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1．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 4．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是______米。 5．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是_____米，水平距离是_____米。 6．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是__________。 7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 8．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在 江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为______。 9．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为______米。 10．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=_____厘米。
专题一 勾股定理及其逆定理
一、填空题
1．△ABC,∠C=90°,a=9,b=12,则c=__________.
2．△ABC,AC=6,BC=8,当AB=__________时,∠C=90°.
3．等边三角形的边长为6 cm,则它的高为__________.
4．△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC∶AC∶AB=__________.
5．直角三角形两直角边长分别为3 和4,则斜边上的高为__________.
6．等腰三角形的顶角为120°,底边上的高为3,则它的周长为__________.
7．若直角三角形两直角边之比为3∶4,斜边长为20,则它的面积为__________.
8．等腰三角形的两边长为2和4,则底边上的高为__________.
9．如图1,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
10．若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x2的值是__________.
图1 图2 图3 图4
二、选择题
11．下列各组数中,不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1,2,\x05\x05B．1,2,\x05\x05C．3,4,5\x05\x05\x05D．6,8,12
12．如图2,△ABC中AD⊥BC于D,AB=3,BD=2,DC=1,则AC等于（ ）
A．6\x05\x05\x05\x05B． \x05\x05\x05\x05C． \x05\x05\x05\x05D．4
13．已知三角形的三边长之比为1∶1∶ ,则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 \x05\x05B．钝角三角形 \x05\x05C．等边三角形 \x05D．等腰直角三角形
14．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长（ ）
A．4 cm\x05\x05\x05\x05B．8 cm\x05\x05\x05\x05C．10 cm\x05\x05D．12 cm
15．如图3,以三角形三边为直径向外作三个半圆,若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形\x05 B．直角三角形 C．钝角三角形\x05 D．锐角三角形或钝角三角形
18、在某山区需要修建一条高速公路,在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道,动工前,应先测隧道BC的长,现测得∠ABD=150°,∠D=60°,BD=10 km,请根据上述数据,求出隧道BC的长.
19、如图,要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米长的拉线,求地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离.
20、如图,校园内有两棵树,相距BC=12米,一棵树高AB为13米,另一棵树高CD为8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多远?
21、如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米,考虑爬梯子的稳定性,现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处,问梯子底部B将外移多少米?
专题二 用勾股定理解古代趣题
一、古代趣题
1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题：波平如镜一湖面,3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处6尺远,花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想,湖水在此深若干尺?
2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺.问折者高几何?意思是：一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远.问折断后的竹子有多高?
3、苍鹰与蛇的问题：树根下有一蛇洞,树高15米,树顶有一只苍鹰,它看见一条蛇迅速向洞口爬去,与洞口的距离还有三倍树高时,鹰向蛇直扑过去.如果鹰、蛇的速度相等,鹰扑击蛇的路线是直线段,请说出,鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇?
4、有一棵古树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从根处缠绕而上,缠绕5周到达树顶,请问这根藤条有多长?（注：古树可以看成圆柱体；树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺.1丈＝10尺）
二、最短距离问题
5、如图,有一个底面半径为6cm,高为24cm的圆柱,在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息,请问它需爬行的最短路程约是多少?（π取整数3）
6、有一个长宽高分别为2cm,1cm,3cm的长方体,如图,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处,请你帮它设计爬行的最短路线,并说明理由.
7、一个零件的形状如图1所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,
假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
8、若△ABC的三边长为a、b、c,根据下列条件判断△ABC的形状.
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
正弦型三角函数有关题型
① 一种常见考查模式为“二倍角+辅助角”的组合。
② 易错点是常忽略角度有关的约束条件使用和验证，包括角所在的象限、角度有效范围等。
例1 (北京）已知函数f（x）=(sinxcosx)sin2x/sinx
（1）求f（x）的定义域及游亩最小消磨晌正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
解：依题意有，
由f(x)=(sinx-cosx)sin2x/sinx，sinx≠0,
∴ x≠kπ,k∈Z，
∵ f(x) = (sinx-cosx)sin2x/sinx
= (sinx-cosx) × 2cosx
= 2sinxcosx-2cosx
= sin2x-(1+cos2x)
= √2sin(2x-π/4),
（1）f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，
最小拿锋正周期为2π/2 = π。
（2）求f（x）的单调递增区间，应有：
二次根式典型题20道如下：
1、计算：√18+√8。
2、计算：√12-√3。
3、计算：（√7+√6）（√7-√6）。
4、计算：√27÷√3。
5、计算：（√3-√2）²。
6、已知x =√3+√2，y=√3-√2，求 x²-y²的值。
7、已知a=√5，b=√7，求a³b-ab³的值。
8、化简：√24÷（√6×√2）。
1．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 3．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 4．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是______米。 5．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是_____米，水平距离是_____米。 6．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是__________。 7．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 8．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在 江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为______。 9．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为______米。 10．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=_____厘米。
专题一 勾股定理及其逆定理
一、填空题
1．△ABC,∠C=90°,a=9,b=12,则c=__________.
2．△ABC,AC=6,BC=8,当AB=__________时,∠C=90°.
3．等边三角形的边长为6 cm,则它的高为__________.
4．△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC∶AC∶AB=__________.
5．直角三角形两直角边长分别为3 和4,则斜边上的高为__________.
6．等腰三角形的顶角为120°,底边上的高为3,则它的周长为__________.
7．若直角三角形两直角边之比为3∶4,斜边长为20,则它的面积为__________.
8．等腰三角形的两边长为2和4,则底边上的高为__________.
9．如图1,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
10．若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x2的值是__________.
图1 图2 图3 图4
二、选择题
11．下列各组数中,不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1,2,\x05\x05B．1,2,\x05\x05C．3,4,5\x05\x05\x05D．6,8,12
12．如图2,△ABC中AD⊥BC于D,AB=3,BD=2,DC=1,则AC等于（ ）
A．6\x05\x05\x05\x05B． \x05\x05\x05\x05C． \x05\x05\x05\x05D．4
13．已知三角形的三边长之比为1∶1∶ ,则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 \x05\x05B．钝角三角形 \x05\x05C．等边三角形 \x05D．等腰直角三角形
14．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长（ ）
A．4 cm\x05\x05\x05\x05B．8 cm\x05\x05\x05\x05C．10 cm\x05\x05D．12 cm
15．如图3,以三角形三边为直径向外作三个半圆,若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形\x05 B．直角三角形 C．钝角三角形\x05 D．锐角三角形或钝角三角形
18、在某山区需要修建一条高速公路,在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道,动工前,应先测隧道BC的长,现测得∠ABD=150°,∠D=60°,BD=10 km,请根据上述数据,求出隧道BC的长.
19、如图,要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米长的拉线,求地面拉线固定点A到电线杆底部B的距离.
20、如图,校园内有两棵树,相距BC=12米,一棵树高AB为13米,另一棵树高CD为8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多远?
21、如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米,考虑爬梯子的稳定性,现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处,问梯子底部B将外移多少米?
专题二 用勾股定理解古代趣题
一、古代趣题
1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题：波平如镜一湖面,3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处6尺远,花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想,湖水在此深若干尺?
2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺.问折者高几何?意思是：一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远.问折断后的竹子有多高?
3、苍鹰与蛇的问题：树根下有一蛇洞,树高15米,树顶有一只苍鹰,它看见一条蛇迅速向洞口爬去,与洞口的距离还有三倍树高时,鹰向蛇直扑过去.如果鹰、蛇的速度相等,鹰扑击蛇的路线是直线段,请说出,鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇?
4、有一棵古树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从根处缠绕而上,缠绕5周到达树顶,请问这根藤条有多长?（注：古树可以看成圆柱体；树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺.1丈＝10尺）
二、最短距离问题
5、如图,有一个底面半径为6cm,高为24cm的圆柱,在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息,请问它需爬行的最短路程约是多少?（π取整数3）
6、有一个长宽高分别为2cm,1cm,3cm的长方体,如图,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处,请你帮它设计爬行的最短路线,并说明理由.
7、一个零件的形状如图1所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,
假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
8、若△ABC的三边长为a、b、c,根据下列条件判断△ABC的形状.
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
正弦型三角函数有关题型
① 一种常见考查模式为“二倍角+辅助角”的组合。
② 易错点是常忽略角度有关的约束条件使用和验证，包括角所在的象限、角度有效范围等。
例1 (北京）已知函数f（x）=(sinxcosx)sin2x/sinx
（1）求f（x）的定义域及游亩最小消磨晌正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
解：依题意有，
由f(x)=(sinx-cosx)sin2x/sinx，sinx≠0,
∴ x≠kπ,k∈Z，
∵ f(x) = (sinx-cosx)sin2x/sinx
= (sinx-cosx) × 2cosx
= 2sinxcosx-2cosx
= sin2x-(1+cos2x)
= √2sin(2x-π/4),
（1）f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，
最小拿锋正周期为2π/2 = π。
（2）求f（x）的单调递增区间，应有：
二次根式典型题20道如下：
1、计算：√18+√8。
2、计算：√12-√3。
3、计算：（√7+√6）（√7-√6）。
4、计算：√27÷√3。
5、计算：（√3-√2）²。
6、已知x =√3+√2，y=√3-√2，求 x²-y²的值。
7、已知a=√5，b=√7，求a³b-ab³的值。
8、化简：√24÷（√6×√2）。
