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1.三角形中边长关系的证明
【例1】
如下图所示，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E为AB上任意一点，求证：CE=DE.
【分析】
我们仔细观察图形与条件，想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等，那么证明哪两个三角形全等呢？因为已知了AC=AD，AE是公共边，我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件，这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明：
在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB，AC=AD，
Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中，
△ACE≌△ADE（SAS）.
CE=DE.
【例2】如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG.
（1）按要求补全图形，并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论.
【分析】
根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点，点E是BG、AC的中点，我们很容易判断△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE，这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
解：（1）补全图形，如图所示.
（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中，
△ADF≌△BDC（SAS），
AF=BC.
同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
AG=BC，
AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
【例3】
如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.
【分析】
由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF-∠DAC，想到这里结论就很容易证明了.
证明：∵
EF垂直平分AD，
FA=FD，
∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∠B=∠ADF-∠BAD，∠CAF=∠FAD-∠DAC，∠BAD=∠DAC，
∠B=∠CAF.
【例4】
如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE‖BC.
【分析】
要证AE‖BC，我们显然想到要找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角，通过观察，我们自然想到找∠EAC和∠ACB这对内错角相等.
证明：∵
△ABC和△EDC都是等边三角形，
∠ECD=∠ACB=60°.
∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
又∵
AC=BC，EC=DC，
△ACE≌△BCD.
∴∠EAC=∠B=60°.
∴∠EAC=∠ACB.
AE‖BC.
【例5】
如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中，保持AN=BM，请你判
断△OMN的形状，并证明你的结论.
【分析】
由于AN=BM，我们会自觉得想到证有关线段AN、BM、ON、OM的三角形具有全等关系，这样我们想到连接AO，△NAO≌△MBO就很容易得出.我们可以得出△OMN是等腰三角形.想到这一步我们要进一步考虑它是否是等边三角形或等腰直角三角形，由△NAO≌△MBO得出的角度关系不难发现∠NOM是直角.
解：△OMN为等腰直角三角形.理由如下：
AB=AC，∠BAC=90°，
∠B=∠C=45°.
O是BC的中点，
∠NAO=∠OAB=∠CAB=×90°=
45°，∠AOB=90°.
∠OAB=∠OBA
OA=OB.
在△NAO和△MBO中，
∴△NAO≌△MBO，
ON=OM，∠1=∠2，
∠2+∠3=90°，
∠1+∠3=90°.即∠NOM
=90°.
△OMN为等腰直角三角形.
因为AC=AD且共用AB为直角斜边，
所以三角形ACB与三角形ADB全等
所以角ABC=角ABD
所以角CBE=角DBE
因为直角三角形全等
所以BC=BD
因为BC=BC，BE共用
且角CBE=角DBE
所以三角形BCE与三角形DBE全等
所以角CEA=角DEA 因为 AC垂直BC AD垂直BD
所以 三角形ABC和三角形ABD是直角三角形
又因为 AC=AD ， AB=AB
所以 三角形ABC全等于三角形ABD
所以 角CAB = 角DAB
又因为AE=AE
所以三角形ACE全等于三角形ADE
则。。。。（结论）
因为AC=AD且共用AB为直角斜边，
所以三角形ACB与三角形ADB全等
所以角ABC=角ABD
所以角CBE=角DBE
因为直角三角形全等
所以BC=BD
因为BC=BC，BE共用
且角CBE=角DBE
所以三角形BCE与三角形DBE全等
所以角CEA=角DEA 因为 AC垂直BC AD垂直BD
所以 三角形ABC和三角形ABD是直角三角形
又因为 AC=AD ， AB=AB
所以 三角形ABC全等于三角形ABD
所以 角CAB = 角DAB
又因为AE=AE
所以三角形ACE全等于三角形ADE
则。。。。（结论）
1、SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.
证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.
∴△ACD≌△BDC.（SSS）
∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）
2、SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.
证明：∵AB平分∠CAD.
∴∠CAB=∠BAD.
在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.
∴△ACB≌△ADB.（SAS）
∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）
1.三角形中边长关系的证明
【例1】
如下图所示，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E为AB上任意一点，求证：CE=DE.
【分析】
我们仔细观察图形与条件，想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等，那么证明哪两个三角形全等呢？因为已知了AC=AD，AE是公共边，我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件，这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明：
在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB，AC=AD，
Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中，
△ACE≌△ADE（SAS）.
CE=DE.
【例2】如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG.
（1）按要求补全图形，并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论.
【分析】
根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点，点E是BG、AC的中点，我们很容易判断△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE，这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
解：（1）补全图形，如图所示.
（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中，
△ADF≌△BDC（SAS），
AF=BC.
同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
AG=BC，
AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
【例3】
如图所示，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连接AF，求证：∠B=∠CAF.
【分析】
由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD，而要证的结论中有∠CAF，∠CAF=∠DAF-∠DAC，想到这里结论就很容易证明了.
证明：∵
EF垂直平分AD，
FA=FD，
∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∠B=∠ADF-∠BAD，∠CAF=∠FAD-∠DAC，∠BAD=∠DAC，
∠B=∠CAF.
【例4】
如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE‖BC.
【分析】
要证AE‖BC，我们显然想到要找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角，通过观察，我们自然想到找∠EAC和∠ACB这对内错角相等.
证明：∵
△ABC和△EDC都是等边三角形，
∠ECD=∠ACB=60°.
∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD.
又∵
AC=BC，EC=DC，
△ACE≌△BCD.
∴∠EAC=∠B=60°.
∴∠EAC=∠ACB.
AE‖BC.
【例5】
如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中，保持AN=BM，请你判
断△OMN的形状，并证明你的结论.
【分析】
由于AN=BM，我们会自觉得想到证有关线段AN、BM、ON、OM的三角形具有全等关系，这样我们想到连接AO，△NAO≌△MBO就很容易得出.我们可以得出△OMN是等腰三角形.想到这一步我们要进一步考虑它是否是等边三角形或等腰直角三角形，由△NAO≌△MBO得出的角度关系不难发现∠NOM是直角.
解：△OMN为等腰直角三角形.理由如下：
AB=AC，∠BAC=90°，
∠B=∠C=45°.
O是BC的中点，
∠NAO=∠OAB=∠CAB=×90°=
45°，∠AOB=90°.
∠OAB=∠OBA
OA=OB.
在△NAO和△MBO中，
∴△NAO≌△MBO，
ON=OM，∠1=∠2，
∠2+∠3=90°，
∠1+∠3=90°.即∠NOM
=90°.
△OMN为等腰直角三角形.
因为AC=AD且共用AB为直角斜边，
所以三角形ACB与三角形ADB全等
所以角ABC=角ABD
所以角CBE=角DBE
因为直角三角形全等
所以BC=BD
因为BC=BC，BE共用
且角CBE=角DBE
所以三角形BCE与三角形DBE全等
所以角CEA=角DEA 因为 AC垂直BC AD垂直BD
所以 三角形ABC和三角形ABD是直角三角形
又因为 AC=AD ， AB=AB
所以 三角形ABC全等于三角形ABD
所以 角CAB = 角DAB
又因为AE=AE
所以三角形ACE全等于三角形ADE
则。。。。（结论）
因为AC=AD且共用AB为直角斜边，
所以三角形ACB与三角形ADB全等
所以角ABC=角ABD
所以角CBE=角DBE
因为直角三角形全等
所以BC=BD
因为BC=BC，BE共用
且角CBE=角DBE
所以三角形BCE与三角形DBE全等
所以角CEA=角DEA 因为 AC垂直BC AD垂直BD
所以 三角形ABC和三角形ABD是直角三角形
又因为 AC=AD ， AB=AB
所以 三角形ABC全等于三角形ABD
所以 角CAB = 角DAB
又因为AE=AE
所以三角形ACE全等于三角形ADE
则。。。。（结论）
1、SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.
证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.
∴△ACD≌△BDC.（SSS）
∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）
2、SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.
证明：∵AB平分∠CAD.
∴∠CAB=∠BAD.
在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.
∴△ACB≌△ADB.（SAS）
∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）
