急!中考快到了,数学完全不会,怎么办,能不能发几题往年中考的题目,和...

一、选择题（本大题有7题，每小题3分，共21分．每小题有四个选 项，其中有且只有一个选项正确）

1．下面几个数中，属于正数的是（ ）

A．3B．C．D．

2．由四个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的俯视图是（ ）

3．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：

型号

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

数量（双）

10

15

鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ）

A．平均数B．众数C．中位数D．方差

4．已知方程，那么方程的解是（ ）

A．B．C．D．

5、如图（3），已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32º，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）

A、25º B、29º C、30º D、32°

6．下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（ ）

A．B．C．D．

7．在平行四边形中，，那么下列各式中，不能成立的是（ ）

A．B．C．D．

8．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）

A．66厘米B．76厘米C．86厘米D．96厘米

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．2008年北京奥运圣火在厦门的传递路线长是17400米，用科学记数法表示为 米．

10．一组数据：3，5，9，12，6的极差是 ．

11．计算： ．

12．不等式组的解集是 ．

13．如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有 平方米．

14．若的半径为5厘米，圆心到弦的距离为3厘米，则弦长为 厘米．

15．如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，则的度数是 ．

16．如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 cm，的面积 cm2．

三、解答题（每题8分，共16分）

17．已知，，求的值。

18.先化简，再求值，其中．

四、解答题（每题10分，共20分）

19．四张大小、质地均相同的卡片上分别标有1，2，3，4．现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，然后由小明从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的3张中随机取第二张．

（1）用画树状图的方法，列出小明前后两次取得的卡片上所标数字的所有可能情况；

（2）求取得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．

20．

如图，为了测量电线杆的高度，在离电线杆25米的处，用高1.20米的测角仪测得电线杆顶端的仰角，求电线杆的高．（精确到0.1米）

参考数据：，，，．

五、解答题（每题10分，共20分）

21．某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

22．（本题满分10分）

已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）求点的坐标；

（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

六、解答题（每题10分，共20分）

23、如图 在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

24．已知：抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）

七、解答题（本题12分）

25已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，的面积为，求的周长；

（3）在线段上是否存在一点，使得？

若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

八、解答题（本题14分）

26、如下图：某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．

（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；

（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

中考数学模拟题

数学试题参考答案及评分标准

1．A 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8 D

9． 10．9 11． 12． 13． 14．8 15．18 16．2，18

17:答案：没有

18．解：原式

当时，原式．

19．解：（1）

（2）（积为奇数）．

20．解：在中，

（米）

答：电线杆的高度约为11.3米．

21．解：根据题意得：

整理得：

（元）

（件）答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．

22．解：（1）设反比例函数关系式为，

反比例函数图象经过点．

反比例函数关第式．

（2）点在上，

（3）示意图．

当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．

23．（1）证明：，

又，

又于，，

． 是的切线．

（2）连结，是直径，

，，

24．解：（1）依题意得：，

（2）当时，，

抛物线的顶点坐标是．

（3）当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，且．

又，．

抛物线所对应的二次函数关系式．

解法2：（3）当时，，

对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是．

解法3：（3），，

轴，

即：．

解得：，即

由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式

25．解：（1）连结交于，

当顶点与重合时，折痕垂直平分，

在平行四边形中，，

四边形是菱形．

（2）四边形是菱形，．

设，，，

又，则． ②

由①、②得：

，（不合题意舍去）

的周长为．

（3）过作交于，则就是所求的点．

证明：由作法，，

由（1）得：，又，

，则

四边形是菱形，，．

26．解：（1），

，，

（2）由（1）得：，．

，易证

，．

过的直线所对应的函数关系式是．

（3）依题意：当时，在边上，

分别过作，，垂足分别为和，

，，

直线所对应的函数关系式是，

易证得，，

整理得：

，，分

由此，，

当时，点在边上，

此时，，，

易证：

综上所述：

（1）解法2：，．

易求得：

（3）解法2：分别过作，，垂足分别为和，

由（1）得，，

即：，又，

设经过的直线所对应的函数关系式是

则 解得：

经过的直线所对应的函数关系式是．

依题意：当时，在边上，在直线上，

整理得：

（）

当时，点在上，此时，点坐标是，因为在直线上，

整理得：．．

综上所述： 孩子，你在手机里下载一个叫“猿题库”的app，里面就有历年真题和讲解

七年级数学下册五年中考三年模拟期中测试一试卷答案

第一题：

答案：B

第二题：

答案：C

第三题：

答案：C

第四题：

答案：D

第五题：

中考数学压轴大题

中考考试马上就要开始了，我就为大家整理一下中考数学必做的36道压轴题有哪些。

第1题 夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”

第2题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破

第3题 “模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”

第4题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”

中考数学试卷及答案

2010年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．计算3×( 2) 的结果是

A．5 B． 5 C．6 D． 6

2．如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，

∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于

A．60° B．70°

C．80° D．90°

3．下列计算中，正确的是

A． B． C． D．

4．如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，

则□ABCD的周长为

A．6 B．9

C．12 D．15

5．把不等式 < 4的解集表示在数轴上，正确的是

6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，

那么这条圆弧所在圆的圆心是

A．点P B．点Q C．点R D．点M

7．化简 的结果是

A． B． C． D．1

8．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是

A． B．

C． D．

9．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是

10．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是

A．7 B．8

C．9 D．10

11．如图5，已知抛物线 的对称轴为 ，点A，

B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为

（0，3），则点B的坐标为

A．（2，3） B．（3，2）

C．（3，3） D．（4，3）

12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、

3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子

向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成

一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按

上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是

A．6 B．5 C．3 D．2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）

13． 的相反数是 ．

14．如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为 ，则点B所对应的数为 ．

15．在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是 ．

16．已知x = 1是一元二次方程 的一个根，则 的值为 ．

17．某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的夹角为 ， ，

则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．

18．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本小题满分8分）解方程： ．

20．（本小题满分8分）如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图11-2的程序移动．

（1）请在图11-1中画出光点P经过的路径；

（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．

21．（本小题满分9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．

分 数 7 分 8 分 9 分 10 分

人 数 11 0 8

（1）在图12-1中，“7分”所在扇形的圆心角

等于 °．

（2）请你将图12-2的统计图补充完整．

（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．

（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？

22．（本小题满分9分）

如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（2）若反比例函数 （x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；

（3）若反比例函数 （x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

23．（本小题满分10分）

观察思考

某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2

是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以

左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且

PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研

究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得

OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．

解决问题

（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；

点Q与点O间的最大距离是 分米；

点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间

的距离是 分米．

（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位

置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？

为什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l

的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大

的位置，此时，点P到l的距离是 分米；

②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，

求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

24．（本小题满分10分）

在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交

于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB．

求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求 的值．

25．（本小题满分12分）

如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，AD = 6，BC = 8， ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．

设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．

（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

26．（本小题满分12分）

某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y = x＋150，

成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为

常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．

（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

参考公式：抛物线 的顶点坐标是 ．

2010年河北省初中毕业生升学文化课考试

数学试题参考答案

一、选择题

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答 案 D C D C A B B A C B D B

二、填空题

13. 14.5 15. 16.1 17.36 π 18. =

三、解答题

19．解： ， ．

经检验知， 是原方程的解．

20．解： （1）如图1；

【注：若学生作图没用圆规，所画路线光滑且基本准确即给4分】

（2）∵ ，

∴点P经过的路径总长为6 π．

21．解：（1）144；

（2）如图2；

（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；

由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲

校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，

乙校的成绩较好．

（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得

10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．

22．解：（1）设直线DE的解析式为 ，

∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴

解得 ∴ ．

∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，

∴ 点M的纵坐标为2．

又 ∵ 点M在直线 上，

∴ 2 = ．∴ x = 2．∴ M（2，2）．

（2）∵ （x＞0）经过点M（2，2），∴ ．∴ .

又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．

∵ 点N在直线 上， ∴ ．∴ N（4，1）．

∵ 当 时，y = = 1，∴点N在函数 的图象上．

（3）4≤ m ≤8．

23．解：（1）4 5 6；

（2）不对．

∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，

∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．

（3）① 3；

②由①知，在⊙O上存在点P， 到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 OP．

连结 P，交OH于点D．

∵PQ， 均与l垂直，且PQ = ，

∴四边形PQ 是矩形．∴OH⊥P ，PD = D．

由OP = 2，OD = OH HD = 1，得∠DOP = 60°．

∴∠PO = 120°．

∴ 所求最大圆心角的度数为120°．

24．解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ，

∴△BOE ∽ △AOC．

∴ ．

又∵OB = kAO，

由（2）的方法易得 BE = BD．∴ ．

25．解：（1）y = 2t；（2）当BP = 1时，有两种情形：

①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，

∴PQ = 6．连接EM，

∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．

∵AB = ，∴点E在AD上．

∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面

积为 ．

②若点P从点B向点M运动，由题意得 ．

PQ = BM + MQ BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的

延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则

HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD

的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 ．

（3）能．4≤t≤5．

26．解：（1）140 57500；

（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x ，

w外 = x2＋（150 ）x．

（3）当x = = 6500时，w内最大；分

由题意得 ，

解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．

（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 = ．

若w内 ＜ w外，则a＜32.5；

若w内 = w外，则a = 32.5；

若w内 ＞ w外，则a＞32.5．

所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；

当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；

当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售． 3. (2011江苏常州,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,

求证:四边形BCDE是菱形.

【答案】证明：∵AD⊥BD，

∴∠ADB=90°。

又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE

∴∠ DBE =∠EDB

又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB

∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC

∴BC∥DE.

∵EB∥CD

∴四边形BCDE是平行四边形

∵BC=CD

∴四边形BCDE是菱形。

5. （2011北京市，22，5分）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BDE的面积等于 ．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．

【答案】解：△BDE的面积等于 1 ．

（1）如图

以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是 △CFP ．

（2）以AD、BE|、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．

6. （2011贵州遵义，26，12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、

D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA

向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延P长线于点H，设动点、Q移动的时间为t（单位：秒，0

（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？

（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生

改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改

变，请说明理由。

【答案】（1）当四边形PCDQ为平行四边形时。

PC=DQ

即，20－2t=t

t=

∴t=时，四边形PCDQ为平行四边形。

（2）PH的值不会发生变化。

AD∥BC

∴△QDE∽△PBE

∴PH的长为20.

8. （2011四川广元，21，8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD，E、F分别为AB、BC的中点．求证：

（1）四边形AFCD为矩形；

（2）FE⊥DE．

【答案】证明：（1）∵BC＝2AD，点F是BC的中点，

∴BF＝FC＝AD．

∵AD∥BC，

∴四边形AFCD为平行四边形．

又∵DC⊥BC，

∴四边形AFCD为矩形．

（2）∵四边形AFCD为矩形，且∠B＝60°，

∴∠BAF＝30°，

∴BF＝AB．

又∵点点E是AB的中点，

∴BF＝BE＝EF＝BF，即△BEF是等边三角形．

∴∠BEF＝60°．

∵AE＝BE＝BF＝CF＝AD，∠BAD＝120°，

∴∠AED＝（180°－120°）＝30°，

∴∠FED＝180°－∠BEF－∠AED＝90°，即FE⊥DE．

9. （2011福建三明，21，12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．

（1）求证：∠ABD＝∠CBD；（3分）

（2）若∠C＝2∠E，求证：AB＝DC；（4分）

（3）在（2）的条件下，sinC＝，AD＝，求四边形AEBD的面积．（5分）

【答案】（1）证明：∵AD∥BC

∴∠ADB＝∠CBD

∵AB＝AD

∴∠ADB＝∠ABD

∴∠ABD＝∠CBD

（2）∵AE∥DB

∴∠E＝∠CBD

由（1）得∠ABD＝∠CBD

∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E

又∵∠C＝2∠E

∴∠ABC＝∠C

在梯形ABCD中，∴AB＝DC

（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC＝，得＝

由（2）有CD＝AB，又AB＝AD＝，

∴ CD＝，DF＝

∵AD∥BC，AE∥DB

∴四边形AEBD的平行四边形

∴S四边形AEBD＝AD·DF＝×＝

10．（2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

【答案】解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。

当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）

当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

解得

∴抛物线的解析式为

∴C点的坐标为（-1，4）。

（2）证明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;

∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，；

在Rt△ANC中， ；

在Rt△CMB中，；

∴，∴∠ABC=90°

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形

方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；

把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直线BC的解析式为y=－x+3；

当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE=3 ；

∵A（－3，0）、B（0，3）；

∴OA=OB=OE=3 。

∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；

∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四边形ABCD是直角梯形