)dx的值．
[解析] (1)∵f(x)＝|x＋2|＝
∴0－4|x＋2|dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx
＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2
＝2＋2＝4.
(2)∵f(x)＝
∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx
＝x－x2210＋x22－x21
＝12＋12＝1.
18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)取F(x)＝23ax3－12a2x2
则F′(x)＝2ax2－a2x
∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx
＝F(1)－F(0)＝23a－12a2
＝－12a－232＋29
∴当a＝23时，f(a)有最大值29.
(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx
取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx
则F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
