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二项式定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以将一个二次式写成两个一次式的和，方便了我们的计算。而二项式定理展开式各项系数之和则是对定理的另一种解读，从中我们可以看到一些数学美感。
二项式定理的公式是：$$(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^k$$ 其中，$\binom$表示从$n$个元素中选$k$个的组合数，也可以表示为$\frac$。这个式子的意思是将$(a+b)$乘$n$次，每一项中$a$和$b$的次数之和都是$n$，然后把它们相加。
如果我们把这个式子展开，可以得到$$\begin(a+b)^n&=\binoma^n+\binoma^b+\cdots+\binomb^n\\&=a^n+na^b+\fraca^b^2+\cdots+nb^+b^n\end$$ 我们把每一项系数前的组合数拆开，得到了展开式的形式。其中，$\binom$的系数是$a^n$，$\binom$的系数是$na^b$，以此类推。这些系数被称为二项式定理展开式的各项系数。
现在我们来计算一下这些系数的和：$$\begin\sum_^n\binom&=\binom+\binom+\cdots+\binom\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\sum_^n\frac\end$$ 最后一步等式是因为$\frac=1$，$\frac=1$。
我们发现，二项式定理展开式各项系数之和正好等于$2^n$。这是因为$(a+b)^n$中一共有$n+1$项，每一项的系数都是由二项式定理中的组合数$\binom$决定的，而组合数的个数正好是$2^n$。
这个结论非常有趣，也很美妙。它展示了数学中的一些奇妙对称性和美感，也让我们更加深入地理解了二项式定理。
(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项式定理知识点总结是如下：
1、二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
2、二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
3、二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。
4、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。
5、Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。
设f(x)=(1+1/x)^x,
两边取自然对数并微分得
[1/f(x)]*df(x)=ln(1+1/x)*dx-x*[1/(1+1/x)]*dx/x^2
化简
df(x)/dx=f(x)*[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
对中括号里的部分再微分一次，x>1时所得值恒小于0
又f(x)恒大于0，可知其单调递减，又x=1时，中括号中部分为ln2-0.5>0,x趋向正无穷时，中括号中部分趋向0。
故x在1和无穷之间时df(x)/dx恒大于零，即f(x)单调递增
所以数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。
n=1时原式等于2，n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立
即 2<(1+1/n)^n<3.（n>1）
二项式定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以将一个二次式写成两个一次式的和，方便了我们的计算。而二项式定理展开式各项系数之和则是对定理的另一种解读，从中我们可以看到一些数学美感。
二项式定理的公式是：$$(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^k$$ 其中，$\binom$表示从$n$个元素中选$k$个的组合数，也可以表示为$\frac$。这个式子的意思是将$(a+b)$乘$n$次，每一项中$a$和$b$的次数之和都是$n$，然后把它们相加。
如果我们把这个式子展开，可以得到$$\begin(a+b)^n&=\binoma^n+\binoma^b+\cdots+\binomb^n\\&=a^n+na^b+\fraca^b^2+\cdots+nb^+b^n\end$$ 我们把每一项系数前的组合数拆开，得到了展开式的形式。其中，$\binom$的系数是$a^n$，$\binom$的系数是$na^b$，以此类推。这些系数被称为二项式定理展开式的各项系数。
现在我们来计算一下这些系数的和：$$\begin\sum_^n\binom&=\binom+\binom+\cdots+\binom\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\sum_^n\frac\end$$ 最后一步等式是因为$\frac=1$，$\frac=1$。
我们发现，二项式定理展开式各项系数之和正好等于$2^n$。这是因为$(a+b)^n$中一共有$n+1$项，每一项的系数都是由二项式定理中的组合数$\binom$决定的，而组合数的个数正好是$2^n$。
这个结论非常有趣，也很美妙。它展示了数学中的一些奇妙对称性和美感，也让我们更加深入地理解了二项式定理。
(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项式定理知识点总结是如下：
1、二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。
2、二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
3、二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。
4、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。
5、Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。
设f(x)=(1+1/x)^x,
两边取自然对数并微分得
[1/f(x)]*df(x)=ln(1+1/x)*dx-x*[1/(1+1/x)]*dx/x^2
化简
df(x)/dx=f(x)*[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
对中括号里的部分再微分一次，x>1时所得值恒小于0
又f(x)恒大于0，可知其单调递减，又x=1时，中括号中部分为ln2-0.5>0,x趋向正无穷时，中括号中部分趋向0。
故x在1和无穷之间时df(x)/dx恒大于零，即f(x)单调递增
所以数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。
n=1时原式等于2，n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立
即 2<(1+1/n)^n<3.（n>1）
