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1. 平行四边形定理性质
平行四边形的对边平行且相等
平行四边形的对角相等,邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
平行四边形的内角和外角和相等
平行四边形包括 长方形菱形
正方形和一般平行四边形
一般平行四边形没有对称轴
2. 菱形定理性质
1、具有平行四边形的性质；
2、菱形的四条边相等；
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
特点
【一步步推】设四边形ABCD是平行四边形。
①【平行四边形对边平行】
这是平行四边形的定义，不用证明。
②【平行四边形对角相等】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，AD//BC（平行四边形定义）∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°；
∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C，∠B=∠D（等量代换）
③【平行四边形对边相等】
证明：连接AC∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AB//DC（平行四边形定义）∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）又∵AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等）
④【平行四边形对角线互相平分】
连接AC、BD交于O。∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO（两直线平行，内错角相等）又∵AD=BC（③已证）∴△AOD≌△COB（ASA）∴OA=OC，OB=OD（全等三角形对应边相等）
平行四边形性质定理:
平行四边形对边相等对角相等
平行四边形对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形
证明：已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O。
那么向量AC=向量AB+向量BC，向量BD=向量BC+向量CD，
则向量AC+BD=AB+BC+BC+CD。
又向量AB=向量DC=-向量CD，
那么向量AC+向量BD=2*向量BC。
则向量BC=(1/2)*(向量AB+向量BD)=1/2*向量AB+1/2*向量BD。
又向量BC=向量BO+向量OC，而向量BO与BD共线，向量OC与AC共线。
那么向量BO=m*向量BD，向量OC=n*向量AC。
那么向量BC=向量BO+向量OC=m*向量BD+n*向量AC，所以可得m=1/2，n=1/2。
即可证明平行四边形的对角线互相平分。 设ABCD为平行四边形，E为AC中点，则
向量AE=AC/2=(AB+BC)/2
向量BE=BA+AE=AE-AB=(AB+BC)/2-AB=(BC-AB)/2=(BC+BA)/2=(BC+CD)/2=BD
因此E为BD中点
故平行四边形的对角线AC与BD互相平分
解：设平行四边形的相邻两边长分别为a(长边),b(短边),其夹角为α； a边上的高为ha,b边上的高为hb, 该角所对的对角线为d.
由三角形的几何关系，得：a=ha/sinα, b=hb/sinα.
由余弦定理，得:
d^2=a^2+b^2-2abcosα.
d=√(a^2+b^2-2abcosα)（*） ---这就是所求的平行四边形的对角线的通用计算公式。
ha=asinα, a=ha/sinα
hb=bsinα b=hb/sinα.
将 a,b值代人公式（*）中，得：
d=√[(ha/sinα)^2+(hb/sinα)^2-2(ha/sinα)(hb/sinα)*cosα]
∴d=(1/sinα)√[(ha)^2+(hb)^2-2ha*hb*cosα](**)--这是给出平行四边形两组对边的距离时的对角线计算公式。
将本题中的 ha=1.5, hb=1.9, α=69°代人公式(**)中，化简，就可求得对角线的长度。
初二第一学期接触到的重要几何图形是三角形。之后学生重点学习了三角形全等的知识。到了初二的第二学期，现在这个时间初二学生都学到《四边形》这一章。这一章是初二几何的重点，要引起各位同学的重视。要学好这一章，首先要学好第一节的平行四边形。初学平行四边形，很多同学感到无从下手. 针对这一问题，下面给同学们以下两点建议： 一. 用好数学思想方法 数学思想被称为数学的“灵魂”，也是学习数学和解决数学问题的的指导思想，数学思想的具体落实通过数学方法得以实现，二者相辅相成，密不可分. 学习平行四边形，用得最多的要数转化的数学思想方法了. 通过平行四边形的定义，我们很自然的联想到平行线的知识，这就意味着平行四边形这一新知识，其中的部分内容可以转化为平行线这一旧知识. 比如，利用平行线的性质定理“两直线平行，同旁内角互补”，便可以推导出平行四边形的一个重要的性质定理“平行四边形的对角相等”. 如果把我们此前所学的几何知识归结为两大块知识的话，就是直线型与三角形. 要想进一步深入研究平行四边形，就得借助三角形的知识. 如何实现这一步新旧知识的转化呢?我们可以采用添加对角线的方法，如果添加一条，则把平行四边形分成两个全等三角形，于是能够证明平行四边形的第二条性质定理“平行四边形的对边相等”;如果添加两条对角线，则把平行四边形分成四个最基本的小三角形，对等的两个分别全等，于是能够证明平行四边形的第三条性质定理“平行四边形的对角线互相平分”. 因此，对角线成为解决平行四边形问题中的一种重要的辅助线. 这种转化的数学思想方法不但能推导新定理，而且能解决其他问题. 二、找准知识的认识角度 在本章对平行四边形的学习中，与以前所学相同之处，在于学过定义后，接着研究它的性质和判定. 但是由于平行四边形的特殊性，在研究它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线. 对于边，从位置和大小两方面探讨邻边或对边的关系特征;对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系或具体度数;对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系. 除了边、角与对角线三个主要研究角度外，还涉及面积计算、对称特征等项内容. 这些不但适用于一般平行四边形，也适用于特殊的平行四边形比如矩形、菱形和正方形等，还适用于其他的一些四边形比如梯形等的研究. 所以同学们可以在以后的学习中，从以上几个不同角度，对所学的四边形知识加以总结，一定会大有裨益的。 刘老师作为资深数学教师，在智康从事一对一初中数学辅导有过大批中考学员，学员中考成绩突出，刘老师教学采用学生最容易接受的方式授课
1. 平行四边形定理性质
平行四边形的对边平行且相等
平行四边形的对角相等,邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
平行四边形的内角和外角和相等
平行四边形包括 长方形菱形
正方形和一般平行四边形
一般平行四边形没有对称轴
2. 菱形定理性质
1、具有平行四边形的性质；
2、菱形的四条边相等；
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
特点
【一步步推】设四边形ABCD是平行四边形。
①【平行四边形对边平行】
这是平行四边形的定义，不用证明。
②【平行四边形对角相等】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD，AD//BC（平行四边形定义）∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°；
∠A+∠B=180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C，∠B=∠D（等量代换）
③【平行四边形对边相等】
证明：连接AC∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AB//DC（平行四边形定义）∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）又∵AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等）
④【平行四边形对角线互相平分】
连接AC、BD交于O。∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO（两直线平行，内错角相等）又∵AD=BC（③已证）∴△AOD≌△COB（ASA）∴OA=OC，OB=OD（全等三角形对应边相等）
平行四边形性质定理:
平行四边形对边相等对角相等
平行四边形对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形
证明：已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O。
那么向量AC=向量AB+向量BC，向量BD=向量BC+向量CD，
则向量AC+BD=AB+BC+BC+CD。
又向量AB=向量DC=-向量CD，
那么向量AC+向量BD=2*向量BC。
则向量BC=(1/2)*(向量AB+向量BD)=1/2*向量AB+1/2*向量BD。
又向量BC=向量BO+向量OC，而向量BO与BD共线，向量OC与AC共线。
那么向量BO=m*向量BD，向量OC=n*向量AC。
那么向量BC=向量BO+向量OC=m*向量BD+n*向量AC，所以可得m=1/2，n=1/2。
即可证明平行四边形的对角线互相平分。 设ABCD为平行四边形，E为AC中点，则
向量AE=AC/2=(AB+BC)/2
向量BE=BA+AE=AE-AB=(AB+BC)/2-AB=(BC-AB)/2=(BC+BA)/2=(BC+CD)/2=BD
因此E为BD中点
故平行四边形的对角线AC与BD互相平分
解：设平行四边形的相邻两边长分别为a(长边),b(短边),其夹角为α； a边上的高为ha,b边上的高为hb, 该角所对的对角线为d.
由三角形的几何关系，得：a=ha/sinα, b=hb/sinα.
由余弦定理，得:
d^2=a^2+b^2-2abcosα.
d=√(a^2+b^2-2abcosα)（*） ---这就是所求的平行四边形的对角线的通用计算公式。
ha=asinα, a=ha/sinα
hb=bsinα b=hb/sinα.
将 a,b值代人公式（*）中，得：
d=√[(ha/sinα)^2+(hb/sinα)^2-2(ha/sinα)(hb/sinα)*cosα]
∴d=(1/sinα)√[(ha)^2+(hb)^2-2ha*hb*cosα](**)--这是给出平行四边形两组对边的距离时的对角线计算公式。
将本题中的 ha=1.5, hb=1.9, α=69°代人公式(**)中，化简，就可求得对角线的长度。
初二第一学期接触到的重要几何图形是三角形。之后学生重点学习了三角形全等的知识。到了初二的第二学期，现在这个时间初二学生都学到《四边形》这一章。这一章是初二几何的重点，要引起各位同学的重视。要学好这一章，首先要学好第一节的平行四边形。初学平行四边形，很多同学感到无从下手. 针对这一问题，下面给同学们以下两点建议： 一. 用好数学思想方法 数学思想被称为数学的“灵魂”，也是学习数学和解决数学问题的的指导思想，数学思想的具体落实通过数学方法得以实现，二者相辅相成，密不可分. 学习平行四边形，用得最多的要数转化的数学思想方法了. 通过平行四边形的定义，我们很自然的联想到平行线的知识，这就意味着平行四边形这一新知识，其中的部分内容可以转化为平行线这一旧知识. 比如，利用平行线的性质定理“两直线平行，同旁内角互补”，便可以推导出平行四边形的一个重要的性质定理“平行四边形的对角相等”. 如果把我们此前所学的几何知识归结为两大块知识的话，就是直线型与三角形. 要想进一步深入研究平行四边形，就得借助三角形的知识. 如何实现这一步新旧知识的转化呢?我们可以采用添加对角线的方法，如果添加一条，则把平行四边形分成两个全等三角形，于是能够证明平行四边形的第二条性质定理“平行四边形的对边相等”;如果添加两条对角线，则把平行四边形分成四个最基本的小三角形，对等的两个分别全等，于是能够证明平行四边形的第三条性质定理“平行四边形的对角线互相平分”. 因此，对角线成为解决平行四边形问题中的一种重要的辅助线. 这种转化的数学思想方法不但能推导新定理，而且能解决其他问题. 二、找准知识的认识角度 在本章对平行四边形的学习中，与以前所学相同之处，在于学过定义后，接着研究它的性质和判定. 但是由于平行四边形的特殊性，在研究它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线. 对于边，从位置和大小两方面探讨邻边或对边的关系特征;对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系或具体度数;对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系. 除了边、角与对角线三个主要研究角度外，还涉及面积计算、对称特征等项内容. 这些不但适用于一般平行四边形，也适用于特殊的平行四边形比如矩形、菱形和正方形等，还适用于其他的一些四边形比如梯形等的研究. 所以同学们可以在以后的学习中，从以上几个不同角度，对所学的四边形知识加以总结，一定会大有裨益的。 刘老师作为资深数学教师，在智康从事一对一初中数学辅导有过大批中考学员，学员中考成绩突出，刘老师教学采用学生最容易接受的方式授课
